1. Знающему читателю будет понятно, что при преобразованиях зеркальной симметрии коллапсирующая трехмерная сфера одного пространства Калаби—Яу отображается на коллапсирующую двумерную сферу другого пространства Калаби—Яу, приводя, на первый взгляд, к той же ситуации флоп-перестроек, которая рассматривалась в главе 11. Разница, однако, в том, что в подобном зеркальном описании антисимметричное тензорное поле В v (действительная часть комплексной кэлеровой формы на зеркальном пространстве Калаби—Яу) обращается в нуль, и сингулярность гораздо сильнее, чем в случае, который описывался в главе 11.
2. Более точно, примерами экстремальных черных дыр являются черные дыры с минимальными для данных зарядов массами, в полной аналогии с рассмотренными в главе 12 БПС-состояниями. Такие черные дыры будут играть важнейшую роль при обсуждении энтропии черной дыры.
3. Излучение черной дыры должно быть подобно излучению теплоты раскаленным камином. Это как раз та проблема, которая обсуждалась в главе 4 и сыграла важнейшую роль в развитии квантовой механики.
4. Так как черные дыры, участвующие в конифолдных переходах с разрывом пространства, являются экстремальными, оказывается, что ни при каких малых массах они не излучают по Хокингу.
5. Лекция Стивена Хокинга, прочитанная на Амстердамском симпозиуме по гравитации, черным дырам и струнам, 21 июня 1996 г.
6. В первых расчетах Строминджера и Вафы обнаружилось, что математические выкладки становятся проще, если работать с пятью, а не четырьмя протяженными пространственно-временными измерениями. После завершения вычислений энтропии пятимерной черной дыры они с удивлением обнаружили, что еще никто не построил такие гипотетические экстремальные черные дыры в формализме лятимерной обшей теории относительности. А так как результаты можно было проверить лишь сравнив ответ с площадью горизонта событий гипотетической черной дыры, Строминджер и Вафа занялись построением подобной пятимерной черной дыры. И им это удалось. Дальше уже не представляло труда показать, что результат для энтропии в теории струн, полученный на основе анализа микроскопических свойств, согласуется с предсказанием Хокинга, сделанным на основе площади поверхности горизонта событий черной дыры.
После публикации их работы многим теоретикам, среди которых необходимо отметить принстонского физика Кертиса Каллана и его последователей, удалось вычислить энтропию для более привычного случая четырех протяженных пространственно-временных измерений, и все эти вычисления подтвердили правильность предсказания Хокинга.
7. Интервью с Шелдоном Глэшоу, 29 декабря 1997 г.
8. Laplace, Philosophical Essay on Probabilities, trans. Andrew I. Dale. New York: Springer-Verlag, 1995. (См. рус. изд.: Лаплас. Опыт философской теории вероятности. М., 1908.)
9. Цитируется по книге: Stephen Hawking and Roger Penrose, The Nature of Space and Time. Princeton: Princeton University Press, 1995, p. 41. (Рус. пер.: Хокинг С, Пенроуз Р. Природа пространства и времени. Ижевск: РХД, 2000.)
10. Лекция Стивена Хокинга, прочитанная на Амстердамском симпозиуме по гравитации, черным дырам и струнам, 21 июня 1997 г.
11. Интервью с Эндрю Строминджером, 29 декабря 1997 г.
12. Интервью с Кумруном Вафой, 12 января I99S г.
13. Лекция Стивена Хокинга, прочитанная на Амстердамском симпозиуме по гравитации, черным дырам и струнам, 21 июня 1997 г.
14. Это в определенной мере связано с вопросом о потере информации, который обсуждается в последние годы. Некоторые физики придерживаются идеи о возможности существования внутри черной дыры «ядра», где хранится вся информация, которую перенесли тела, попавшие под горизонт событий черной дыры.
15. В действительности, конифолдные переходы с разрывом пространства, рассмотренные в этой главе, затрагивают черные дыры. Поэтому может показаться, что анализ снова упирается в проблему сингулярностей черных дыр. Вспомним, однако, что конифолд возникает в тот момент, когда масса черной дыры становится нулевой, следовательно, данный вопрос не имеет прямого отношения к проблеме сингулярностей черных дыр.