Пример 9. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону, выраженному формулой = 10 + 20t - 2t2. Найти по величине и направлению полное ускорение точки, находящейся на расстоянии 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 c.
Дано: = 10 + 20t - 2t2; r = 0,1 м; t = 4 c.
Найти: , , .
Решение. Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального и нормального ускорений.
(1)
Тангенциальное и нормальное ускорение точек вращающегося тела выражается формулами:
(2)
(3)
где - угловая скорость тела; - угловое ускорение тела; - расстояние точки от оси вращения.
Подставляя выражения (2), (3) в (1), находим
(4)
Угловая скорость вращающегося тела равна первой производной от угла поворота по времени
В момент времени t = 4с угловая скорость
= (20 - 4•4) с-1 = 4 с-1.
Угловое ускорение вращающегося тела равно первой производной от угловой скорости по времени
Это выражение углового ускорения не содержит времени, следовательно, угловое ускорение имеет постоянное значение. Подставляя найденные значения и в формулу (26 ), получим
Направление полного ускорения определяется углами, которые вектор ускорения образует с касательной к траектории или с нормалью к ней
(5)
(6)
Найдем по формулам (2), и (3) значения и :
= - 4 • 0,1 = - 0,4 м/с2;
= 42 • 0,1 = 1,6 м/с2.
Подставим эти значения в формулы (5), (6)
Пользуясь тригонометрическими таблицами, находим значения искомых углов
=760; =140.