Проста безперервна модель

У безперервній моделі ціна є функцією часу P(t). Попит і пропозиція (потоки в одиницю часу) – також функції часу. Павутиноподібна модель враховувала запізнювання пропозиції. Цьому буде грубо відповідати передумова про зміну ціни на стороні попиту, а не пропозиції. Тоді одержимо модель, рівносильну моделі з безперервним запізнюванням пропозиції. Це запізнювання має просту показову форму. D(t) залежить від Р і , а S(t) – тільки від P. Модель діє, як і в попередньому випадку, саме в кожен момент ціна Р установлюється так, щоб попит цілком поглинав пропозицію, тобто X(t) і P(t) задовольняли рівнянню:

Якщо функції лінійні, то

(6)

Покладемо і для всіх t, тобто для спільного положення рівноваги обох змінних:

(7)

Віднімемо (7) з (6) і покладемо і . Через те, що отримаємо:

(8)

Рівняння (6) і (8) становлять, диференціальні рівняння першого порядку. Покладемо Тоді диференціальне рівняння відносно P(t) матиме вид:

.

Для рішення помітимо, що Тоді

тобто і , або .

 

У звичайному випадку тобто Отже, ціна P(t) рухається в часі монотонно до - ціни рівноваги , тому що різниця подібна показовій функції . Менш звичайний випадок, коли також b < 0. Але якщо тільки , тобто кут нахилу D до осі ОР у площині ОРХ більший, ніж кут нахилу S, то приходимо до того ж результату, що й у першому випадку. Диференціальне рівняння цієї моделі має менше рішень, ніж відповідне кінцево-різницеве рівняння, наведене вище.

Знайдемо тип рівноваги в моделі

b/a = 10 / 8 = 1,25, отже спостерігається не стійка рівновага в системі. В даному випадку більш еластична пропозиція ніж попит на товар, дана модель розходиться від точки рівноваги.

Знайдемо ціну рівноваги:

.

Знайдемо рівноважний об’єм попиту та пропозиції:

.

Дослідимо як змінюється ціна та обсяг попиту та пропозиції у часі, якщо P₀=6.

,

.

Знайдемо обсяг попиту та пропозиції при даній ціні:

Побудуємо графік зміни обсягів попиту та пропозиції залежно від ціни.

Рис. 2. Графік зміни обсягів попиту та пропозиції залежно від ціни