Библиографический список

Библиографический список. Алексеев, А. Тригонометрические подстановки Текст Алексеев А Курляндчик Л. Квант 1995 2. -с. 40 - 42. 2. Алимов, Ш.А. Алгебра и начала анализа 10-11 Текст Ш.А. Алимов Учебник - Москва Просвещение, 2001. 3. Башмаков, Алгебра и начала анализа 10-11 Текст Башмаков Учебник - Москва Просвещение, 1992. 4. Бескин, Н.М. Вопросы тригонометрии и ее преподавания Текст Бескин Н.М Москва Учпедгиз, 1950. 5. Гилемханов, Р.Г. О преподавании тригонометрии в 10 классе по курсу В Текст Гилемханов Р.Г. Математика в школе. 2001- 6 -с. 26-28. 6. Горнштейн, П.И. Тригонометрия помогает алгебре Текст Горнштейн П.И. Квант. 1989- 5 - с. 68-70. 7. Дорофеев, Г. Периодичность и не периодичность функций Текст Дорофеев Г Розов Н. Квант. 1977- 1- с.43-48. 8. Зарецкий, В.И. Изучение тригонометрических функций в средней школе Текст Зарецкий В.И Минск Народная асвета, 1970. 9. Земляков, А. Периодические функции Текст Земляков А Ивлев Б. Квант. 1976- 12- с. 34-39. 10. Калинин, С.И. Задачи и упражнения по началам математического анализа Текст Калинин С.И Канин Е.С Маянская Г.М Ончукова Л. В Подгорная И.И Фалелеева С.А Киров ВГПУ, 1997. 11. Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала анализа 10-11 Текст А.Н. Колмогоров Учебник - Москва Просвещение, 1999. 12. Крамор, В.С. Тригонометрические функции Текст Крамор В.С Михайлов П.А Москва Просвещение, 1979. 13. Лященко, Е.И. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики Текст Лященко Е.И Москва Просвещение, 1988. 14. Мишин, В.И. Методика преподавания математики в средней школе Частная методика. Текст Мишин, В.И Москва Просвещение, 1987. 15. Мордкович, А.Г. Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе Текст Мордкович А.Г. Математика в школе. 2002 - 6 - с.32-38. 16. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 Текст А.Г. Мордкович Учебник- Москва Мнемозина, 2003. 17. Панчишкин, А.А. Тригонометрические функции в задачах Текст Панчишкин А.А Шавгулидзе Е.Т Москва Наука, 1986. 18. Раббот, Ж. Тригонометрические функции Текст Раббот Ж. Квант. 1972- 5- с. 36-38. 19. Синакевич, С.В. Тригонометрические функции Текст Синакевич С.В Москва Учпедгиз, 1959. 20. Смирнова, И.М. Необычный способ получения синусоиды Текст Смирнова И.М. Математика в школе. 1993- 3- с.56-58. 21. Цукарь, А.Я. Упражнения практического характера по тригонометрии Текст Цукарь А.Я. Математика в школе. 1993- 3- с 12-15. 22. Шаталов, В.Ф. Методические рекомендации для работы с опорными сигналами по тригонометрии Текст Шаталов В.Ф Москва Новая школа, 1993. 23. Шенфельд, Х. Что общего между заходом солнца и функцией y sin х Текст Шенфельд Х. Математика в школе. 1993- 2- с.75-77. Приложение Факультатив Тригонометрия помогает алгебре. Известно, что тот или иной материал усваивается школьниками не тогда, когда этот материал является целью обучения, а тогда, когда он становится средством для решения других задач 10 . Поэтому целесообразно показать учащимся то, как можно применять свойства тригонометрических функций и тригонометрические тождества при решении, например, алгебраических задач.

Цели 1 Провести межпредметные связи между тригонометрией и алгеброй. 2 Способствовать формированию умений решать некоторые виды уравнений алгебры с помощью тригонометрических подстановок.

Место изучения.

Этот факультатив желательно проводить после того, как изучены все разделы тригонометрии.

Ход факультатива Учащимся предлагается попробовать решить уравнение самостоятельно. Попробовав выполнить стандартное возведение в квадрат обеих частей, учащиеся натыкаются на уравнение 6-ой степени, решение которых в школьном курсе не рассматривается.

Обратив внимание учащихся, на то, что областью допустимых значений переменной данного уравнения является отрезок -1 1 , учитель предлагает вспомнить изученные функции, областью значений которых является данный отрезок.

После чего делается вывод если из условия задачи следует, что допустимые значения переменной x определяются неравенством x ?1, то удобны замены х sinб, б, или х cosб, б, причем какую из них выбрать, зависит от конкретной задачи.

Учащиеся совместно с учителем прорешивают данное уравнение.

Поскольку функция 4х3-3х существует при любых значениях х, найдем область определения функции f x 1- х2 ?0, значит х. Введем замену х cosб. Нас интересуют все значения этой функции.

Выберем для удобства любой отрезок, на котором функция косинус принимает все свои значения, например отрезок. Подставим х cosб в уравнение, получим Так как б, то sinб ?0 и можно опустить модуль Условию б удовлетворяют три значения б1 , б2 , б3 . x1 cos б1 cos, x2 cos б2 cos -sin x3 cos б3 cos -cos. Ответ x1 , x2 , x3 . Пример 2. Сколько корней на отрезке 0 1 имеет уравнение При отсутствии лишнего времени решение лучше вынести в качестве домашнего задания.

Если уровень подготовки класса не очень высок, то учитель может сделать подсказку Замена х cosб, б ставит в соответствие каждому значению х на 0 1 ровно одно значение б. Значит, число решений исходного уравнения на 0 1 равно числу решений соответствующего уравнения на, причем так как х0 и х1, то можно взять б. Уравнение примет вид Условию б удовлетворяют четыре значения б1 , б2 , б3 , б4 . Ответ уравнение на отрезке 0 1 имеет ровно четыре корня. Пример 3. Решить систему уравнений Внимательно посмотрев на первое уравнение системы, учащиеся сами или с помощью учителя замечают, что оно очень похоже на основное тригонометрическое тождество и делают вывод если в задаче встречается равенство х2 y2 1, то часто бывает полезно сделать замену х sinб, y cosб, б, так как числа, сумма квадратов которых равна 1, это синус и косинус одного и того же числа.

Дальнейшее решение системы не вызывает затруднений и может быть произведено учащимися самостоятельно. Пусть х sinб, y cosб, б Второе уравнение системы примет вид Условию б удовлетворяют четыре значения б1 , б2 , б3 , б4 . х1 y1 х2 y2 х3 y3 х4 y4 Ответ х, y x, y x, y x, y. В качестве домашнего задания учащимся можно предложить решить задачу Числа a, b, c, d таковы, что a2 b2 1, c2 d2 1, ac bd 0. Чему равно ab cd? Решение может выглядеть следующим образом. Пусть а sinб, b cosб, б, c sinв, d cosв, в. Уравнение ac bd 0 перепишем в виде Преобразуем выражение ab cd Так как cos б- в 0, то sin б в cos б - в 0, a значит ab cd 0. Ответ ab cd 0 После этого учитель подводит учащихся к вопросу Можно ли применять тригонометрические подстановки для решения уравнений, в область допустимых значений которых входят все действительные числа? Можно, но в случаях, когда переменная может принимать различные значения, используются замены x tgб, б и x ctgб, б. Пример 5. Доказать, что при любых действительных х и у. Замечание.

Желательно обсудить с учащимися лишь необходимую замену.

Все остальное они в силах проделать самостоятельно.

Положим, где. Тогда Так как все значения выражения лежат в промежутке -1 2 1 2 , следовательно, и все значения исходного выражения лежат в этом же промежутке.

Что и требовалось доказать.