Знаменитая история о маленьком Гауссе

Начнем с вопроса к читателю.

В новом доме вдоль стены холла строится лестница. В ней 19 ступенек. Со стороны холла лестница будет об­лицована квадратными резными панелями с размерами,

 

Рис. 72

равными размерам ступенек. Плотник поручает своему помощнику принести панели из магазина. Помощник спрашивает: «Сколько панелей я должен принести?» «Оп­редели сам», — отвечает плотник. Помощник начинает считать: 1 + 2 = 3; +3 = 6; +4=10; +5 = ...

Плотник смеется: «Подумай. Разве ты должен сосчи­тывать их одну за другой?»

Дорогой читатель, что бы вы сделали, если бы оказа­лись на месте помощника?

Если вам не удалось найти лучший способ, я спрошу: «А если бы лестница не примыкала к стене и потребова­лись бы квадратные плиты для обеих сторон? Помогло бы вам, если бы я посоветовал решить этот вопрос, сделав образцы этих двух сторон из бумаги?»

Дальнейший материал представляет собой различные экспериментальные вопросы, с помощью которых я изу-

чал особенности проблем, связанных с задачей Гаусса.

Теперь я расскажу историю о маленьком Гауссе, буду­щем знаменитом математике. Она заключается в следую­щем: шестилетним мальчиком он учился в средней школе небольшого городка. Учитель предложил контрольное за­дание по арифметике и объявил классу: «Кто из вас пер­вым найдет сумму 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10?» Очень скоро, в то время как остальные все еще были за­няты вычислениями, юный Гаусс поднял руку. «Liggetse», — сказал он, что означало: «Вот!»

«Каким образом, черт побери, тебе это так быстро удалось?» — воскликнул пораженный учитель. Юный Гаусс ответил — конечно, мы не знаем точно, что он отве­тил, но на основании экспериментального опыта я считаю, что он ответил приблизительно так: «Если бы я искал сумму, складывая 1 и 2, затем прибавляя к сумме 3, за­тем к новому результату — 4 и т. д., то это заняло бы очень много времени; и, пытаясь сделать это быстро, я, пожалуй, наделал бы ошибок. Но посмотрите, 1 и 10 в сумме дают 11, 2 и 9 снова в сумме составляют Н. И так далее! Существует 5 таких пар; 5, умноженное на 11, даст 55». Мальчик понял суть важной теоремы ¹. Запишем это в виде схемы:

 

Рис. 73

 

Подобно учителю, предложившему классу эту зада­чу, я задавал ее многим испытуемым, включая детей раз­ного возраста, желая узнать, будет ли найдено правиль­ное решение и какие средства, какие условия могут по­мочь найти его. Для того чтобы изучить связанные с этим решением шаги и его характерные черты, я применял систематические вариации; некоторые из них опишу в дальнейшем. Иногда я предлагал очень длинные ряды. Я прямо говорил: «Решите задачу, не прибегая к громозд­ким сложениям» — или просто ждал реакции испытуе­мых.

Вот лучшие из типичных процессов, которые я обна­ружил.

1. Сначала не было заметно, что человек решает за­дачу. Затем: «При заданной последовательности чисел, которые нужно сложить, конечно, правильно складывать их в порядке следования — но это так утомительно». Вдруг: «Это не просто любая последовательность; числа последовательно возрастают, шаг за шагом, — этот факт может... он должен иметь какое-то отношение к сумме. Но как эти две вещи связаны друг с другом — форма по­следовательности и ее сумма, — какова внутренняя связь между ними, остается неясным; я каким-то образом чув­ствую это, но не могу это понять».

Через некоторое время: «У ряда есть направление воз­растания. У суммы нет направления. Так вот: возраста­ние слева направо связано с соответствующим убыванием справа налево! Этот факт должен иметь отношение к сумме. → все больше и больше; ← все меньше и меньше — в той же пропорции. Если двигаться слева направо, от первого числа ко второму, то увеличение будет равно единице; если двигаться спра­ва налево, от последнего числа к предпоследнему, то уменьшение будет равно единице. Следовательно, сумма первого и последнего числа должна быть той же, что и сумма следующей внутренней пары. И это должно быть так всюду!»

«Остается только ответить на вопрос: сколько таких пар? Очевидно, что число пар равно половине всех чисел, следовательно, равно половине последнего числа».

В сущности, здесь происходит перегруппировка, реор­ганизация ряда в свете данной задачи. Это не слепая пе­регруппировка, она естественно возникает по мере того, как испытуемый старается постичь внутреннюю связь

между суммой ряда и его структурой. В этом процессе различные элементы явно приобретают новый смысл, но­вое функциональное значение. 9 теперь рассматривается не как 8+ 1, а как 10—1, и т. д.

Если подобным образом приходят к общей формуле

то рассматривают ее члены в свете такой структуры: (n+1) представляет величину пары, число пар. Но многие знающие только формулу, подходят к ней совершенно слепо. Для них все формулы

 

попросту эквивалентны ¹. Для них, по-видимому, оба n означают одно и то же. Они не осознают, что в случае пер­вой формулы n в выражении n+1 является одним из членов пары, тогда как n в означает число членов ряда, определяющее число пар. Конечно, эти четыре формулы приводят к одному и тому же конечному результату и яв­ляются в некотором смысле эквивалентными, но психоло­гически они не эквивалентны ². В действительности они различны и с логической точки зрения, если рассматривать их в отношении их формы и функции, а не только в терми­нах внешней эквивалентности. Конечно, это логический вопрос, но только при условии, что из логики не исключа­ется функциональное значение членов, генетический во­прос, вопрос подхода к формуле — вопрос осмысленного нахождения или понимания формулы.

Формула оказывается в равной степени применимой, когда ряд оканчивается нечетным числом, например:

¹ Например, даже формула Или сравните со слепым обобщением формулы в виде формулы

² Психологическое различие объективно выражается в реакци­ях на измененные задания. См. с. 148—149.

 

Здесь описанная группировка иногда вызывает колеба­ния: что делать с числом, которое нельзя объединить в пару? В этом случае необходим следующий шаг. Это от­дельное число может привести к неожиданной догадке: «Это число, должно быть, является половиной пары,

И после некоторого обдумывания выясняется, что это не меняет формулы: есть 3 пары и остаток в сере­дине, который теперь рассматривается как половина пары ¹.

Существуют другие способы продуктивных и осмыс­ленных действий. Следующая последовательность дейст­вий одиннадцатилетнего мальчика подобна только что описанной. После того как я просто спросил его: «Че­му равно 1+2+3+4+5+6+7+8+9?» — он недовольно сказал: «Должен ли я их сосчитать?» «Нет», — ответил я. Неожиданно улыбнувшись, он сказал: «На конце на­ходится число 9. 8 плюс 1 в начале ряда тоже равно 9, и то же должно быть для других пар...» — и назвал ответ.

2. Другой способ, найденный двенадцатилетним маль­чиком, начинался иначе. Задание было таким: 1+2+3+ + 4 + 5 + 6+7.

Когда его попросили не вычислять сумму шаг за ша­гом, он медленно проговорил: «Эти числа последователь­но увеличиваются...» А затем с неожиданной радостью: «А, у меня есть идея! Я просто возьму число, стоящее в середине, и умножу его на количество членов последова­тельности, которое, конечно, равно последнему числу». Было ясно, что для него это открытие. Когда его попро­сили объяснить, что он имеет в виду, он взял среднее

 

число 4 и умножил его на 7. Когда ему дали ряд, оканчи­вающийся на 8, он взял среднее между 4 и 5 значение, то есть 4.

На языке общей формулы это означает: с · п (средний член, умноженный на n), или Эта формула структурно отличается от первой, в которой n+1 было суммой каждой пары, а ⁿ/₂ — числом пар.

Я хотел еще лучше понять, что он имел в виду и как он достиг решения. Он не мог дать какую-либо ясную ма­тематическую формулировку, но сказал: «Числа последо­вательно увеличиваются. Это означает, что центральное число важно для определения суммы. Числа увеличива­ются к правому концу ряда, они уменьшаются к его ле­вому концу. Таким образом, то, что прибавляется при движении направо, отнимается при движении налево» (см. рис. 74).

 

Рис. 74

¹ Ср. гл. 1, с. 77 и сл. Испытуемые обнаруживают структур­ное нарушение и устраняют его: два структурных нарушения ком­пенсируют друг друга и исчезают, образуя цельную, ясную и чет­кую структуру.

 

 

Рис. 75

Этот способ служит разумным обоснованием хорошо» известной процедуры, в ходе которой учитель говорит: «Для того чтобы определить сумму такого ряда, выпи-

 

 

Рис. 76

шите его, затем прямо под ним напишите тот же самый ряд в обратном порядке и сложите все вертикальные па­ры. Они равны:

1+ 2+ 3 + 4+ .............................. +58+59+60

60+59+58 +57+ ... +3+ 2+ 1

______________________________

61+61+61+61…… 61+61+61+61»

Несколько человек в моих экспериментах предложили эту процедуру в качестве решения. Они сказали, что выучи­ли этот способ в школе. Когда их спросили, почему они написали ряд дважды и второй раз в обратном порядке, все они были весьма озадачены и не знали, что ответить. Когда, настаивая, я спросил: «Мне нужна сумма ряда, зачем же сначала находить удвоенную сумму?» — боль-

шинство отвечали: «Ну, в конце концов это ведет к ре­шению». Они не могли объяснить, как возникла идея удвоения. Признаюсь, что я сам долгое время не мог объ­яснить, как можно разумным образом прийти к идее удвоения. Она казалась мне, как и многим другим, трю­ком, похожим на случайное открытие ¹.

Когда я показал эти результаты математику, он ска-зал: «Зачем беспокоиться о том, что вы называете «функ­циональными различиями», «различиями в значении чле­нов»? Важна только формула, которая одинакова во всех случаях».

Такой подход, конечно, оправдан, если дело касается лишь правильности или валидности конечного результа­та. Но если вы пытаетесь понять психологический про­цесс продуктивного мышления, вы должны исследовать, рассматривать члены в их функциональном значении. Это приводит к решению в ходе разумных, продуктивных процессов, в этом и состоит основное различие между осмысленным поиском формулы и усвоением в результа­те слепого обучения или случайных проб и ошибок.

Структурные операции в различных описанных выше процедурах в некоторых отношениях отличаются друг от друга ². Но существует также и сходство между ними:

¹ Ср. похожий способ определения площади треугольника с по­мощью дополнения его до параллелограмма или дополнение пря­моугольного треугольника до прямоугольника.

 

Рис. 77

² Организация, группировка и т. д. в наших трех примерах соответствуют следующим формулам:

 

величина одной пары число пар

 

центральное значение число членов

 

 

сначала испытуемые видят проблему, осознают ее. Для этого необходимо понимание, схватывание конкретной структуры ряда в свете того, что требуется определить. Потребность понять внутреннюю связь между данной структурой и поставленной задачей ведет к перегруппи­ровке, к структурному переосмыслению. Фазы и операции решения ни в коей мере не образуют случайную, произ­вольную последовательность; напротив, они возникают как части единого целостного процесса мышления. Ихвыполнение обусловлено видением целостной ситуации, ее функциональными требованиями, а не является резуль­татом простой случайности или бессмысленного повторе­ния старых эмпирических связей.

Хотя весь процесс иногда длится не более минуты — как в случае двух упоминавшихся мальчиков, — идея ча­сто возникает в весьма туманной форме, сначала как воз­можные направления основных способов группировки и т. д. Порой до того, как ситуация становится действитель­но прозрачной, совершенно ясной, проходит некоторое время. Это особенно относится к случаю, когда ищется формула. Схватив идею, испытуемые могут увидеть неко­торые структурные свойства искомого равенства задолго до того, как способны написать его конкретную формулу. Я думаю, что этот этап мышления часто представляется туманным главным образом потому, что еще не разрабо­таны точные понятия для описания структурных свойств, свойств целого. Конечно, действительное решение проб­лемы станет возможным только после того, как будут выявлены все относящиеся к делу вопросы. Но идея сим­метричной компенсации часто является существенной частью этого процесса. На этом этапе испытуемые, часто не колеблясь, отвергают предлагаемые формулы, которые не согласуются с найденными структурными свойствами, отвергают задолго до того, как могут написать правиль­ную формулу. Так, композитор, представляя себе мело­дию в целом, пытается конкретизировать ее на фортепиа­но, придумывает что-то и решительно отвергает как не­подходящее и т. д., пока наконец не находит именно то, что воплощает его замысел.

II

Я приведу несколько примеров задач, которые исполь­зовал в экспериментальном исследовании задачи Гаусса. Как и в случае задачи на определение площади паралле­лограмма, моими испытуемыми были люди разного воз­раста, главным образом дети. На примере 1+2+3+4+ + 5 + 6 им был показан метод Гаусса, обычно — без фор­мулы, а иногда — с формулой. Затем, для того, чтобы увидеть, каковы будут спонтанные действия испытуемых, какая им потребуется помощь, какая помощь действи­тельно окажется эффективной и т. д., им предъявлялись задания типа описанных ниже.

Читатель может попытаться угадать, какова была при­рода реакций в этих случаях: иногда встречались пре­красные продуктивные процессы (A-реакции, особенно в случае задач d и е), иногда испытуемые обобщали фор­мулу, иногда встречались бессмысленные B-реакции.

Предоставим читателю возможность попробовать са­мому: пусть он увидит, что с ним произойдет в процессе решения этих задач — так или иначе, все они являются A-задачами.

Чему равна сумма:

a. 1 + 2+3 + 4........... +58 + 59

b. 17 + 18 + 19 + 20+21 + 22 + 23

c. 1+2+3+4 +16 + 17 + 18 + 19
bc. 96 + 97 + 98 +102 + 103 + 104

d. 1+5+9+13+17+21

bd. 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21

Чемуравно произведение:

e. 1ּ2ּ4ּ8ּ16ּ32

be. 5ּ10ּ20ּ40ּ80ּ160

f. ⅛ּ¹/₄ּ¹/₂ּ1ּ2ּ4ּ8

Я уже говорил, что все эти задачи являются в опре­деленном смысле A-задачами. Надеюсь, что вам это по­нятно.

В а первоначальный ряд продолжен. Если выучена формула, то эта задача являемся просто частным случаем формулы.

Ряд b начинается не с 1. Как действовать в этом слу­чае? Не видите ли вы какого-либо прямого пути? Конеч­но, выбрав круглое число, я сделал это задание более легким. Подумайте о формуле, которая будет включать этот случай как частный.

В ряде с есть разрыв. Мешает ли он вам?

В ряде d изменена разница между членами. Что вы будете делать в этом случае?

Для рядов e и f нужно определить произведение. Уди­вило ли это вас? Нашли ли вы решение? Могли ли вы написать формулу?

Конечно, я не учил маленьких детей формулам, я так­же не просил найти их. Я часто выбирал более простые числа, чем в рядах b и bc, или более легкие случаи, чем е, f, но не обязательно более короткие ряды, а часто го­раздо более длинные. Нужно соблюдать осторожность в отношении последовательности заданий. Лучше всего пе­рейти сразу от первоначального задания к одному из по­следних, к d или е.

Часто при решении таких задач сталкиваешься с ин­тересными случаями: иногда — с удивительно точными реакциями, о чем свидетельствуют также замечания испытуемого, а иногда — с полной беспомощностью, уди­вительно бестолковыми или слепыми ответами даже у умных людей, особенно если такая слепота возникает из-за действий по привычке или в результате механического усвоения (см. гл. 1, с. 44). Характер как осмысленных, так и бессмысленных реакций проливает свет на обсуж­даемые психологические проблемы.

Что касается задач типа е и f, требующих перехода от сложения к умножению, то я могу привести следующий случай: на примере 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 я показал метод Гаусса одиннадцатилетнему мальчику. Затем я дал ему ряд 1 · 2 · 3 · 10 · 15 · 30. «Нет, — сказал он, — здесь не­возможно применить этот прекрасный метод...» Но спустя некоторое время внезапно добавил: «А если перемножить эти числа, то метод сработает!..» — и он показал способ

группировки 30 · 30 · 30, самостоятельно открыв примене­ние данного метода к произведениям.

В форме сложения этот последний ряд был B-случаем, а в форме умножения — А-спучаем. Это дает возможность систематически использовать в экспериментах пары А- и В-форм таких рядов, как следующие:

5 + 10 + 20+40+80 + 160 (B-случай)

5 · 10 · 20 · 40 · 80 · 160 (А-случай)

1 + 2 + 4 + 8+16+32 (B-случай)

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 (A-случай)

Однако для некоторых рядов задача в форме сложе­ния представляла собой А-случай:

5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 (A-случай)

5 · 10 · 15 · 20 · 25 · 30 (B-случай)

Или:

1+2+3+4+5+6	Первоначальный ряд
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6	(B-случай)
1 · 2 · 3 · 4 · 6 · 12	(A-случай)
1+2+3+4+6+12	(B-случай)

В каких случаях отвергают этот метод, в каких — при­меняют, какие при этом возникают трудности и т. д. - все это характеризует понимание.

Существуют сходные примеры B-заданий, которые с большей вероятностью вызывают слепые реакции. Если, к примеру, вместо ряда

a) 1 + 2+3+7 + 8+9
дать ряд

b) 1 + 2 + 3 + 4+7+8+9,

или ряд

c) 1 + 2 + 3 + 4+6 + 7,

то испытуемые иногда не замечают требования симмет­ричности двух половин ряда относительно положения разрыва. Однако некоторые испытуемые правильно и без колебаний (А-реакции) применяют метод в задачах ти­па а), тогда как в задачах типа b) и с) они колеблются, не­смотря на то, что составные части этих рядов, несомнен­но, больше похожи на первоначальный ряд 1+2+3+4+ +5+6, чем ряд а). Они строго различают эти типы, ищут требуемую симметрию и в большинстве своем находят соответствующие, более сложные действия, например вос-

станавливая симметрию в b) путем исключения числа 4, добавляя недостающее в с) число 5 или меняя 4 на 5 и т. д.

Приведем следующие примеры А—B-пар в задачах типа d:

1+2+3+4+5+6

А 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 А 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 В 1+2+3+4+11+13 В 1+2+3+7+9+11

Хотя явно бессмысленно в B-случаях применять метод Гаусса (особенно если ряд длинный), тем не менее неко­торые испытуемые слепо используют его. В то же время другие испытуемые разумно отвергают B-задачи или ре­шают их с помощью громоздкого метода, в то время как с A-задачами справляются вполне осмысленно.

Таким образом можно выявлять, изучать и проверять, какие из структурных свойств задачи Гаусса являются «существенными», какова внутренняя структурная связь между операциями и формой, какие факторы являются периферическими. В различных типах задач существен­ными были:

в b — независимость структурных факторов от поло­жения начала ряда;

в с — обязательная симметрия ряда, проверяемая по наличию и месту разрыва;

в d — независимость структурных особенностей от ве­личины постоянной разности членов;

в е — независимость внутренней структурной связи от характера конкретных операций, о чем свиде­тельствует перенос на структурно сходные слу­чаи с умножением.

Особенно интересно исследовать, какие формы задач лучше способствуют открытию метода с помощью учителя или без него. И с теоретической точки зрения очень важ­но было установить, что более короткие ряды отнюдь не являются самыми лучшими и даже что ряд 1 + 2 + 3 + 4+ + 5 + 6 не обязательно лучше ряда 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11.

Не следует забывать следующий тривиальный факт: неупорядоченные ряды с переставленными членами вызы­вают особые затруднения и при применении метода, и при его открытии. Правильный порядок делает ряд умо­постигаемым, указывает на необходимую согласованность членов ряда. Однако некоторые изменения порядка не

являются, по-видимому, неблагоприятными. Важна, ве­роятно, не величина отдельного отклонения от первона­чального ряда; помогать или мешать ясному видению це­лого может скорее определенный тип упорядоченности. В случае

1+10+2+9+3+8+4+7+5+6

испытуемый иногда останавливается и восклицает: «Тут есть последовательность: эти числа возрастают, а эти — убывают», показывая

 

Рис. 78

или образует пары:

 

Рис. 79

Последний прием приближается к хорошо известным приемам «быстрого счета», которыми пользуются бухгал­теры, складывая большие числа. Вместо того чтобы счи­тать, последовательно складывая числа, они считают па­рами или тройками, образуя легко запоминаемые круглые числа. Этим приемам, конечно, недостает понимания свя­зи с «принципом» построения ряда.

III

Столкнувшись с задачей определения суммы ряда и не получив никакой помощи, многие не могут найти гаус­сова решения. Почему? Что делает эту задачу для мно­гих столь трудной? Что кроется за словами: «Чтобы ре­шить эту задачу, нужно обладать гением юного Гаусса»? Но почему тогда это сделал маленький мальчик из упо­минавшихся примеров, причем сделал это последовательно и с легкостью? Что с психологической точки зрения ле­жит в основе таких творческих достижений?

Задачи Гаусса связаны со структурными трудностями. И чтобы преодолеть эти трудности и, несмотря на них,

увидеть путь к решению, требуются некоторые условия. На основании своего опыта могу сказать, что существен­ными чертами подлинного решения является то, что продуктивно мыслящий человек

не скован, не ослеплен привычками; не просто рабски повторяет то, что выучено; не действует механически;

обращает внимание не на отдельные части задачи, а на задачу в целом;

его действия не являются произвольными, случай­ными, он открыто, свободно подходит к проблемной ситуации, рассматривает ее в целом, старается по­нять, как связаны условия задачи и то, что требует­ся определить;

пытается понять и проследить внутреннюю связь между формой задачи и поставленной целью, постичь суть проблемы, понять и сделать прозрачными ос­новные структурные особенности упорядоченных рядов, несмотря на существующие трудности.

Задача Гаусса действительно является структурно сложной, и главная трудность заключается, видимо, в сле­дующем: увидеть внутреннюю связь между формой и за­данием (суммой) трудно, 1) потому что скрыты компен­сирующиеся разности, 2) потому что

Психологически

 

сильный порядок прогрессии должен быть разбит на требуемые симметричные части: → и ← .

А что если бы мы упростили структуру данной ситуа­ции, не просто предлагая ряды с меньшим числом членов, но используя задачи, в которых структурные особенности не так скрыты?

Некоторые формы задач, сходные с предыдущими примерами, явно упрощают дело, например:

99,8+99,9+100+100,1+100,2=?

273³/₅+273⁴/₅+274+274¹/₅+274²/₅=?

или

271+272+273+274+275=?

Но давайте действовать радикально. Будем использовать задания, в которых компенсирующиеся разности не мас­кируются структурой. Решение становится естественным, если, например, спросить, какова сумма — 3—2—1 + 1 + + 2 + 3 ¹.

Конечно, некоторые в этом случае будут действовать заученным образом, слепо, постепенно. Но большинство испытуемых, рассматривая ряд целостно, смеются или удивляются столь внушительно выглядящей, но триви­альной задаче. Это происходит практически со всеми ис­пытуемыми. В таких случаях иногда получаешь ответ, даже не задавая вопроса, не спрашивая, какова сумма. Если ряд длинный, решение часто достигается не в ре­зультате формирования отдельных пар, а в результате осознания структуры целого, элементы которого образуют прогрессию. Если добавляется член, который явно не вписывается в ряд, как, например, в

9-5-4-3-2-1+1+2+3+4+5 или в

-5-4-3-2-1 + 1 + 9 + 2 + 3 + 4 + 5,

то он часто выделяется, сам себя изолирует.

Наш случай приближается к заданиям типа т+а—а пли m+а—а+b—b+с—с. Операция 1 требует прибавле­ния а к т, операция 2 — вычитания а, но операция 2 внут­ренне связана с операцией 1, являясь ее противополож­ностью. Операция 2 появляется в этом контексте в ответ на требование уничтожить результат операции 1, н наобо­рот. В этом заключается их структурное значение. Обе операции рассматриваются и функционируют не как про­стая сумма двух операций, а в их внутренней связи, ко­торая делает ненужной, совершенно бессмысленной каж­дую из них в отдельности.

¹ См. также пример f на с. 150. Решит ли читатель его быстрее, чем задачи е, bе или даже с и bd ?.

Осознание этой связи, отказ производить действия, ко­торые компенсируют друг друга, связаны с естественным, осмысленным пониманием. Образованный психолог мо­жет даже вспомнить в этой связи о закономерностях по­ведения крыс. По-видимому, очень трудно, а часто просто невозможно научить крыс двигаться по лабиринту так, чтобы они проходили один и тот же путь в противопо­ложных направлениях (см. рис. 81).

 

Не следует забывать, однако, что в некоторых случаях определенный тип противоположных действий становится вполне разумным — например, в ритмической игре, в рит­мическом танце, подобных ряду —1 + 1, —1 + 1 и т. д. или ряду —1 + 1, —2 + 2, —1 + 1, —2 + 2 и т. д. Здесь сим­метрия противоположных движений играет важную пози­тивную роль.

В 1931 г. во Франкфуртском институте я поручил Мисс Симссен изучить психологические различия между осмыс­ленной и бессмысленной работой. В отличие от осмыслен­ной расстановки книг на полках мы использовали внеш­не сходные с ней сизифовы задания: ставить книги на полки в ряд, затем снимать их, ставить на прежние ме­ста, затем опять расставлять на полках и т. д. ... В обоих случаях действия наблюдались в течение примерно полу­часа. Испытуемые выполняли бессмысленное задание довольно вежливо, хотя и неохотно и с явным затрудне­нием. Со временем сопротивление нарастало и дело доходило до открытого протеста. Но иногда в ходе выпол­нения задания происходило нечто поразительное: у неко­торых испытуемых характер задания менялся и стано­вился чем-то более привлекательным — действия стано­вились похожими на ритмический танец, книги снимались и ставились на прежнее место размеренными танцеваль­ными движениями, продолжать действия уже было не-

столь обременительно, задание превратилось в шутливую игру. Однако даже такие действия не могли продолжать­ся длительное время.

Вернемся к обсуждаемой нами проблеме: роль осмыс­ленного упорядочения, особенности разумной группиров­ки становятся технически ясными, когда мы даем детям следующие задачи и сравниваем их подходы и реакции:

1. m + а—а + b—b + с—с

2. т+а+b—с—а+с—b

3. m + a + b + c—а—b—с

или 4. т+а + b+с—с—b—а и т. д. с m или без него ¹.

В первом случае мы от большинства испытуемых по­лучаем быстрые ответы: «Конечно, сумма равна т», иног­да с замечаниями типа: «Какой смысл делать что-нибудь, чтобы тут же уничтожить результат действия?» - и они разумным образом группируют следующие пары

m |+а—а|+b—b| +с—с

и никогда

т+а| —а+b| —b+с| —с²

Сходным образом, но более решительно в случае, когда имеется ряд

т—а + а—b + b—с + с...

¹ Другие конкретные случаи:

96+77-77+134-134,

или 96+77-134-77+134,

или 48+79-124-79+124,

или 48+79-79+124-124.

В последнем случае слепая процедура:

48+79=127

127-79=48

48 + 124 и т. д.

² Чтобы проиллюстрировать теоретические представления о проблеме переноса, рассмотрим А— B-случаи в элементарной форме:

1) Сначала показываем, заучиваем a+b—а. Например 35 + 14—35

2) A-форма c + d—c 87+69—87

3) B-форма а + b—с 35+14—87

4) A-форма а + b—b 35+14—14

В 1) процедура группировки первого члена с последним «по­казывается, заучивается». Во 2) все члены изменены, но сохраняется структура оригинала. В 3) изменений меньше; этот пример более сходен с заученным образцом с точки зрения поэлементного анализа, с позиций представлений о простой сумме, стимуле — ре­акции. Но если имеется какое-нибудь понимание, то ребенок совершит перенос на задания 2) и 4), но не на задание 3).

мы получаем

т |— а + а| — b + b|— c + c...

но не т—а| +а—b| + b—с | +c...

Большинство испытуемых даже не пытаются искать сум­му т+а или разность т—а. Или, если пытаются, скоро досадуют на это, восклицая: «Как глупо, что я не уви­дел!»

Во второй задаче мы обнаруживаем больше не свя­занных между собой слепых действий. Часто наблюда­ются колебания, беспокойство, замечания вроде: «Это нужно упорядочить», «Здесь нет порядка», и дети пере­писывают ряды, образуя осмысленные пары.

Третий тип задач кажется проще второго и приводит к быстрому нахождению соответствующих половин: за­дачи решаются легче, если числа не являются произволь­ными, а используется определенный принцип, как в т—1—2—3 + 3 + 2 + 1 и других подобных примерах.

Простым экспериментальным приемом изучения та­ких разумных способов группировки является так назы­ваемый «квадратный набор». Требуется сложить четыре числа, два из которых при сложении дают круглое число или взаимно уничтожаются

 

Набор 1) обычно понимается и решается как состоящий из горизонтальных пар, набор 2 — в виде вертикальных. Так же обстоит дело и в случаях, когда два или более числа не компенсируют друг друга, а составляют круглое число:

 

	a	b
Если обозначать четыре члена в таких наборах			,	то
	c	d

предпочтительным способом группировки в наборах типа 1 будет ab/cd, а в наборах типа 2 — ac/bd. Психолог знает, что эти закономерности были установлены в результате исследований роли организации в восприятии, которые

привели к открытию так называемых «гештальттенден­ций» в группировке ¹.

В этих экспериментальных исследованиях (в них ис­пользовались в основном наборы точек или простые фигу­ры) была обнаружена сильная тенденция к восприятию согласованных друг с другом целостных свойств, «разум­ные способы группировки», признаки которых опреде­лялись внутренней структурой ситуации — так называе­мым фактором «хорошего гештальта».

Эти исследования показали, что тенденция к «разум-лому» восприятию коррелирует с осмысленными законо­мерными математическими свойствами ситуаций — хотя и с некоторыми ограничениями, вследствие того, что в вос­приятии важны не столько «законы образования клас­сов», сколько свойства целого (см. с. 284 и сл.).

Проблемы, которыми мы здесь занимаемся, не связа­ны лишь с арифметикой или с обучением арифметике. Примером фигур, похожих на арифметический квадрат­ный набор, является следующая оптическая констелля­ция, в особенности констелляция сплошных фигур — на­пример, черных фигур на белом фоне. Набор 1 обычно рассматривается в виде вертикальных пар, а набор 2 — в виде горизонтальных ².

ⁱ См.: Wertheimer M. Untersuchungen zur Lehre von der Gestalt.—"Psychologische Forschung", 1923, Vol. 4, S. 322—323; См. также: E11 i s W. D. Op. cit., p. 82, или B e a r d s l e e D. C., W e r-t h e i m e r M., Op. cit, p. 128. Например,

 

 

Рис. 82 Рис. 83

Рис. 82 мы видим как ad/bc, а не как ab/cd. И рис. 83 рассмат­риваем как bcfgkl.../adehi, а не как acegi.../bdfhk..., практически не­возможно воспринять изображение на рис. 83 как целостную фигуру.

² Ср. экспериментальные исследования движения с помощью специально подобранных квадратных наборов.

Schiller P. v. Stroboskopische Alternativversuche. — "Psycho­logische Forschung", 1933, Vol. 17, S. 179—214.

 

Рис. 84

Рис. 85

Или рассмотрим такую ситуацию:

 

 

 

Рис. 86

При работе с такими наборами — скажем, кубиков — даже у маленьких детей обнаруживается сильная тенден­ция к действиям в разумном направлении. Они часто на­ходят это направление спонтанно, «улучшая», «исправ­ляя» ситуацию. При этом нет необходимости в языке — они просто разумно соединяют объекты, пригоняя их друг к другу. Нередко для осмысленного действия нет необходимости даже давать задание: оно определяется внутренней динамикой ситуации. Мы опять сталкиваем­ся здесь с ролью «нарушения», «пробела», «именно того, что требуется» как частей единого целого. Эти особенно­сти, по-видимому, являются наиболее важными при эффективном обучении арифметике ¹.

Простой иллюстрацией нашей проблемы является следующая фигура, вызывающая сильное желание уб-

¹ Благодаря многолетнему опыту изучения детей д-р Катрин Штерн разработала приемы и методы обучения арифметике, в ко­торых важную роль играет подлинное открытие в структурных по

рать квадрат, или остаток, оттуда, где квадратов «слиш­ком много», и поместить туда, где его не хватает.

 

Рис. 87

Сходные соображения, по-видимому, имеют первосте­пенное значение при обучении геометрии. Так, например, для осмысленного определения величины угла важно рас­сматривать его в качестве части единого целого, равного 360°. Если с углами в 182° и 180°, 355°, 360°, 363° обра­щаться просто как с любыми углами, как с углами одного ранга, то можно не заметить их структурного положения, их функционального значения. Здесь я напомню экспе­рименты с детьми, которых просили повернуть большую стрелку часов несколькими последовательными вращения­ми ¹. Задание было похоже на задачу Гаусса. Например: каким будет конечное положение стрелки, если ее повер-

природе задачах. Результаты такого обучения, которое доставляет большое удовольствие, кажутся в сравнении с обычным обучением (путем заучивания), которое делает основной упор на формиро­вание ассоциативных связей, чрезвычайно хорошими. Эти методы и исследования опубликованы в: S t е г n С. Children discover arith­metic. — Прим. Майкла Вертгеймера.

¹ Wertheimer M. Über das Denken der Naturvölker, Zahlen und Zahlgebilde.—"Zeitschrift für Psychologie", 1912, Vol. 60, S. 321—378

нули сначала по часовой стрелке на 7°, потом на 90°, за­тем на 180° и опять на 90°? Или сначала на 8°, потом на 7°, затем на 83°, 6°, 84°, 5°, 85°, 4°, 86°? В экспериментах с детьми, которые ничего не знали об углах, я говорил: «Сейчас 12 часов, предположим, что я несколько раз по­вернул стрелку. Где остановится стрелка, если я сначала повернул ее на 7 минут, затем на 25, 5, 24, 6?»

Вот данные, полученные при решении следующих за­дач взрослыми испытуемыми. Я просил определить сум­му векторов — сил, действующих на тело, — в следующих случаях: «Один вектор (а) с величиной К направлен вертикально вверх (0°), другой (b) с величиной L направ­лен под углом 90° к первому, третий (с) с величиной К — под углом 180°, четвертый (d) с величиной L — под углом 270°. Какова сумма этих сил, действующих на тело?»

 

Рис. 88

Результат — особенно если начертить схему — очеви­ден и равен нулю; противоположно направленные век­торы компенсируют друг друга, противоположно направ­ленные равные векторы объединяются в пары.

Но бывает, что человек, который видит всю фигуру, настаивает на образе действий, который он называет «строгим». Строя параллелограммы (рис. 89), он говорит: «Векторы а и b в параллелограмме сил дают в сумме ре­зультирующую силу r₁. Сложение первой результирую­щей и вектора с по правилу параллелограмма сил дает вторую результирующую (рис. 90). Последняя в сумме с d дает третью результирующую, которая равна нулю, а r₃ в сумме с а дает в результате +a». Он был явно оша­рашен и неуверенно сказал: «Но это чепуха! И все же,

если действовать таким образом, получается а... где же ошибка?» Он затратил на напряженное обдумывание боль­ше 14 минут и, ничего не выяснив, оставил задачу. Вер­нувшись к ней через некоторое время, он неожиданно до­вольно грустно сказал: «Понял. Я уже использовал

 

Рис. 89 Рис. 90

первый вектор» — и извиняющимся тоном добавил: «Я действовал глупо. Мне было ясно, что нужно пере­брать все векторы. Получив 3-ю результирующую, я счи­тал, что прошел лишь ¾ пути, только 270°... Я думал, что нужно сделать этот угол полным. Я не подумал, что уже использовал вектор а. Как я был глуп. Конечно, а и с в сумме дают нуль, и b и d тоже нуль. Таким образом, ре­зультирующая равна нулю».

Конечно, он за исключением последнего шага действо­вал правильно. Часто нужно строить каждую результи­рующую — этот метод является общим. Но не следует за­бывать, что нередко в продуктивных ситуациях решающую роль играет осмысленное видение всей фигуры в целом: осознание симметрии и равновесия целой фигуры и осмыс­ленная группировка соответствующих отклонений. Испы­туемого, очевидно, сбило с толку сильное желание зам­кнуть, завершить конструкцию.

Это, несомненно, крайний случай. Если нарисовать или показать схему, то почти все ответы будут осмысленными при непременном условии, что ясен смысл «векторов».

IV

Я уже упоминал, что может оказаться полезным предъявление задания в форме

271+272+273+274+275

------------------------------- = ?

Некоторые видят решение сразу. «Конечно, 273», — отве­чают они, даже не приступая к громоздким вычислениям, Другие же не видят решения и спрашивают, действитель­но ли нужно произвести все сложения. Даже если зада­ние дается в качестве проверки после обучения методу Гаусса, испытуемый может начать со слепого сложения:

271 + 275 = 546

Суть этого примера в том, что знаменатель требует деления числителя на пять равных частей и таким обра­зом помогает увидеть выражение, стоящее в числителе, как состоящее из этих пяти частей. Когда эксперименты показали, что реальные затруднения многих испытуемых сходны с затруднениями, возникающими при решении задачи Гаусса, показалось уместным ввести структурные упрощения.

Когда я спрашивал детей, чему равно

 

я получал от некоторых сообразительных детей четкие ответы. Большинство из них смеялись понравившейся шутке, тогда как другие удивлялись, зачем нужны такие простые задачи, или скучали, но без труда отвечали. Они легко и сразу понимали, что то, чего требует знаменатель, уже сделано в числителе. Деление на пять понималось в своем структурном значении, как требование разбиения величины числителя на пять равных частей, что уже было сделано. Или иначе, числитель, рассматриваемый как произведение, указывал на компенсацию умножения и деления.

Сложение (или, в сущности, умножение) с последую­щим делением соответствует здесь ситуации, когда мы что-то делаем, а затем уничтожаем сделанное, это озна­чает тщательную работу над тем, что уже сделано, попыт­ку получить решение, которое уже дано. Конечно, что-то необходимо проделать, а именно осознать, что решение уже есть, увидеть, что одно из чисел является не просто числом, которое нужно прибавить к остальным, а уже готовым решением. Это и есть достижение: разумный переход в контексте задачи от функционального значения

объекта к решению. Это довольно просто: решение лежит почти «на поверхности» ¹. Хотя иногда и наблюдаются небольшие колебания ввиду того, что испытуемые не ожи­дают столь легкой задачи, на лицах испытуемых скоро по­является улыбка, сопровождаемая такими замечаниями, как: «Это очевидно. Сначала казалось, что задача будет трудной, но это не так», и дается решение.

Размышляя о некоторых школьных установках, с кото­рыми я так часто встречался, я продолжал задавать по­добные вопросы. Меня поразило — я не представлял себе — насколько экстремальной часто может быть ситуа­ция. Ряд детей, которым в школе особенно хорошо дава­лась арифметика, действовали на ощупь, сразу же начи­нали с утомительных вычислений или просили освобо­дить их от сложных задач — они не рассматривали ситуа­цию в целом. Конечно, когда я помогал им разобраться, они со стыдом восклицали: «Как я был слеп, как глуп!»

Эти наблюдения напомнили мне о некоторых более серьезных результатах экспериментов в школе, которые весьма тревожили меня. Я более тщательно и внимательно изучил обычные методы и способы преподавания ариф­метики, учебники и специальную психологическую лите­ратуру, на которой основаны методы обучения, изложен­ные в этих учебниках. Все яснее и яснее становилась одна из причин затруднений: упор на механические уп­ражнения, на «немедленные ответы», на формирование привычки действовать вслепую, по частям. Повторение полезно, но продолжительное механическое повторение может оказаться вредным. Оно опасно потому, что легко порождает привычку к чисто механическим действиям, действиям вслепую, тенденцию к школярскому отноше­нию к учебе, к подражанию, а не к свободному размыш­лению.

Исследование отупляющего действия механического

¹ Экспериментируя с задачами, решение которых фактически содержится в самом тексте задачи, но функционально скрыто, то есть представлено в контексте задачи в совершенно другой функ­ции и роли, сталкиваешься с типичными ответами. Испытуемые часто не замечают даже точной буквальной формулировки реше­ния в тексте. И характерно, что лишь спустя некоторое время они открывают для себя это. Последнее является еще одним экспери­ментальным доказательством важности осознания места, роли и функции элемента в структуре. (См. эксперименты Н. Майера с включением технических заданий в контекст других задач: Reaso­ning in humans. I. On direction.—"Journal of comparative Psychology", 1930, Vol. 10, p. 115-143).

повторения в последовательности предлагаемых задач бы­ло начато в Берлинском институте в 1924 г. Дункер и Зе­нер получили поразительные результаты ¹. В последние годы мой ученик А. Лачинс ² провел всестороннее исследо­вание этого эффекта в школах и разработал эксперимен­тальные методы его изучения. Поразительно, как легко механические действия, излюбленные методы повторения отупляют даже самых сообразительных, хорошо подготов­ленных учащихся. Лачинс применял также методы «из­лечения» от таким образом вызванной слепоты, что обыч­но позволяло легко восстановить осмысленные реакции, но это не оказало значительного влияния на многих детей в некоторых школах. Конечно, существует несколь­ко возможных объяснений как эффекта отупления, так и возвращения к нормальному состоянию: Лачинс и Аш ³ провели экспериментальное исследование этих теоретиче­ских проблем. Выяснилось, что важными факторами яв­ляются: привычки, приобретаемые в результате упраж­нений, установки при решении задач, определенная атмо­сфера в школе, оказывающая влияние на обучение, дея­тельность и мышление ⁴.

Сейчас я расскажу о трех реакциях на полученные ре­зультаты.

Однажды я рассказал об этих результатах знаменито­му психологу. Я сказал, что они могут объясняться пло­хим преподаванием, быть следствием упора на формирова­ние бессмысленных ассоциаций и заучивание, что ослаб­ляет установку на соображение. «О нет, — возразил он, — вовсе нет. Если вы задаете такие «гештальтвопросы», то отрицательный результат совсем не кажется удивитель­ным, детей не учат решению таких задач. В школе их учат арифметике. Если вы будете учить их на таких геш­тальтзадачах, они научатся их решать. Дело только в том, чему вы их учите».

Эти замечания содержат четкую формулировку теоре­тической проблемы. Этот психолог сам является тонким

¹ См.: М a i е г N. R. F. Op. cit.

² Luchins A. Mechanization in problem solving: the effect of Einstellung.—"Psychological Monographs". 1942. Vol. 54, N 6,

³ A s с h S. E. Some effects of speed on the development of a mechanical attitude in problem solving. (Доклад, прочитанный в 1940 г. на заседании Восточной психологической ассоциации.)

⁴ О последствиях обучения, игнорирующего структурные зако­номерности, см. гл. 1, 2; ср. также результаты д-ра Катоны в "Or­ganizing and memorizing". (См. также гл. 5 и Приложение 4.)

мыслителем. Его замечания станут понятными, если учесть, что для него, как и для многих других, мышление 1еоретически есть не что иное, как функционирование механических ассоциативных связей, привычек, приобре­тенных в результате повторения. Чем же еще может быть мышление?!

Математик, которому я рассказал об этих эксперимен­тах, заметил: «Вы ошибаетесь. Неважно, найдете ли вы такой короткий способ решения; метод точного вычис­ления является правильным, общим методом. Вы можете пользоваться кратчайшим путем только в исключитель­ных случаях».

Это важный вопрос. Отвечая ему, я сначала ссылался на некоторые вещи, о которых говорил в предыдущих гла­вах. Затем я спросил, считает ли он открытие Гаусса также просто экономной процедурой, не имеющей осо­бого значения. И наконец, я сказал: «Я, напротив, счи­таю метод Гаусса не просто конкретным приемом корот­кого способа решения. Речь идет об основной установке в отношении к задаче, к способам решения. Для многих школьников деление действительно означает технику, приобретаемую тренировкой, как, например, в случае „8 делим на три, получаем 2; сносим 2; 21, деленное на 3, равно 7; 6, деленное на 3, равно 2... 272". Вот что такое для них деление. Но хотя механический навык обладает практической ценностью, особенно в смысле освобожде­ния ума для более важных задач, возникающих в проб­лемных ситуациях, он не должен отуплять человека. Сле­дует различать случаи, когда техника деления рассматри­вается и применяется просто как техника, и случаи, когда человек не понимает, что суть деления заключает­ся в подразделении данной конкретной структуры на ча­сти. И то же относится к умножению.

Если в таких случаях человек не может понять струк­турного смысла деления, то он упускает главное. Я дей­ствительно считаю, что при обучении арифметике следует делать основной упор не на механическую тренировку, а дать возможность ребенку самому открыть структурные особенности и требования данных ситуаций и научиться осмысленно действовать в них. Конечно, это требует со­вершенно иного способа обучения, отличного от исполь­зуемой в большинстве школ тренировки». Затем я расска­зал математику о некоторых достижениях в области струк-

I68

турных методов, особенно о методах д-ра Катрин Штерн ¹ которые он, конечно, оценил по достоинству.

Совсем иной была реакция другого хорошо известного психолога. После того как я рассказал ему кратко о своих экспериментах в школе, он заявил: «Конечно, я вас пони­маю. Это напоминает мне мои собственные наблюдения, которые могут оказаться типичными. Мой сын, сообразительный мальчик, пришел ко мне и сказал: „Понимаешь, папа, я очень хорошо успеваю по арифметике в школе. Я умею складывать, вычитать, умножать, делить — все, что угодно, — очень быстро и без ошибок. Трудность в том, что я часто не знаю, какое из действий нужно приме­нить..."»

В этом повинны не учителя. Многие из них в той или иной степени не удовлетворены упором на механические ассоциации, на слепые упражнения. Многие прибегают к ним, потому что им кажется, что эти методы согласуются с научной психологией, под которой они понимают пси­хологию механического запоминания бессмысленных сло­гов и обусловливания. Многие прибегают к ним, так как не видят других, более осмысленных, конкретных, науч­ных способов обучения. Разработка лучших методов дей­ствительно является задачей более адекватной психоло­гии мышления и обучения.