Ошибки косвенных измерений

В большинстве случаев измеряется интересующая нас величина не непосредственно, а косвенно, путем измерения одной или нескольких величин, от которых зависит искомая величина. Например, при измерении площади прямоугольника приходится измерять его длину а и ширину b, а площадь вычисляют по формуле F = ab.

При таких измерениях, называемых косвенными, существуют свои правила в определении ошибок.

Общие правила вычисления ошибок косвенных измерений выводятся с помощью дифференциального исчисления.

Пусть результат Yкосвенных измерений зависит от результатов прямых измерений Х₁,Х₂,...,Х_п следующим образом

F = f(X₁,X₂,...,X_n). (2.1)

Пусть относительные погрешности физических величин Х₁,Х₂,…,Х_nизвестны и соответственно равныТогда погрешность измерения физической величины Y можно найти следующим образом.

· Прологарифмируем уравнение (2.1):

lnY = ln[F(X₁, X₂, …, X_n)] (2.2)

· Вычислим полные дифференциалы правой и левой части уравнения (2.2):

(2.3)

Заменив дифференциалы конечными разностями, получим

(2.4)

Если умножить обе части уравнения (2.4) на исходные функционалы y=f(X₁,...,X_n), то получим выражение для определения абсолютной погрешности косвенной величины:

Расчет по приведенным формулам дает завышенный результат погрешностей, поскольку последние определяются путем суммирования погрешностей определения прямо измеряемых величин (без учета их знака). Реальные погрешности прямых измерений накладываются друг на друга и, в некоторой степени, взаимно компенсируются.

Из теории погрешностей известно, что более объективной оценкой результатов измерений является использование среднеквадратичной погрешности

Кроме того, установлено, что приведенная зависимость определения абсолютной погрешности косвенного измерения не изменяет своего вида,если вместо ∆Yиспользовать σ_Y, а вместо ∆X_i, использовать с σ_Xi: