Метою роботи є підбір моделей трендів для кожного часового ряду і порівняння результатів з моделями трендів, що використовувались для генерації часових рядів у лабораторній роботі №1.
2.2.2 Теоретичні відомості
Коротко розглянемо загальний порядок прикладного статистичного аналізу часових рядів. Звичайно метою такого аналізу є побудова математичної моделі ряду, за допомогою якої можна пояснити поводження ряду і здійснити прогноз його подальшого поводження.
Побудова і вивчення графіка. Аналіз часового ряду звичайно починається з побудови і вивчення його графіка. Якщо нестаціонарність часового ряду очевидна, то першою справою треба виділити і видалити нестаціонарну складову ряду. Процес видалення тренда й інших компонентів ряду, що приводять до порушення стаціонарності, може проходити в декілька етапів. На кожному з них розглядається ряд залишків, отриманий у результаті вирахування з вихідного ряду підібраної моделі тренда, або результат різницевих та інших перетворень ряду. Крім графіків, ознаками нестаціонарності часового ряду може бути не прагнуча до нуля автокореляційна функція (за винятком дуже великих значень лагів) та наявність яскраво виражених піків на низьких частотах у періодограмі.
Підбор моделі для часового ряду. Після того, як вихідний процес максимально наближений до стаціонарного, можна приступити до підбора різних моделей отриманого процесу. Мета цього етапу - опис і облік в подальшому аналізі кореляційної структури розглянутого процесу. При цьому на практиці частіше використовуються два типи моделей: параметричні моделі авторегресії - ковзного середнього (ARMA-моделі) і полігармонійні моделі.
Модель може вважатися підібраною, якщо залишковий компонент ряду є процесом типу білого шуму. Після підбору моделі звичайно виконуються:
• оцінка дисперсії залишків, що надалі може бути використана для побудови довірчих інтервалів прогнозу;
• аналіз залишків з метою перевірки адекватності моделі.
Прогнозування або інтерполяція. Останнім етапом аналізу часового ряду може бути прогнозування його майбутніх (екстраполяція) чи відновлення пропущених (інтерполяція) значень і вказівки точності цього прогнозу на базі підібраної моделі. Добре підібрати математичну модель вдається не для всякого часового ряду. Нерідко буває і так, що для опису підходять відразу декілька моделей. Неоднозначність підбору моделі може спостерігатися як на етапі виділення детермінованої компоненти ряду, так і при виборі структури ряду залишків. Тому дослідники досить часто даються до методу декількох прогнозів, зроблених за допомогою різних моделей.
Методи аналізу. Основні групи статистичних прийомів, що використовуються для аналізу часових рядів:
• графічні методи представлення часових рядів і їх супутніх числових характеристик;
• методи зведення до стаціонарних процесів;
• методи дослідження внутрішніх зв'язків між елементами часових рядів.
У вибіркових дослідженнях найпростіші числові характеристики описової статистики (середнє, медіана, дисперсія, стандартне відхилення, коефіцієнти асиметрії та ексцесу) звичайно дають досить інформативне представлення про вибірку. Графічні методи представлення й аналізу вибірок при цьому грають лише допоміжну роль, дозволяючи краще зрозуміти локалізацію і концентрацію даних, їхній закон розподілу.
Роль графічних методів при аналізі часових рядів зовсім інша. Справа в тому, що табличне представлення часового ряду та описові статистики найчастіше не дозволяють зрозуміти характер процесу, у той час як за графіком часового ряду можна зробити досить багато висновків. Надалі вони можуть бути перевірені й уточнені за допомогою розрахунків.
Людське око досить упевнено визначає за графіком часового ряду:
• наявність тренда і його характер;
• наявність сезонних і циклічних компонентів;
• ступінь плавності чи переривчастості змін послідовних значень ряду після усунення тренда. По цьому показнику можна судити про характер і ступінь кореляції між сусідніми елементами ряду.
При аналізі часових рядів часто використовуються допоміжні графіки для числових характеристик ряду:
• графік вибіркової автокореляційної функції (корелограми) з довірчою зоною (трубкою) для нульової автокореляційної функції;
• графік вибіркової часткової автокореляційної функції з довірчою зоною для нульової часткової автокореляційної функції;
• графік періодограми.
Перші два з цих графіків дозволяють судити про зв'язок (залежність) сусідніх значень часового ряду, вони використовуються при підборі параметричних моделей авторегресії - ковзного середнього. Графік періодограми дозволяє судити про наявність гармонійних складових у часовому ряді.