СРАВНЕНИЕ И АНАЛОГИЯ

СРАВНЕНИЕ И АНАЛОГИЯ. Сравнение – это установление сходства или различия между предметами или их отдельными признаками. Сравнение приводит к правильному выводу, если выполняются следующие условия: сравниваемые понятия однородны и сравнение осуществляется по таким признакам, которые имеют существенное значение.

Процесс сравнения и аналогия тесно связаны. Можно сказать, что сравнение подготавливает почву для применения аналогии. С помощью аналогии сходство предметов, выявленное в результате их сравнения, распространяется на новое свойство. Рассуждения по аналогии можно представить следующей схемой: Объект A обладает свойствами c1, c2, …, cn. Объект B обладает свойствами c1, c2, …, cn-1. Предполагается, но не утверждается, что B обладает свойством cn. Именно поэтому аналогию нельзя считать доказательным методом, ее еще надо обосновать.

Тем не менее, рассуждения по аналогии полезны в процессе обучения, так как подразумевают самостоятельную формулировку новых теоретических фактов. Основная ошибка школьников при применении аналогии – это отсутствие рассуждений, которые бы полностью ее обосновывали. Без них решение является неполным или просто неверным. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в решениях школьников виды необоснованных аналогий: 1) Расширение сферы применения теоремы.

Появление такого рода ошибки, как правило, связано с формальным знанием теоремы или свойства. В сознании ученика четко не выделены условия применимости теоремы, и в результате некоторые из них остаются за пределом его рассмотрения. Следствием этого является незаконное использование теоремы. По сути ученик применяет не теорему, а ее аналог, который нередко оказывается неверным. Рассмотрим пример: Пример Aн1: Хорда, не проходящая через центр окружности, равна диаметру.[5] Доказательство: Дана окружность с диаметром AB. Выберем на ней произвольно точку C. Середина AC – точка D. Проведем через точки B и D хорду BE. Теперь соединим точки C и E. Рассмотрим треугольники ADB и DCE. Они равны по стороне и двум углам: AD = DC по построению; B = C как вписанные, опирающиеся на одну дугу AE; ADB = CDE как вертикальные. Значит соответствующие стороны AB и EC равны.

Анализ ошибки: «Равенство треугольников по стороне и двум углам» – именно такую условную формулировку часто дают признаку равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам.

В результате школьники просто ищут пары равных элементов: AD = DC, B = C, ADB = CDE. При этом условие, что углы должны быть прилежащими соответственно к сторонам AB и DC, забывается. Буквальное восприятие условной формулировки признака равенства треугольников приводит к замене его совсем другим. Произошло расширение сферы применения признака.

Ученик воспользовался им без выполнения надлежащих условий, он заменил их на более общие. Это и привело к противоречивому факту – равенству хорды, не проходящей через центр, диаметру. В этом случае лучше всего будет, если ученик самостоятельно, просмотрев предварительно точную формулировку признака равенства треугольников, найдет у себя ошибку. 2) Использование вместо теоремы обратного к ней утверждения. Смысл рассуждений при этом заключается в следующем: если у нас верно AB, то верным будет и BA. Понятно, что это выполняется не всегда.

Приведем простой пример, когда обратная теорема не верна, и ее применение приводит к противоречивому результату. Пример Ан2: Докажем, что все числа равны. Для этого возьмем два произвольных числа a и b. Докажем, что a = b. 0 = 0  a2 – 2ab +b2 = b2 –2ab + a2  (a – b)2 = (b – a)2  a – b = = b – a  2a = 2b  a = b. Переход (a – b)2 = (b – a)2  a – b = b – a не верен. Дело в том, что из равенства чисел следует равенство их квадратов, но из равенства квадратов не следует равенство чисел (будут равны лишь их модули). 3) Ошибки при попытке обобщения.

Пусть у нас имеется класс A и класс B. Для элементов класса A выполняется свойство CA. Делается предположение, что для элементов класса B будет выполняться условие CB, которое построено по аналогии со свойством CA в соответствии с особенностями класса B. Например: Задача Ан3: В прямом параллелепипеде ребра равны a, b, c. Найдите длину главной диагонали.

Решение: Так как в прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов его сторон, то квадрат главной диагонали в прямом параллелепипеде будет равен сумме квадратов его ребер, то есть a2 + b2 +c2. В данном случае утверждение, полученное по аналогии, верно, но не доказано. Другой пример: в плоскости любая прямая задается уравнением вида Ax + By + C = 0. Предположение, что в пространстве любая прямая будет задаваться уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0 не верно.

Задача учителя – объяснить ученику, что утверждение, полученное по аналогии с верным, может оказаться неверным. Поэтому оно требует отдельного доказательства. 1.4 Абстракция, конкретизация и обобщение. Абстракция состоит в том, что субъект, вычленяя какие-либо свойства, признаки изучаемого объекта, отвлекается от остальных [2]. Абстрагирование, процесс применения абстракции, обычно осуществляется в результате анализа.

При этом признак, отделяемый от объекта, становится самостоятельным объектом мышления. Конкретизация предполагает возвращение мысли от общего и абстрактного к конкретному с целью раскрыть его содержание [2]. Обобщение – мысленное объединение предметов и явлений по их общим и существенным признакам [2]. Эти три процесса тесно взаимосвязаны между собой. Абстрагирование, как правило, происходит лишь после обобщения, когда объект абстрагирования выделен. Конкретизация – процесс, обратный к абстрагированию.

Обобщение можно определить, как переход от единичного к общему. Рассматриваются конкретные объекты класса. У этих объектов замечается выполнение определенного свойства, делается предположение, что для всех объектов класса это свойство будет выполняться. На самом деле есть определенная схожесть с аналогией, но есть и отличие: при обобщении мы можем с помощью абстрагирования работать с классом, как с одним объектом. Например, любое число, делящееся на 5 можно представить в виде 5k. Доказав какое-то свойство для этого объекта, мы тем самым докажем это свойство для всего класса. Обратное происходит при конкретизации: если свойство верно для всего класса, то для конкретного объекта этого класса свойство будет выполняться.

Рассмотрим ошибки, которые могут возникать при этих процессах. Одна из распространенных ошибок – необоснованность обобщений. Свойство класса при этом просто замечается, но не доказывается, оно, как правило, проверяется лишь для нескольких элементов класса.

Рассмотрим классический пример, принадлежащий Л. Эйлеру: Пример О1: Верно ли, что при любом натуральном n n2 + n +41 – простое число? Доказательство: при n = 1: n2 + n + 41 = 43 – простое число; при n = 2: n2 + n + 41 = 47 – простое число; при n = 3: n2 + n + 41 = 53 – простое число; при n = 4: n2 + n + 41 = 61 – простое число; при n = 5: n2 + n + 41 = 71 – простое число; и т. д. При остальных n выражение n2 + n + 41 также будет простым числом. Обобщение в этом случае не только не обосновано, но и опровергается конкретным примером: при n = 41 имеем n2 + n + 41 = 412 + 41 + 41 = 41(41+2) = 4143. В жизни обычно на основе проверки свойства у нескольких объектов класса делается вывод, что данное свойство выполнимо для всего класса в целом.

Примерно так строилось большинство физических законов; на ограниченном числе опытов выводились биологические и химические закономерности. Конечно, обобщение – это неотъемлемая часть построения гипотез. Но именно гипотез, из которых лишь впоследствии вырастают логически обоснованные теории.

Из рассмотренного выше примера видно, что проверенное даже на многих конкретных примерах утверждение (для натуральных чисел, меньших 41, оно выполняется) может оказаться ложным. Подобные ситуации и вынуждают приводить полные доказательства полученных обобщений, независимо от степени уверенности в справедливости данной гипотезы. Ошибочность полученной с помощью обобщения гипотезы нередко бывает связана с нереферентностью неосознанно проведенной выборки рассмотренных для ее выдвижения объектов.

Они в таких случаях обычно подбираются по принципу «что ближе лежит (или лучше знаем), то и берем». В результате предполагаемый ответ может оказаться неверным для объектов, которые "лежат дальше". Рассмотрим конкретный пример. Пример О2: Найдите множество всех решений неравенства x3 – x0 (х  R). Ответ: [0,+]. Анализ ошибки: Ученик просто подобрал ответ, подставляя в неравенство только целые числа.

Поэтому-то промежуток (0,1) он также включил в ответ (ведь в нем нет ни одного целого числа, а 0 и 1 удовлетворяют неравенству). Изучив нецелые числа, ученики тем не менее стараются по возможности обходится без них. Такой разрыв между теоретическими знаниями и обыденным сознанием зачастую ведет к неверным выводам вроде сделанного выше. В данной ситуации лучше всего посоветовать ученику решить неравенство методом интервалов, сравнить полученный ответ с первым и попытаться понять, почему его первоначальная гипотеза оказалась неверной.

Решения, в которых доказательство свойства для всего класса необоснованно заменяется проверкой лишь для одного или нескольких конкретных объектов этого класса, вообще встречаются в работах школьников достаточно часто. Рассмотрим еще один пример. Задача О3: Докажите, что сумма любых десяти подряд идущих нечётных чисел делится на 20. Решение: 1 + 3 + 5 + 7 + … + 19 = 100, делится на 20. Остальные суммы тоже делятся на 20. Анализ решения: Из того, что свойство выполняется для одной последовательности чисел, еще не следует выполнение свойства для любой другой последовательности.

Например, почему 1333 + …+ 1351 делится на 20? От ученика требуются пояснения, которые бы доказывали свойство для всех последовательностей, а не проверка свойства на конкретном примере. Поэтому и оценка решения должна вестись прежде всего на основе того, проверяет ученик свойство для частных случаев или он проводит свои рассуждения для всего класса рассматриваемых объектов.

В нашем случае видно, что ученик просто подсчитал сумму, никакой предпосылки для обобщения он не выделяет. Рассмотрим пример, когда строгого доказательства нет, но все-таки его можно считать верным. Задача О4: Число при делении на 5 дает остаток 2. Какой может быть остаток при делении на 10? Решение: 2 = 50 + 2 = 100 + 2, 7 = 51 + 2 = 100 + 7, 12 = 52 + + 2 = 101 +2 и так далее, при увеличении числа на 5 никаких других остатков, кроме 2 и 7 не будет.

В этом случае более строгих пояснений не требуется, так как действия с оставшимися объектами достаточно ясны. В отличие от обобщения, при конкретизации происходит переход от общего к частному: от понятия к объекту, который этим понятием характеризуется; от теоремы к применению этой теоремы. В связи с этим возникают ошибки следующего вида: 1) неточное понимание определения; 2) неправильное применение теоремы, свойства.

В понимание структуры определения входит: 1) понимание смысла определения (раскрытие содержания понятия). 1)2) понимание строения определения (родовой и видовой признаки). 1)3) знание условий, которым должно удовлетворять правильное определение (указываются только основные признаки, не должно быть “порочного круга”). Ученики могут понимать определение более узко (множество объектов, подходящих под определение, меньше действительного) или более широко (множество объектов, подходящих под определение, шире действительного). Примеры: • по определению делимости 5 делится на 2, так как существует число 2,5 такое, что 5 = 2& #61655;2,5. Множество объектов шире действительного, так как оба множителя должны быть целыми числами. • многие школьники четырехугольник понимают как выпуклый, понятия о существовании невыпуклого четырехугольника нет, так как в школьной практике ученики работают почти исключительно с выпуклыми фигурами.

Множество объектов, удовлетворяющих определению, ýже действительного.

Ученики в рассуждениях иногда используют предложения, которые к рассматриваемому объекту применять нельзя. Например: Задача О5: Основание призмы имеет площадь S. Ее боковое ребро длиной k наклонено к основанию под углом . Найдите объем призмы. Решение: Объем призмы равен произведению площади основания на длину бокового ребра, поэтому V = Sk. Анализ ошибки: В данном случае ученик воспользовался формулой вычисления объема для прямой призмы.

Для наклонной призмы эта формула не верна, следовательно, применять ее нельзя. Единственный способ искоренить ошибку – показать ученику наглядно, что его рассуждения противоречивы. Для этого возьмем прямую призму. Разделим ее на две равные части так, как показано на рисунке. Составим из этих частей наклонную призму. Понятно, что их объемы должны быть равны. Если же действовать подобно ученику при вычислении объемов, то объем наклонной призмы будет больше, чем объем прямой призмы. §2.