Виды и определения математических понятий в начальной математике

Виды и определения математических понятий в начальной математике. При усвоении научных знаний учащиеся начальной школы сталкиваются с разными видами понятий.

Неумение ученика дифференцировать понятия приводит к неадекватному их усвоению. Логика в понятиях различает объем и содержание. Под объемом понимается тот класс объектов, которые относятся к этому понятию, объединяются им. Так, в объем понятия треугольник входит все множество треугольников независимо от их конкретных характеристик видов углов, размера сторон и др Под содержанием понятий понимается та система существенных свойств, по которой происходит объединение данных объектов в единый класс.

Чтобы раскрыть содержание понятие, следует путем сравнения установить, какие признаки необходимы и достаточны для выделения его отношения к другим предметам. До тех пор, пока не установлены содержание и признаки, не ясна сущность предмета, отражаемого этим понятием, невозможно точно и четко отграничить этот предмет от смежных с ним, происходит путаница мышления. Например, понятии треугольник к таким свойствам относятся следующие замкнутая фигура, состоит из трех отрезков прямой.

Совокупность свойств, по которым объединяются объекты в единый класс, называются необходимыми и достаточными признаками. В одних понятиях эти признаки дополняют друг друга, образуя вместе то содержание, по которому и объединяются объекты в единый класс. Примером таких понятий могут служить треугольник, угол, биссектриса и многие другие. Совокупность данных объектов, на которые распространяется данное понятие, составляет логический класс объектов.

Логический класс объектов - это совокупность объектов, имеющие общие признаки, вследствие чего они выражаются общим понятием. Логический класс объектов и объем соответствующего понятия совпадают. Понятия делятся на виды по содержанию и объему в зависимости от характера и количества объектов, на которые они распространяются. По объему математические понятия делятся на единичные и общие. Если в объем понятия входит только один предмет, оно называется единичным.

Примеры единичных понятий наименьшее двузначное число, цифра 5 , квадрат, длина стороны которого 10 см, круг радиусом 5 см. Общие понятие отображает признаки определенного множества предметов. Объем таких понятий всегда будет больше объема одного элемента. Примеры общих понятий множество двузначных чисел, треугольники, уравнения, неравенства, числа кратные 5 , учебники математики для начальной школы. По содержанию различают понятия конъюнктивные и дизъюнктивные, абсолютные и конкретные, безотносительные и относительные.

Понятия называются конъюнктивными, если их признаки взаимосвязаны и по отдельности ни один из них не позволяет опознать объекты этого класса, признаки связаны союзом и. Например, объекты, относящиеся к понятию треугольник, обязательно должны состоять из трех отрезков прямой и быть замкнутыми. В других понятиях отношение между необходимыми и достаточными признаками другие они не дополняют друг друга, а заменяют. Это означает, что один признак является эквивалентом другого.

Примером такого вида отношений между признаками могут служить признаки равенства отрезков, углов. Известно, что к классу равных отрезков относятся такие отрезки, которые а или совпадают при наложении б или порознь равны третьему в или состоят из равновеликих частей и т.д. В данном случае перечисленные признаки не требуются все одновременно, как это имеет место при конъюнктивном типе понятий здесь достаточно какого-то одного признака из всех перечисленных каждый из них эквивалентен любому из остальных.

В силу этого признаки связаны союзом или. Такая связь признаков называется дизъюнкцией, а понятия соответственно называются дизъюнктивными. Важно также учитывать деление понятий на абсолютные и относительные. Абсолютные понятия объединяют предметы в классы по определенным признакам, характеризующим суть этих предметов как таковых. Так, в понятии угол отражены свойства, характеризующие сущность любого угла как такового. Аналогично положение со многими другими геометрическими понятиями окружность, луч, ромб и т.д. Относительные понятия объединяют объекты в классы по свойствам, характеризующим их отношение к другим объектам.

Так, в понятии перпендикулярные прямые фиксируется то, что характеризует отношение двух прямых друг к другу пересечение, образование при этом прямого угла. Аналогично в понятии число отражено отношение измеряемой величины и принятого эталона. Относительные понятия вызывают у учащихся более серьезные трудности, чем понятия абсолютные.

Суть трудностей состоит именно в том, что школьники не учитывают относительность понятий и оперируют с ними как с понятиями абсолютными. Так, когда учитель просит учеников изобразить перпендикуляр, то некоторые из них изображают вертикаль. Особое внимание следует уделить понятию число. Число - это отношение того, что подвергается количественной оценке длина, вес, объем и др. к эталону, который используется для этой оценки. Очевидно, что число зависит как от измеряемой величины, так и от эталона.

Чем больше измеряемая величина, тем больше будет число при одном и том же эталоне. Наоборот, чем больше будет эталон мера, тем меньше будет число при оценке одной и той же величины. Следовательно, учащиеся с самого начала должны понять, что сравнение чисел по величине можно производить только тогда, когда за ними стоит один и тот же эталон. В самом деле, если, например, пять получено при измерении длины сантиметрами, а три - при измерении метрами, то три обозначают большую величину, чем пять. Если учащиеся не усвоят относительной природы числа, то они будут испытывать серьезные трудности и при изучении системы счисления.

Трудности в усвоении относительных понятий сохраняются у учащихся и в средних, и даже в старших классах школы. Между содержанием и объемом понятия существует зависимость чем меньший объем понятия, тем больше его содержание. Например, понятие квадрат имеет меньший объем, чем объем понятия прямоугольник так как любой квадрат - это прямоугольник, но не всякий прямоугольник есть квадрат. Поэтому понятие квадрат имеет большее содержание, чем понятие прямоугольник квадрат имеет все свойства прямоугольника и некоторые другие у квадрата все стороны равны, диагонали взаимно перпендикулярны. В процессе мышления каждое понятие не существует в отдельности, а вступает в определенные связи и отношения с другими понятиями.

В математике важной формой связи есть родовидовая зависимость. Например, рассмотрим понятия квадрат и прямоугольник. Объем понятия квадрат есть частью объема понятия прямоугольник. Поэтому первое называют видовым, а второе - родовым.

В родо-видовых отношениях следует различать понятие ближайшего рода и следующие родовые ступени. Например, для вида квадрат ближайшим родом будет род прямоугольник, для прямоугольника ближайшим родом будет род параллелограмм, для параллелограмма - четырехугольник, для четырехугольника - многоугольник, а для многоугольника - плоская фигура. В начальных классах впервые каждое понятие вводится наглядно, путем наблюдения конкретных предметов или практического оперирования например, при счете их. Учитель опирается на знание и опыт детей, которые они приобрели еще в дошкольном возрасте.

Ознакомления с математическими понятиями фиксируется с помощью термина или термина и символа. Такая методика работы над математическими понятиями в начальной школе не означает, что в этом курсе не используются различные виды определений. Определить понятие - это перечислить все существенные признаки объектов, которые входят в данное понятие.

Словесное определение понятия называется термином. Например, число, треугольник, круг, уравнение - термины. Определение решает две задачи выделяет и отмежевывает какое-то определенное понятие от всех других и указывает те главные признаки, без которых не может существовать понятие и от которых зависят все остальные признаки. Определение может быть более или менее глубоким. Это зависит от уровня знаний о понятии, которое означается.

Чем лучшее мы его знаем, тем большая вероятность, что мы сможем дать для него лучшее определение. В практике обучения младших школьников применяются явные и неявные определения. Явные определения имеют форму равенства или совпадения двух понятий. Например Пропедевтика есть вступление в любую науку. Здесь приравнивают один к одному два понятия - пропедевтика и вступление в любую науку. В определении Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны имеем совпадение понятий.

В обучении младших школьников особый интерес среди неявных определений составляют контекстуальные и остенсивные определения. Любой отрывок из текста, будь какой контекст, в котором случается понятие, которое нас интересует есть, в некотором понимании, неявным его определением. Контекст ставит понятие в связь с другими понятиями и тем самим раскрывает ее содержание. Например, употребляя в работе с детьми такие выражения, как найти значения выражения, сравнить значение выражений 5 а и а - 3 2, если а 7 , прочитать выражения, которые являются суммами, прочитать выражения, и потом прочитать уравнения, мы раскрываем понятие математическое выражение как запись, которая складывается из чисел или переменных и знаков действий.

Почти все определения, с которыми мы встречаемся в повседневной жизни - это контекстуальные определения. Услышав, неизвестное слово, мы стараемся сами установить его значение на основании всего сказанного.

Подобное имеет место и в обучении младших школьников. Много математических понятий в начальной школе определяются через контекст. Это, например, такие понятия, как большой - маленький, какой-нибудь, любой, один, много, число, арифметическое действие, уравнение, задача и т.д. Контекстуальные определения остаются большей частью неполными и незавершенными. Они применяются в связи с неподготовленностью младшего школьника к усвоению полного и тем более научного определения. Остенсивные определния - это определения путем демонстрации.

Они напоминают обычные контекстуальные определения, но контекстом здесь есть не отрывок какого-либо текста, а ситуация, в которой оказывается объект, обозначенный понятием. Например, учитель показывает квадрат рисунок или бумажную модель и говорит Смотрите - это квадрат. Это типичное остенсивное определение. В начальных классах остенсивные определения применяются при рассмотрении таких понятий как красный белый, черный и т.д. цвет, левый - правый, слева направо, цифра, предшествующее и следующее число, знаки арифметических действий, знаки сравнения, треугольник, четырехугольник, куб и т.д. На основе усвоения остенсивным путем значений слов есть возможность вводить в словарь ребенка уже вербальное значение новых слов и словосочетаний.

Остенсивные определения - и только они - связывают слово с вещами. Без них язык - лишь словесное кружево, которое не имеет объективного, предметного содержания. Заметим, что в начальных классах допустимые определения наподобие Словом пятиугольник мы будем называть многоугольник с пятью сторонами. Это так называемое номинальное определение. В математике используются разные явные определения.

Наиболее распространенное из них - определение через ближайший род и видовой признак. Родовидовое определение еще называют классическим. Примеры определений через род и видовой признак Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельные , Ромбом называется параллелограмм, стороны которого равны , Прямоугольником называется параллелограмм, у которого углы прямые , Квадратом называется прямоугольник, в которым стороны равны , Квадратом называется ромб, у которого прямые углы. Рассмотрим определения квадрата.

В первом определении ближайшим родом будет прямоугольник, а видовым признаком - все стороны равны. В втором определении ближайший род ромб, а видовой признак - прямые углы. Если же взять не ближайший род параллелограмм, то видовых признаков квадрата будет два Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы прямые. В родовидовом отношении находятся понятия сложение вычитание, умножение, деление и арифметическое действие, понятие острый прямой, тупой угол и угол. Примеров явных родовидовых отношений среди множества математических понятий, которые рассматриваются в начальных классах, не так уже и много.

Но с учетом важности определения через род и видовой признак в дальнейшем обучении желательно добиваться понимания учениками сущности определения этого вида уже в начальных классах.

Отдельные определения могут рассматривать понятие и по способу его образования или возникновения. Определение такого типа называют генетическими. Примеры генетических определений Угол - это лучи, которые выходят с одной точки , Диагональ прямоугольника - отрезок, который соединяет противоположные вершины прямоугольника. В начальных классах генетические определения применяют для таких понятий, как отрезок, ломаная, прямой угол, круг. К генетическим понятиям можно отнести и определение через перечень.

Например, Натуральный ряд чисел - это числа 1, 2, 3, 4 и т.д Некоторые понятия в начальных классах вводят только через термин. Например, единицы времени год, месяц, час, минута. Есть в начальных классах понятия, которые подаются символическим языком в виде равенства, например, а 1 а, а 0 0 В начальных классах много математических понятий сначала усваиваются поверхностно, расплывчато.

При первом ознакомлении школьники узнают только о некоторых свойствах понятий, очень узко представляют их объем. И это закономерно. Не все понятия легко усвоить. Но бесспорно, что понимание и своевременное использование учителем тех или других видов определений математических понятий - одна из условий формирования у учеников твердых знаний об этих понятиях. 1.3. Роль, функции классификации при формировании понятий В организации учебной деятельности младших школьников в процессе формирования математических понятий особую роль играет прием классификации.

Для того чтобы решать вопрос о принадлежности предмета к данному понятию учащиеся должны уметь дифференцировать признаки на существенные и несущественные, необходимые и достаточные, выделять различные свойства - то есть владеть целой системой логических приемов анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение. Классификация - это прием умственной деятельности, представляющий собой систематическое распределение элементов данного множества по классам, согласно наиболее существенным признакам.

В теории множеств классификация - это действие распределения объектов по классам на основании сходств объектов внутри класса и их отличия от объектов других классов. Этот прием умственной деятельности является средством упорядочения изучаемых объектов, установления закономерных связей между ними. Именно в этом случае классификация выявляет существенные сходства и различия между предметами и имеет большое познавательное значение. Классификация основывается на способности видеть общее в каждом конкретном единичном случае и преследует цель уточнить, обобщить знание о связях и отношениях между изучаемыми объектами.

Признак, который является классификационным основанием, должен быть наиболее пригодным и удобным для определения предметов в классификационной системе. Структуру классификации, как приема умственной деятельности образуют следующие действия 1 определение цели классификации объектов понятий, отношений 2 выбор основания существенное свойство, признак для классификации 3 деление по этому основанию всего множества объектов понятий, отношений на непересекающиеся подмножества, входящих в объем данного понятия 4 построение иерархической классификационной системы.

Разновидность объектов для классификации достаточно обширна даже в рамках одного учебного предмета, не говоря уже о всей совокупности предметов, которые изучают в школе. В теории множеств это могут быть свойства функций, понятия, виды отношений и соответствий, законы, теоремы и т.д. В процессе овладения умением классифицировать необходимо сформировать у учеников на практических примерах представления о таких понятиях, как вид, род, класс, объем понятия, деление объема понятия.

Класс - это совокупность разряд или группа предметов, выделенных по некоторому общему признаку, мыслимая как единое целое. Вид - подразделение в систематике, входящее в состав высшего разряда - род. Вид представляет собой специфическое, особенное в пределах общего.

Род - группа, которая объединяет несколько видов, обладающих общими признаками. Род представляет собой нечто общее в предметах, составляющих его виды. Видовое понятие обязательно обладает всеми свойствами родового, которое выступает по отношению к видовому как следующая ступень обобщения. Из определений видно, что деление на виды, роды, классы весьма относительно. Одно и то же понятие в разных классификационных системах может выступать и как видовое и как родовое.

Установление родовидовых отношений, выделение в понятиях рода и видового различия - один из основных этапов классификации. При выполнении классификации должно выполнятся следующие требования 1 Классификация должна проводится по одному и тому же основанию. 2 Образованные подмножества классы непересекающиеся, т.е. никакая пара их не имеет общих элементов. Символическая запись этого условия Кi ? Kj ? для ?i, j, где i ?j. 3 Классификация должна быть соразмерной, т.е. объединение всех подмножеств классов образует все множество.

Классификация должна быть непрерывной, т.е. классами должны быть ближайшие видовые понятия по отношению к понятию, подлежащему классификации. В качестве оснований для классификации выделяют свойства данных объектов. В связи с этим можно выделить следующие уровни классификации 1 Классификация типология - деление всего объема понятия на непересекающиеся подмножества, группы классы согласно наиболее общего существенного свойства. 2 Ошибочная классификация - деление объектов понятий, отношений на группы классы согласно наиболее общего свойства, выделенного непосредственным восприятием объектов понятий, отношений. Обычно такие ошибочные классификации осуществляются на эмпирическом уровне усвоения знаний. Существуют различные способы проведения классификации 1 Классификация по видоизмененному признаку.

Элементы понятия, подлежащего классификации, обладают несколькими признаками. В качестве основания классификации могут использоваться различные признаки классифицируемого понятия.

Пример ученики третьего класса легко могут разбить множество Х треугольников на три класса остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Действительно, выделенные подмножества попарно не пересекаются среди остроугольных нет прямоугольных и тупоугольных, среди прямоугольных - тупоугольных и их объединение совпадает с множеством Х. Однако то, что не всякая система подмножеств данного множества представляет собой разбиение этого множества им понять сложно.

Например, если из множества Х треугольников выделить подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонний, то разбиения множества Х на классы мы не получим, поскольку множества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются все равносторонние треугольники являются равнобедренными. Из таблицы видно, что образовалось девять классов, из которых некоторые пусты см. табл.1.1 . В случае алгебраических уравнений при одновременном использовании двух оснований классификаций получаем, например, класс уравнений первой степени с двумя переменными или класс уравнений второй степени с одной переменной и т. д. При одновременной классификации натуральных чисел по признаку делимости их на 2 и на 3 получаем класс натуральных чисел, делящихся на 6, и др. Выбор признака классификации зависит от целей классификации, от практических задач.

Важнейшим требованием к признаку основанию классификации является его объективность.

Нельзя делить книги на интересные и неинтересные, задачи на легкие и трудные, так как такие признаки носят субъективный характер. В самом деле, одни и те же теоремы могут быть легкими для одних учеников и трудными для других. 2 Дихотомическая от греческих слов dicha и tome сечение на две части классификация представляет собой деление объема классифицируемого понятия на два видовых понятия, один из которых обладает данным признаком, а другой не обладает им. Сравнивая дихотомическую классификацию с классификацией по видоизмененному основанию, можно выделить ряд преимуществ.

Эта классификация всегда удовлетворяет требованию соразмерности, так как объединение образованных классов полностью исчерпывает объем понятия, подлежащего классификации. Кроме того, образованные классы всегда исключают друг друга. Однако дихотомическая классификация не лишена недостатков. Так, разделив объем понятий на два противоречащих друг другу видовых понятия, мы оставляем весьма неопределенным то видовое понятие, которое содержит частицу не. Например, разделив класс тригонометрических уравнений на простейшие уравнения и не простейшие, оставляем достаточно неясным объем класса не простейших тригонометрических уравнений.

Пример. Применяя дихотомию можно провести классификацию треугольников и четырехугольников так Дихотомия часто используется при разбиении данного множества одновременно по нескольким основаниям. 3 Дихотомия по разным основаниям - разбиение объема классифицируемого понятия по независимым основаниям на 2п класса.

Имеет место следующая теорема при разбиении множества М по n независимым основаниям образуется 2 n класса n. Эта теорема о разбиении множества по n независимым основаниям может быть использована для решения задач определенного типа. Для решения таких задач целесообразно использовать наглядную интерпретацию разбиения множества на классы с помощью диаграмм Эйлера - Венна. В диаграмме заполняется числом элементов каждая ее часть класс в соответствии с условиями задачи, что и ведет к решению задачи.

Пример. Рассмотрим два свойства натуральных чисел быть кратным 3 и быть кратным 5 .При помощи этих свойств из множества натуральных чисел можно выделить два подмножества А - подмножество чисел, кратных 3, и В - подмножество чисел, кратных 5. Эти подмножества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого. Проанализируем получившуюся картину. Круг, изображающий множество N натуральных чисел, разбился на 4 непересекающиеся области - они пронумерованы римскими цифрами.

Каждая область изображает некоторое подмножество множества N . Определим, какие числа оказались в каждом из этих непересекающихся подмножеств. Подмножество I состоит из чисел, кратных 3 и 5 подмножество II - из чисел, кратных 3 и не кратным 5 подмножество III - из чисел, кратных 5 и не кратных 3 подмножество IV - из чисел, не кратных 3 и не кратных 5. Объединение этих четырех подмножеств есть множество N. Для формирования умений по классификации и систематизации целесообразно на практических занятиях или в качестве самостоятельной работы предлагать упражнения на составление классификационных схем. Порядок составления таких схем предполагает схематическое изображение изученных в данной теме понятий на основе их родо - видовых отношений.

Классификационные схемы целесообразно составлять в конце изучения темы или раздела. При изложении математики в школе часто приходится прибегать к классификации. В процессе классификации образуется система изучаемых понятий.

Полезны классификации при повторении, так как при этом систематизируется изучаемый материал, ученики получают более полное представление о взаимосвязях между понятиями и о системе математических понятий. В процессе этой работы важно широко использовать таблицы, схемы, диаграммы, иллюстрирующие вопросы классификации и их применение при решении задач. Применение приема классификация на уроках позволяет существенно расширить имеющиеся в практике приемы работы, способствуют формированию положительных мотивов в учебной деятельности, так как подобная работа содержит и элементы игры и элементы поисковой деятельности, что в свою очередь повышает активность учащихся и обеспечивает самостоятельное выполнение работ.

РАЗДЕЛ 2.