рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Модель направленных отрезков

Модель направленных отрезков - раздел Лингвистика, ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА ДЛЯ ФИЛОЛОГОВ Задачи Механики И Физики Используют Модели, Элементами Которых Являются Объек...

Задачи механики и физики используют модели, элементами которых являются объекты, характеризуемые величиной действия в заданном направлении. Такими объектами являются силы, скорости, ускорения и др. Над этими объектами определены операции сложения по определенному закону и умножения на число. При этом как сами объекты, так и результаты операции над ними не зависят от параллельного переноса в пространстве. В качестве геометрической модели или знаковой системы для определения этих объектов удобно использовать направленные отрезки, которые имеют заданное направление и длину. Сформулируем нашу первую задачу.

А. Построить систему свойств (аксиоматику), достаточную для описания модели направленных отрезков с операциями сложения и умножения на число.

Решение сформулированной задачи состоит из двух частей: 1) в определении направленных отрезков, определении указанных операций, доказательстве основных свойств этих операций и 2) указании критерия, согласно которому проверяется, достаточно ли сформулированных свойств для описания модели.

Вначале определим операции и построим систему свойств (аксиом). Направленный отрезок есть отрезок AB заданной длины, направленный параллельно некоторой прямой «l», причем порядок пары точек означает, что точка А – начало, В – конец направленного отрезка.

Для простоты будем направленные отрезки обозначать также одной буквой = и т.д.

Так как направление и длина направленного отрезка не зависит от параллельного переноса, то направленный отрезок изображает класс направленных отрезков, совместимых с параллельными переносами. Этот факт будем называть инвариантностью направленного отрезка относительно параллельного переноса.

На множестве направленных отрезков , , , ... определим операции сложения и умножения на действительное число и установим свойства этих операций.

Суммой направленных отрезков и назовем направленный отрезок =+, который имеет то же начало, что и и тот же конец, что и , если начало отрезка параллельным переносом совместить с концом (рис 11, а).

Учитывая инвариантность направленного отрезка относительно параллельного переноса, заключаем, что является направленной диагональю параллелограмма, построенного на сторонах и (рис. 4, b). Правило сложения (а) называется правилом треугольника, а правило сложения (b) – правилом параллелограмма.

 
 

Сложение обладает свойствами:

1. " и +=+

2. " , и (+)+=+(+)

3. Существует вектор такой, что " += (– нулевой вектор)

4. " $ «–» такой, что +(–)=.

(«–» называется противоположенным вектору ).

 

Свойства 1 и 2 схематично представлены на рис 12, а и 12, b, соответственно.

Свойство 3 представляет возможность вырождения в точку одного из слагаемых:

+=, =

Свойство 4 представляет правило сложения

 
 

+==,

в котором естественно считать =–. Длину направленного отрезка будем обозначать ||. Очевидно, что || = ||.

Операция умножения отрезка на число a определяет направленный отрезок =a. Длина ||= |a| ||; направление то же, что и у отрезка , если a>0, и обратное, если a<0.

 

Свойства операции умножения:

1. " ·1=.

2. " a, bÎR и " a ( b ) = ( a b ) .

3. " aÎR и " , a (+) = a+ a.

4. " a, bÎR и " (a+b) = a+ b.

Доказательство восьми свойств сложения и умножения на число направленных отрезков можно найти в школьных учебниках, и мы их опускаем.

Теперь сформулируем понятие вектора.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА ДЛЯ ФИЛОЛОГОВ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Модель направленных отрезков

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Формализм натуральных чисел
Человек обладает способностью образно различать количества предметов и представлять количественные образы в знаковой или символьной системе. Эта способность отражает свойство нашего интеллекта, а с

Вывод 1
Множество чисел представимых в виде несократимых дробей m/n, где: m, n, N, n

Замечание 1
Запись рациональных чисел в виде (7) требует обоснования, которое заключается в объяснении сходимости числового ряда, т.е. существования конечного числа, являющегося результатом бесконечного сум

Аксиомы порядка
Всякие два элемента х, у, Î Q вступают в отношение сравнения . При этом выполняются следующие у

Следствие
Аксиомы множества Q позволяют: 1. Построить систематическую запись рациональных чисел при помощи конечного алфавита (цифровых символов). 2. Определить алгоритмы реализации

Задача 1
Измерить длину диагонали квадрата, считая, что единица длины есть сторона этого квадрата. Теорема Пифагора дает результат: искомая длина равна

Задача 2
Измерить длину окружности, считая, что диаметр этой окружности есть единица длины. Длина окружности L = 2pR, где R – радиус. В нашем случае L=3,1415… . Число p

Аксиоматизация множества действительных чисел
Конструктивное построение множества действительных чисел можно представить в виде схемы 3.    

Аксиома непрерывности Кантора.
16. Пусть элементы x,x

Задача 2
Построить представление чисел, в котором иррациональные числа приближаются рациональными числами наилучшим образом. Рациональная дробь p/q приближает иррациональное число a наилучшим

Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии
2.1. О “Началах” Евклида Александрийский ученый Евклид, живший в третьем веке до нашей эры, впервые в истории предпринял попытку глобальной систематизации математических ф

Группа 1. Аксиомы соединения
Эта группа аксиом описывает отношения инцидентности (связи и принадлежности) между точками, прямыми и плоскостям. 1. Для любых двух различных точек существует прямая, инцидентная этим точк

Группа 2. Аксиомы порядка
Аксиомы этой группы определяют линейный порядок точек на прямой и понятие полуплоскости относительно прямой на плоскости. Первая аксиома содержит два требования. 9. Если А, В, С – т

Теорема 4
Отрезок АВ имеет бесконечное множество внутренних точек (т.е. точек, лежащих между А и В).

Группа 3. Аксиомы конгруэнтности
Группы аксиом 1–3 позволяют доказать основные свойства отношения конгруэнтности между геометрическими фигурами, определить понятие движения в геометрии и установить признаки конгруэнтности геометри

Вывод 1
Аксиомы 1–17 первых трех групп позволяют построить геометрию, в которой на прямой существует последовательность примыкающих друг к другу конгруэнтных отрезков, пронумерованных натуральным рядом.

Группа 4. Аксиомы непрерывности
Для описания свойства непрерывности расположения точек на прямой, определения длины отрезка и величины угла, установления взаимно однозначного соответствия между длинами всех отрезков и множеством

Замечание 3
Конгруэнтные отрезки в абсолютной геометрии имеют равные длины, а конгруэнтные фигуры – равные числовые меры углов, площадей и объемов. Поэтому отношение двух фигур «быть конгруэнтными» в абсолютно

Замечание 4
То, что через точку А вне прямой “a” можно провести хотя бы одну прямую “b”, не пересекающуюся с “a”, аÇb =Æ, мог доказать еще Евклид.

Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта
Огромное значение аксиоматики Д. Гильберта для всей математики, и геометрии в частности, неоспоримо и продолжает исследоваться до сих пор. А о той роли, которую сыграли выделенные ниже два «недоста

Определение
Направленные отрезки с операциями сложения по правилу треугольника (параллелограмма) и умножения на число называются векторами. В силу инвариантности направленных отрезков относите

Теорема размерности
1. Пусть вектор параллелен вектор

Вывод 1
Если в пространстве задан базис {1,

Вывод 2
Координаты вектора определяют

Вывод 3
Между элементами геометрической модели векторного пространства и элементами арифметической модели векторного пространства существует взаимно однозначное соответствие (1), обозначим его

Определение абстрактного векторного пространства
Пусть для элементов множества вып

Следствие
Все –мерные векторные пространства имеют одну и ту же арифметическую модель, поэтому изоморфны. Множество

Аксиомы скалярного произведения векторов
Модель –мерного пространства не с

Следствие
Из формулы (4) находим представление длины вектора через скалярное произведение ,

Следствие
Используя (6) и (7), заключаем, что . (8) Схему, по которой мы из определения скалярного произвед

Определение
Абстрактное –мерное векторное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее тр

Арифметизация трехмерного евклидова пространства
Геометрической моделью трехмерного евклидова пространства будем называть множество точек, прямых плоскостей, удовлетворяющих двадцати аксиомам Д. Гильберта, сформулированным в §2. Эту модель будем

Вывод 1
Для построения модели R3 требуется задать или построить: · геометрическую модель трехмерного векторного пространства (модель направленных отрезков e3);

Многомерное арифметическое евклидово пространство
Мы отмечали в п.2.3 §2 что аксиоматика Д. Гилберта не может быть обобщена в случае описания отношений между точками, прямыми и плоскостями высоких размерностей в мыслимом многомерном евклидовом про

Вывод 3
Система аксиом Г. Вейля определяет абстрактное n–мерное арифметическое евклидово пространство Rn, в котором основные геометрические объекты – прямые, плоскости размерности 2, 3, .

Определение плоскости Лобачевского
Плоскостью Лобачевского называется мыслимая планиметрия, определяемая аксиомами 1–3 группы I, всеми аксиомами групп II–IV системы аксиом Д. Гильберта и аксиомо

Основные факты в планиметрии Лобачевского
Принятие столь экзотической аксиомы параллельности V' позволяет «обнаружить» (точнее, строго доказать) на плоскости L2 неевклидовы «эффекты», т.е. такие отношения между геометриче

Перпендикуляр к стороне угла
Для любого угла, образованного пересечением прямых ОА¥ и ОВ¥ (рис. 12),

О роли открытия неевклидовой геометрии
Открытие мыслимой неевклидовой геометрии задолго до построения ее реализаций и последовавшие затем открытия ее реализаций Гауссом, Клейном, Бельтрами и Пуанкаре явились прологом пересмотра многих у

Вывод 3
Открытие и построение неевклидовой геометрии предшествовало, а затем и сопутствовало развитию современного математического формализма. Роль математического формализма в современной науке не свод

Понятие отношений между объектами
Принято считать, что всякое отношение выражает связи между объектами или, что то же, элементами x, y, … , некоторых множеств A'x, B'y, … . Отношения между

Определение
Отношение Ð(x,y) между элементами множества M называется отношением эквивалентности, обозначим его Ð(x,y)º(x~y), если выполняются три условия: 1.

Следствие 2
Задание отношения эквивалентности на некотором множестве равносильно разбиению этого множеств на непересекающиеся подмножества. Аналогично двухместному определяются n–местные отноше

Понятие математической структуры
В главе I рассмотрены системы аксиом: Пеано для натуральных чисел. Аксиоматика действительных чисел. Аксиоматика векторных пространств. Аксиоматика Гильберта евк

Определение
Математической структурой называется система отношений Ð ={Ð1, …, Ðp}, заданная на базовых множествах M1,…, Mm посред

Модель или реализация системы аксиом
Модель системы аксиом T представляет собой такую совокупность некоторых объектов и отношений между ними, для которой выполняются все требования системы аксиом T, [9, с. 117–118].

Замечание 1
Понятия «модель» и «структура» часто используются как понятия «конкретного множества» и «множества с заданными свойствами». Именно в таком контексте мы использовали эти понятия в §3–5. Это не вступ

Вывод 1
Всякая реализация R(T) системы аксиом Т устанавливает взаимно однозначное соответствие xi

Определение
Система аксиом Т, ее аксиоматическая теория и аксиоматическая структура

Изоморфизм
Пусть система аксиом Т имеет две реализации R(T) и R'(T). Тогда согласно выводу 1 (п.6.4) между объектами Ri и R'

Определение изоморфизма
Две реализации R(T) и R'(T) системы аксиом Т будем называть изоморфными, если выполняется два условия: 1) существует взаимно–однозначное соответствие (2)

Вывод 3
Если систему аксиом Т и ее аксиоматическую теорию рассматривать как мыслимые или абстрактные объекты, и если

Вывод 5
Всякая аксиоматическая структура T,Ð;М

Непротиворечивость системы аксиом
Система аксиом называется непротиворечивой, или совместной, если в теории этой системы невозможно доказать какое–ни

Вывод 1
Непротиворечивость всякой системы аксиом Т сводится к существованию хотя бы одной априорно не противоречивой реализации. В качестве примера обратимся к трехмерной евклидовой геометр

Независимость аксиоматической системы
Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если ни одна из аксиом этой системы не может быть выведена из остальных аксиом как теорема. В противном случае система аксиом называется зави

Независимость аксиомы параллельности
Напомним, что планиметрия строится на системе 15 аксиом, включая аксиому параллельности (см. Аксиоматику Д. Гильберта в п.2.2 §2). Пусть Т={T1,...,T14} –

Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом
Для структуры ∑{T,Ð ,М} всякой системы аксиом Т определено множеств И – утверждений или высказываний, связывающих элементы Т, Ð, М этой струк

Определение (дедуктивной полноты)
Непротиворечивая система аксиом Т называется дедуктивно полной, если в определяемой ею теории всякое предложение либо доказуемо, либо опровержимо. Другими словами, в теории всех высказыван

Определение (категоричности)
Непротиворечивая, система аксиом называется категоричной, если любые ее модели (реализации) изоморфны. Рассмотренная выше система аксиом абсолютной геометрии представляет пример некатегори

Языковые свойства имен объектов
Готлоб Фреге впервые обратил внимание на то, что имя каждого объекта имеет два значения: предметное и смысловое. Согласно его “теории смысла” с понятием имени связ

Проблема выразимости
Двузначность “имени” придает гибкость языку как средству коммуникации и в то же время делает его несовершенным как знаковое средство передачи информации. Действительно, последовательность слов как

Понятие искусственного языка
Всякий предметный или искусственный язык состоит из следующих компонентов: 1. Алфавит (конечный список исходных символов). 2. Правила построения термов (имен и именных форм).

Понятие парадокса
Проблема выразимости отражает несоответствие естественного и искусственного языков, а также несоответствие между самими искусственными языками, относящимися к моделям разного уровня сложности. Эти

Парадокс пустого множества
Рассмотрим высказывание Тº{то, что я скажу, ложь}. Зададимся вопросом, истинно это утверждение или ложно? Если Т истинно, то по своему смыслу оно ложно. Если Т ложно, то о

Парадокс достижимости в натуральном ряде
Натуральный ряд N – это множество, определяемое системой аксиом Пеано, см. п.1.1. § 1. Элемент xÎN будем называть достижимым, если этот элемент х=

Обозначения.
В тексте используются следующие общепринятые обозначения: Þ – знак логического следствия “отсюда следует, что”; Û – знак эквивалентности утверждений “тогда и только то

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги