Побудова й аналіз траєкторій розвитку системи в моделі Харрода–Домара

Побудувати модель поведінки системи, що описується моделлю Харрода-Домара із заданими параметрами. Досліджувати траєкторію ВВП, інвестицій та споживання. Побудувати графіки динаміки цих показників.

Розглянемо варіанти розвитку траєкторій основних макроекономічних показників у моделі Харрода-Домара при різних умовах темпу споживання. Початкові умови та , коефіцієнт приросної капіталоємності .

Як приклад моделі з безперервним часом, представленої лінійним диференціальним рівнянням, розглянемо модель макроекономічної динаміки, запропоновану Харродом і Домаром. Модель описує динаміку доходу Y(t), що розглядається як сума споживання C(t) і інвестицій I(t). Економіка вважається закритою, тому чистий експорт дорівнює нулю, а державні витрати в моделі не виділяються. Основна передумова моделі зросту – формула взаємозв'язку між інвестиціями й швидкістю зростання доходу. Передбачається, що швидкість зростання доходу пропорційна інвестиціям:

де B - коефіцієнт капіталоємності приросту доходу, або коефіцієнт приросної капіталоємності (відповідно, зворотна йому величина 1/B зветься приросною капіталовіддачею).

Тим самим у модель фактично включаються наступні передумови:

– інвестиційний лаг дорівнює нулю: інвестиції миттєво переходять у зростання капіталу. Формально це означає, що ∆K(t)=I(t), де ∆K(t) - безперервна функція приросту капіталу в часі;

– вибуття капіталу відсутнє;

– виробнича функція в моделі лінійна; це виходить із пропорційності приросту доходу приросту капіталу:

Лінійна виробнича функція

де b = 1/B, має цю властивість у тому випадку, якщо або a=0, або L(t) = const;

– витрати праці постійні в часі або випуск не залежить від витрат праці, оскільки праця не є дефіцитним ресурсом;

– модель не враховує технічного прогресу.

Перераховані передумови, звичайно, істотно спрощують опис динаміки реальних макроекономічних процесів, роблять скрутним застосування даної моделі, наприклад, для безпосереднього розрахунку або прогнозу величини сукупного випуску або доходу. Однак дана модель не призначена для цього. У той же час її відносна простота дозволяє більш глибоко вивчити взаємозв'язок динаміки інвестицій і зростання випуску, одержати точні формули траєкторій розглянутих параметрів при зроблених передумовах.

У розглянутій моделі передбачається, що динаміка обсягу споживання C(t) задається екзогенно. Цей показник може вважатися постійним у часі, і змінюватися із заданим постійним темпом або мати яку-небудь іншу динаміку (у перших двох випадках більш просто одержати рішення моделі).

Найпростіший варіант моделі виходить, якщо вважати C(t)=0. Цей випадок зовсім нереалістичний з практичної точки зору, однак у ньому всі ресурси направляються на інвестиції, у результаті чого можуть бути визначені максимальні технічно можливі темпи зростання. У цьому випадку одержуємо:

Це – лінійне однорідне диференціальне рівняння, і його рішення має вигляд .

Безперервний темп приросту в цьому випадку 1/B. Це максимально можливий технологічний темп приросту.

Нехай тепер C(t) = C постійно в часі. Одержуємо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння Y(t) = BY(t) + C, частковим розв’язком якого є Y(t) = C. Складаючи його із загальним рішенням однорідного рівняння , одержуємо його загальне рішення звідки, підставивши t = 0, маємо

і

Безперервний темп приросту доходу в цьому рішенні дорівнює:

Він становить у початковий момент часу (при t = 0) і, зростаючи, прагне до при , що зрозуміло, оскільки дохід зростає, а постійний обсяг споживання становить все меншу його частку.

Величина – норма нагромадження в момент часу t, і темп приросту доходу виявляється пропорційним цій величині, як і показнику приросної капіталовіддачі .

Розглянемо варіант моделі з показником споживання C(t), що зростає з постійним темпом r: Диференціальне рівняння цієї моделі має вигляд:

Рішення цього рівняння має вигляд:

З аналізу формули видно, що темп приросту споживання r не повинен бути більший максимально можливого загального темпу приросту , тому що інакше споживання буде займати все більшу й зрештою – гнітючу частину доходу, що зведе до нуля спочатку інвестиції, а потім і дохід. Це видно з формули рішення моделі, оскільки у випадку коефіцієнт негативний, а зростає швидше, ніж , отже, другий доданок за цих умов від’ємний й через якийсь час “переважить” перший.

У вирішенні розглянутої моделі зростання при багато чого залежить від співвідношення між r й (у чисельнику маємо – норма нагромадження в початковий момент часу t = 0). Якщо r = r₀, то темп приросту доходу дорівнює темпу приросту споживання, і рішенням є

Норма нагромадження a(t) у цьому випадку постійна в часі й дорівнюєa₀, а темп приросту доходу пропорційний нормі нагромадження й обернено пропорційний приросній капіталоємності. Саме ця модифікація моделі економічного зростання, у якій постійна норма нагромадження, називається моделлю Харрода-Домара.

Розглянемо варіанти траєкторій основних макроекономічних показників у моделі Харрода-Домара при різних умовах темпу споживання.

Нехай динаміка споживання , а динаміка ВВП .

Тоді норма споживання: .

Варіант a – темп приросту споживання .

Траєкторія ВВП при заданих умовах:

.

Знайдемо момент часу, коли . Вирішуючи дане рівняння, одержимо або , де . Знайдемо момент часу, коли випуск продукції буде максимальним, тобто . Вирішуючи дане рівняння, одержимо , або . Таким чином, можна визначити момент часу, за якого рівень ВВП буде максимальним, або . Рівняння, що відбиває динаміку інвестицій:

.

Момент часу, при якому інвестиції будуть рівні 0, тобто дорівнює . Траєкторії основних показників наведені на рис. 1.

Рис. 1. Траєкторії розвитку моделі при

Варіант б – темп приросту споживання

Таким чином, виконується умова . Траєкторія ВВП при заданих умовах . Знайдемо момент часу, коли , тобто або . Тоді й . Знайдемо момент часу, коли випуск продукції буде максимальним, тобто . Тоді або . У цьому випадку або . Траєкторії основних показників наведені на рис. 2.

Рис. 2. Траєкторії, моделі при

Як видно з рис. 2 і результатів розрахунку, період “існування” даної економічної системи при нових умовах збільшився, однак темп приросту споживання усе ще високий порівняно з оптимальним.

Варіант в – темп приросту споживання .

Таким чином темп приросту споживання збігається з оптимальним, тобто (;). Траєкторія випуску продукції буде відображена моделлю . Динаміка інвестицій – відповідно, а рівняння споживання буде виглядати як . Траєкторії основних показників наведені на рис. 3.

Рис. 3. Траєкторії моделі при

Дослідження траєкторій розвитку системи в моделі Лєонтьєва

Знайти траєкторію розвитку системи за динамічною моделлю Леонтьєва з заданими матрицями прямих матеріальних витрат (А) та приросної капіталоємності (В), що виходить із даної початкової точки (Y0). Визначити допустимість траєкторії й технологічний темп зростання системи. Побудувати графік траєкторії на період 0£t£T.

Розглянемо умовний приклад для динамічної моделі В. Леонтьєва. Нехай економіка агрегована на дві галузі виробництва. Відомі матриці прямих матеріальних витрат та приросної капіталоємності. Початковий стан системи має наступні координати:

Динамічна модель Леонтьєва є деталізованою моделлю зростання валового суспільного продукту й національного доходу.

Базою для динамічної моделі В. Леонтьєва є статична модель міжгалузевого балансу в грошовому виразі, що відображує виробництво й розподіл валового суспільного продукту в галузевому розрізі, міжгалузеві виробничі зв'язки, використання матеріальних і трудових ресурсів, створення й розподіл національного доходу (НД). Кожна галузь у балансі розглядається двічі - як споживач і як виробник. Це й визначає матричну структуру балансу. У балансі розглядаються як галузі, так і підгалузі. В окремих випадках баланс може включати до декількох сотень позицій.

В основі статичної моделі лежить припущення про взаємозв'язок між нагромадженням і приростом валового продукту.

При побудові динамічної моделі В. Леонтьєва, як і для моделі міжгалузевого балансу, робляться наступні припущення:

1) кожна галузь (або підгалузь) має єдину технологію виробництва;

2) норми виробничих витрат не залежать від обсягу продукції, що випускається;

3) не допускається заміщення у виробництві одних видів продукції іншими.

При даних припущеннях величина міжгалузевого потоку x_ij пов'язана з валовою продукцією галузі наступним чином:

(1)

де a_ij – коефіцієнти прямих матеріальних витрат.

Коефіцієнти a_ij показують, скільки одиниць продукції i-ої галузі безпосередньо витрачується на випуск одиниці валової продукції j-ої галузі. Так, при i=j маємо коефіцієнт витрат власної продукції галузі на одиницю її валового випуску. Всі коефіцієнти прямих матеріальних витрат утворюють квадратну матрицю A_nxn

(2)

Статична модель міжгалузевого балансу в матричній формі має вигляд:

X=AX+Y, (3)

де A – матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат;

X – вектор валових обсягів випуску (ВОВ);

Y – вектор кінцевого продукту (НД).

В основі динамічної моделі лежить припущення про взаємозв'язок між нагромадженням і приростом валової продукції. Цей взаємозв'язок реалізується за допомогою матриці капіталоємності приростів виробництва. Крім того, передбачається миттєвість перетворення капіталовкладень у приріст основних фондів і миттєвість віддачі фондів на обсяги виробництва (що, є припущенням, і загалом кажучи, невірно). Час передбачається безперервним, що й визначає застосування диференціальних рівнянь.

Основне співвідношення моделі має вигляд

, (4)

де X(t) – вектор обсягів валового випуску продукції за галузями у момент часу t;

– вектор абсолютних приростів;

A – матриця коефіцієнтів прямих витрат, включаючи витрати на відшкодування вибуття основних фондів;

AX(t) – виробниче споживання, що забезпечує просте відтворення;

B – матриця коефіцієнтів капіталоємності приростів виробництва (b_ij є витрати виробничого нагромадження i-го виду продукції на одиницю приросту j-го виду продукції);

C(t) – вектор, що характеризує споживання за галузями.

Рівняння моделі (4) записане у векторно-матричній формі відносно ВОВ. Відносно розглянутих величин в рівнянні (4) виконуються наступні умови:

1. Матриця A продуктивна й нерозкладна.

Визначення 1. Нехай N={1,...n} – множина всіх галузей. Підмножина галузей SÌN ізольована, якщо a_ij=0, при всіх iÏS і jÎS. Це означає, що галузі з множини S не мають потреби в продукції, виробленої іншими галузями навіть побічно.

Якщо в множині галузей існує ізольована підмножина, то за допомогою перестановки рядків і стовпців матрицю А можна привести до виду

. (5)

Визначення 2. Матриця А є нерозкладною, якщо її не можна привести до виду (5) тільки перестановкою рядків і стовпців.

Одне з основних властивостей нерозкладних матриць описується теоремою Фробеніуса-Перона:

1. Нерозкладна матриця А має додатнє власне число l_А>0, що перевершує за модулем всі інші її власні числа.

2. Власному числу l_А відповідає єдиний (з точністю до ненульового множника) цілком додатній власний вектор x.

Отже, матриця коефіцієнтів повних витрат є цілком додатньою: , det(B)¹0.

2. Матриці А и В постійні у часі.

3. Капіталовкладення (інвестиції) виступають єдиним джерелом зростання виробництва. Тобто, галузі не мають резервних виробничих потужностей.

При даних припущеннях змістовно інтерпретуємими в рамках даної моделі можуть бути тільки стани, для яких виконується умова:. Такі стани системи є допустимими. Траєкторії, що не виводять систему з області допустимих станів, є також допустимими.

Використовуючи взаємозв'язок між ВОВ і НД у статичній моделі

,

де вектор Y(t) характеризує галузеву структуру НД, одержимо рівняння моделі Леонтьєва відносно НД:

. (6)

Позначимо . Коефіцієнти цієї матриці – – характеризують величину виробничого нагромадження продукції i-го виду на одиницю приросту j-го елементу НД, а сама вона є матрицею коефіцієнтів повної приросної капіталоємності.

Для визначення можливостей системи досліджуємо модель (6) при різних траєкторіях споживання.

Визначимо технологічні можливості системи, які визначаються параметрами A і B. Для цього припустимо, що C(t) = 0. При цьому рівняння (6) буде мати наступний вид:

. (7)

Рівняння (7) є системою лінійних однорідних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтам першого порядку. Загальне рішення цієї системи відповідно до теорії диференціальних рівнянь має вигляд:

, (8)

де s_l – власні числа матриці повної приросної капіталоємності;

K_l– відповідні їм власні вектора;

d_l – коефіцієнти, які визначаються з початкової умови .

Траєкторія, що виходить із Y(0), є комбінацією експонент із різними темпами приросту (1/s_l). Отже, у загальному випадку розвиток по траєкторії Y(t)=Y₀e^kt, тобто з єдиним для всіх галузей темпом, неможливий, а відбувається з постійними структурними змінами. Однак існує певна подібність між рішенням макроекономічної моделі й рішенням структурної моделі. Ця подібність обумовлена наявністю в матриці коефіцієнтів повної приросної капіталоємності власного числа Фробеніуса-Перона.

Внаслідок припущень моделі, матриця , отже, вона має корінь Фробеніуса-Перона. Величина цього кореня знаходиться у межах:

.

Величина (j = 1,...n) є повною приросною капіталоємністю j-ї галузі.

Можливі два випадки поведінки траєкторії (8).

У першому випадку в траєкторії (8) домінує експонента з показником ступеня, що пов'язаний з коренем Фробеніуса-Перона. У цьому випадку, згодом темп приросту кожного елемента НД починає наближатися до темпу, обумовленому даною експонентою, тобто 1/s. Таким чином, на нескінченному періоді часу кожний з елементів НД починає розвиватися з темпом 1/s. Таким чином, технологічний темп приросту має вид:. Структура НД наближається в даному випадку до власного вектора, що відповідає K_s(рис. 1, розрахунки зроблені в пакеті Mathcad 8.0).

У другому випадку в (8) домінує експонента з показником ступеня, відмінним від 1/s. Це відбувається, коли існує додатнє власне число, відмінне від s. Позначимо домінуючий показник 1/s₀. У цьому випадку власний вектор, що відповідає s₀, обов'язково має від’ємні компоненти й, так, як

,

стовпець також містить від’ємні компоненти.

 

 

З огляду на (8), запишемо X(t) у наступним чином:

.

В даній рівності в правій частині присутні від’ємні компоненти, причому, при збільшенні t вони збільшуються за абсолютним значенням. Отже, з часом вони з'являться й у лівій частині рівності. Таким чином, траєкторія виходить у неприпустиму зону (рис. 2).

 

Зауваження.Траєкторія системи в першому випадку є допустимою, хоча початковий стан системи може бути й недопустимим. І, навпаки, у другому випадку, хоча початковий стан системи є допустимим, траєкторія розвитку може виходити за межі допустимої області.

Визначимо траєкторію розвитку системи. Для цього обчислимо матрицю повної приросної капіталоємності:

,

Знайдемо власні числа даної матриці, вирішуючи характеристичне рівняння

½½ = l²–2,03l–0,22 = 0, l₁=2,14; l₂=-0,10.

Отже, показники експонент дорівнюють:

.

Відповідні власні вектори з точністю до множника становлять:

.

Очевидно, що траєкторія системи є допустимою, оскільки єдиний доданок з додатнім показником ступеня складається з позитивних компонент.

Визначимо, виходячи з початкових умов, коефіцієнти d_l:

Остаточно, рівняння траєкторії розвитку системи має вигляд:

.

Графічно зміна структури ВОВ представлена на рис. 3. Похила виділена лінія відповідає структурі ВОВ при нескінченному t: .