Теоретические сведения о временных рядах

Теоретические сведения о временных рядах. Временный ряд это множество наблюдений X(t), полученных последовательно за время t. Анализ временных рядов основан на предположении, что последовательные значения в базе данных фиксируются через определенные промежутки времени.

Цели анализа временных рядов (определение природы ряда и прогнозирование) требуют математического описания модели. Различают детерминированные и случайные временные ряды. Детерминированный ряд это ряд, значение компонентов которого определяется какой-либо математической зависимостью. Значение компонентов случайного ряда могут быть описаны только с помощью распределения вероятности.

Явления, развивающиеся во времени согласно закону теории вероятности, называются стохастическим процессом. Выделяют два вида стохастических процессов: 1) стационарный. Это процессы, свойства которых не изменяются во времени. Они имеют постоянное математическое ожидание (постоянное среднее значение вокруг, которого варьируются), среднеквадратичное отклонение (определяет разброс компонентов ряда относительно их математического ожидания) и автокорреляцию. 2) динамические.

При графическом построении временного ряда результаты наблюдений наносят на график в виде точек и соединяют последовательно ломаной линией. В результате получают линию фактических изменений. Для определения общих тенденций роста (снижения) показателей временного ряда используют выравнивание (сглаживание), общей картины происходящих процессов и стараются описать их с помощью математических зависимостей. Сглаживание ряда осуществляется следующими основными способами: 1) методом экспоненциального сглаживания; 2) методом скользящего среднего; 3) методом Брауна; 4) методом среднего темпа; 5) методом регрессионных уравнений. 1.3.1. Метод экспоненциального сглаживания Метод экспоненциального сглаживания является одним из простейших и распространенных способов выравнивания ряда. Выравнивание осуществляется по следующей формуле: , (1.12) где значение экспоненциальной средней в момент времени t; параметр сглаживания, принимает значения от 0 до 1; параметр сглаживания. (1.13) Для расчета первого значения задается значение, которое высчитывается по формуле: (1.14) Если в формулу (1.12) подставить формулу (1.13), то получится следующее выражение: (1.15) Экспоненциальное среднее имеет математическое ожидание равное математическому ожиданию, при этом среднеквадратичное отклонение меньше среднеквадратичного отклонения. Чем меньше параметр сглаживания, тем в большей степени сокращается среднеквадратичное отклонение, т. е. экспоненциальное сглаживание служит как фильтр, формирующий на выходе значение и предпосылки для прогноза.

Прогноз рассчитывается по формуле: (1.16) 1.3.2. Метод скользящего среднего Метод скользящего среднего основан на выравнивании ряда с использованием следующей формулы: , (1.17) , (1.18) где значение скользящего среднего в момент времени t; некоторая величина, характеризующая начальное условие при ; значение скользящего среднего в момент времени ; N число значений ряда. 1.3.3. Метод Брауна Метод Брауна основан на использовании адаптивных моделей разного порядка.

Адаптивные модели первого порядка основаны на использовании экспоненциальной средней, отличие состоит в выборе. Начальные условия для расчета: (1.19) где, где это шаг. Расчет производится по следующим формулам: (1.20) (1.21) Прогноз следующего значения ряда вычисляется по следующей формуле: (1.22) Для построения графических зависимостей пользуются столбцами значений: х и . 1.3.4. Метод среднего темпа При использовании этого метода в расчете учитывается вся информация ряда. Расчет базируется на предпосылке о том, что сумма фактических уровней динамического ряда или суммарный рост за период должен быть равен сумме уровней, полученных расчетным путем исходя из начального уровня ряда и среднего темпа роста (). Он производится по формуле: (1.23) Расчет уровня ряда: , (1.24) где. Расчет проводится путем подбора при соблюдении следующего условия: (1.25) Когда определено значение, при котором, найденное значение среднего темпа роста выступает в качестве коэффициента для составления прогноза на будущий срок. Высчитывается по формуле: (1.26) 2. Статистический показатель расчетов временных рядов (корреляция) Случайной величиной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Случайная величина называется дискретной, если ее возможные значения можно пронумеровать.

Основными формами задания дискретной случайной величины являются: 1) ряд распределения; 2) функция распределения (интегральная функция распределения). Математическое ожидание дискретной случайной величины Х называется значение, рассчитанное по формуле . (2.1) Математическое ожидание обозначается также mx. Оно приближенно равно среднему возможному значению случайной величины.

Случайная величина называется непрерывной, если ее возможные значения сплошь заполняют некоторый интервал.

Основными формами задания непрерывной случайной величины являются: · интегральная функция распределения F(x); · функция плотности вероятности f(x). Интегральная функция распределения для непрерывной случайной величины Х определяется так же, как и для дискретной F(x) = P(X < x). Плотность вероятности (дифференциальной функцией распределения) случайной величины Х называется функция f(x) = F?(x). (2.2) Для непрерывной случайной величины Х функция распределения F(x) непрерывна на всей оси Ох, а плотность вероятности f(x) существует везде, за исключением, может быть, конечного числа точек.

Математическим ожиданием mx непрерывной случайной величины Х, для которого функция f(x) является плотностью вероятности, называется величина несобственного интеграла , (2.3) если он сходится.

Дисперсией называется значение несобственного интеграла , (2.4) если он сходится.

При вычислении дисперсии иногда удобна формула . (2.5) Кроме математического ожидания для характеристики положения центра распределения случайной величины часто используют моду и медиану.

Модой называется то значение случайной величины, которому соответствует наибольшая плотность вероятности ее распределения. Медианой называется значение случайной величины, для которой интегральная функция распределения F(x) = 0,5. Для того чтобы рассчитать значения моды и медианы, необходимо вначале определить модальный и медиальный интервал. Модальный интервал на гистограмме отвечает наибольшей частоте попадания случайной величины.

Моду рассчитывают по формуле , (2.6) где ХМо - нижняя граница модального интеграла; С - величина интервала (разность между верхней и нижней границами); ?1 - разность числа попаданий случайной величины в модальный интервал и предыдущий интервал; ?2 - разность попаданий случайной величины в модальный интервал и последующий интервал. Медиальный интервал определяется по формуле , (2.7) где ХМе - нижняя граница медиального интервала С; hМе - количество попаданий случайной величины в медиальный интервал; N - общее количество опытов; Sn - сумма исходов, соответствующих попаданию случайной величины в интервалы, не превышающие количество N/2. Корреляция Существуют две категории связей или зависимостей между признаками: функциональные и корреляционные.

При функциональной зависимости каждому значению одной переменной соответствует одно значение другой переменной. Связь случайной величины всегда носит вероятностный характер. Следовательно одному значению одной случайной величины соответствует несколько значений другой случайной величины.

Такая зависимость называется корреляционной. Самым простым случаем вероятностной связи является корреляция двух факторов парная корреляция. Наглядное представление о парной корреляции дает корреляционное поле графическое изображение точек, координаты которых соответствуют значениям случайных величин. Различают положительную и отрицательную корреляции. При положительной корреляции зависимость между случайными величинами прямая, т. е. при увеличении значений одной случайной величины увеличиваются и значения второй случайной величины.

При отрицательной корреляции увеличению значений одной случайной величины соответствует уменьшение значений второй случайной величины. Связь двух факторов тем больше, чем теснее располагаются точки около некоторой линии, отображающей график зависимости одной случайной величины от другой. Если все точки корреляционного поля попадают на эту линию, то теснота связи окажется максимальной, и получается функциональная зависимость двух случайных величин.

Для количественного определения тесноты связи между двумя случайными величинами в случае линейной корреляции используют коэффициент корреляции, который может быть определен по двум следующим формулам: , (2.8) где xi, yi текущие значения случайных величин; средние значения случайных величин. Если r = 0, то случайные величины не связаны между собой. В этом случае точки, составляющие корреляционное поле располагаются по кругу от усредняющей линии регрессии, которая параллельна оси Ох. Если r = 1, то имеем положительную функциональную зависимость, все точки которой принадлежат одной прямой; если r = -1 отрицательную.

Чаще всего r равно промежуточному значению. В этом случае между переменными существует корреляционная зависимость, а все точки располагаются в виде эллипса вокруг линии регрессии. Чем теснее связь между случайными величинами, тем ближе