Счеты, отражающие десятичную систему
Непосредственное вмешательство учителя, его короткое, понятное объяснение необходимы для представления другого материала, который, можно сказать, символически представляет десятичную систему. Речь идет о счетах, очень простых. Они того же размера, что и рамки со шнуровками для малышей, легкие, ими просто манипулировать, несложно и недорого изготовить. Каждому ученику можно дать собственные счеты в личное пользование.
Счеты первой разновидности — малые. На четырех горизонтальных металлических спицах нанизаны бусины, по 10 на каждой. Три верхние спицы расположены на одинаковом расстоянии, нижняя — гораздо дальше от остальных, она выделена металлической шишечкой, закрепленной на левой стороне рамки. Сама рамка ниже этой шишечки выкрашена в один цвет, выше — в другой. На левой стороне рамки рядом с местом крепления каждой спицы написаны числа: рядом с верхней спицей — 1, со второй — 10, с третьей — 100, рядом с нижней, отдельной спицей — 1000.
Мы объясняем ребенку, что считаем каждую бусину на верхней спице единицей, как всякую отдельную бусину (здесь бусины зеленые). Каждая синяя бусина на второй спице представляет сразу десяток (как десятичный стержень), красная бусина на третьей спице — сотня (сотенная цепь), зеленая бусина на четвертой спице — тысяча, она равна тысячной цепи.
Конечно, освоить эту символику детям непросто, однако, если мы дадим им время спокойно разглядывать счеты, считать бусины, изучать цепи, они, в конце концов, во всем разберутся. Идея соотношения единицы, десятка, сотни, тысячи созреет в них постепенно, ученики поймут смысл символики, научатся ею пользоваться.
К счетам прилагаются расчерченные листочки. Они поделены вертикальной линией на две равные части. И на правой, и на левой части проведены вертикальные параллельные линии на равном расстоянии: крайняя справа — зеленая, затем синяя, затем красная. Пунктирная линия отделяет эту группу от еще одной вертикали, проведенной на большем расстоянии (сдвинутой влево). На трех первых вертикалях пишут (справа налево) единицы, десятки, сотни, на отдельной вертикали после пунктира — тысячи. Правая сторона листочка предназначена для объяснения данной идеи, для установления связи между записью и счетами, символизирующими десятичную систему.
Сначала можно посчитать бусины на счетах, приговаривая: «Первая спица: одна единица, две единицы, три единицы, четыре единицы, пять единиц, шесть единиц, семь единиц, восемь единиц, девять единиц, десять единиц. Все десять единиц равны одной-единственной бусине на нижней, второй спице». Так же считаем бусины на второй спице: «Один десяток, два десятка, три десятка, четыре десятка, пять десятков, шесть десятков, семь десятков, восемь десятков, девять десятков, десять десятков. Все десять десятков, десять бусин второй спицы равны одной бусине на нижней, третьей спице». Так же считаем бусины на третьей спице: «Одна сотня, две сотни, три сотни, четыре сотни, пять сотен, шесть сотен, семь сотен, восемь сотен, девять сотен, десять сотен. Все десять сотен, десять бусин третьей спицы равны одной бусине на нижней, четвертой спице». Тысячных бусин тоже 10: «Одна тысяча, две тысячи, три тысячи, четыре тысячи, пять тысяч, шесть тысяч, семь тысяч, восемь тысяч, девять тысяч, десять тысяч». Ребенок может представить себе десять тысячных цепей. И символ соединится с зрительным представлением о количестве.
Теперь нужно как-то записать все наши счетные действия. На правой вертикальной линии (зеленой) мы пишем единицы, одну под другой. На второй вертикали (синей) — десятки (столбик располагается ниже единиц), на третьей вертикали (красной) — сотни (еще ниже). На четвертой вертикали, отделенной пунктиром, — тысячи (внизу листа). Горизонтальные линии листочка позволяют спускаться постепенно от единиц до тысячи.
Вот мы написали цифру 9 на зеленой единичной вертикали. Теперь мы переходим от единичной вертикали к десятичной, пишем там цифру 1. Действительно, 10 единиц — один десяток. Написав 9 на десятичной вертикали (синей), переходим к сотенной линии (красной). Написав 9 на сотенной линии, переходим к тысячной, потому что, в самом деле, 10 сотен — это тысяча. Цифры закономерно сменяют друг друга (от 1 до 9), затем — переход. Эта идея должна созреть в сознании детей. Девять цифр, меняя места, способны выразить любое число в мире! Не цифра сама по себе, ее место по отношению к другим придает ей определенное значение. Иногда это 1, иногда 10, или 100, или 1000. И так до бесконечно огромных величин, которые мы и представить себе не можем. У нас есть тысячная цепь — ее длина 70 метров. А десятитысячная цепь, десять тысячных цепей, была бы длиной с целую улицу. Вот для чего нужны символы. Вот как важно место цифры в числе!
Но как мы указываем место цифры по отношению к другим цифрам, как определяем ее значение? Ведь не всегда есть разноцветные вертикальные линии. Люди ставят ноль справа от цифры. Наши ученики еще раньше узнают, что такое ноль — ничто, он ничего не прибавляет к числу, но способен указать его место и, таким образом, дать нам представление о его значении. Именно ноль, стоящий справа, превращает единицу в десяток. Ноль в «10» нужен, чтобы показать, что цифра один означает не единицу, она занимает место на линии десятков. Если вместо «0» будет стоять, например, «4», значит, у нас 4 единицы и один десяток.
Наши дети еще до школы умели писать 10, 100, поэтому им теперь так легко писать при помощи ноля в столбик, считая от 1 до 1000:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000. Научившись так считать, дети могут прочесть четырехзначное число.
Составим число сначала на счетах, например, 4827. Сначала откладываем влево четыре бусины на нижней, тысячной спице, 8 — на сотенной, 2 — на десятичной и 7 — на спице с единицами. Читаем: 4827.
Теперь записываем цифры на вертикальных линиях. Так же можно поступить и с числом, обозначающим год нашей жизни — 1916. Теперь отложим на счетах 2049. Сначала откладываем влево две бусины на нижней, тысячной спице, 4 — на десятичной и 9 — на спице с единицами. На сотенной спице ничего не отложено. Вот демонстрация роли ноля. Он нужен, чтобы обозначить пустое место.
То же самое с числом 4700, составленном на счетах. Сначала откладываем влево четыре бусины на нижней, тысячной спице, 7 — на сотенной, на остальных спицах — ничего. При записи эти пустые места мы заполняем нолями, то есть цифрами, которые ничего не значат.
Едва ребенок разобрался в этом, он самостоятельно начинает тренироваться с огромным интересом. Он откладывает влево наугад бусины на некоторых спицах на счетах, а потом старается понять, какое число получилось, и записать его на вертикальных линиях листочка. Эти операции с многозначными числами, с записью столбиком вполне доступны ребенку, если дать ему возможность самостоятельно упражняться.
Очень скоро ребенок захочет выйти за пределы тысячи.
Тогда понадобятся вторые счеты, большие. У них 7 спиц: единицы, десятки, сотни простые; единицы, десятки, сотни — тысяч и, наконец, — миллион. Переход от малых счет к большим вызывает огромный интерес и никаких трудностей. Детям практически не нужны комментарии учителя, они стараются сами во всем разобраться. Их страшно увлекают большие числа, и у них не возникает особых проблем. Скоро в классе появляются тетради, заполненные фантастически огромными числами. Дети с легкостью оперируют семизначными величинами!
Большие счеты располагаются в такой же рамке, что и малые. Левая сторона рамки выкрашена в три цвета, в соответствии с группами спиц. Единицы, десятки и сотни отделены шишечкой от тысячной группы, тысячная группа отделена шишечкой от миллионной спицы.
На разлинованном листе бумаги мы пишем в правой части числа от одного до миллиона: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000,6000, 7000, 8000,9000,10 000, 20 000, 30 000,40 000, 50 000,60 000, 70 000, 80 000, 90 000, 100 000. (По аналогии с листочком, входящим в комплект с малыми счетами.)
Теперь ребенок откладывает на счетах бусины, старается прочитать число и записать его на линеечках. Числа сумасшедшие: 6 206 818, 1 111 111,8 640 850 и т. д.
Когда придет время складывать или вычитать в столбик, ребенок будет удивлен легкостью, с которой сумеет овладеть этими операциями.