Задачи синтеза оптимальных систем управления

: ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ Статистический синтез заключается в отыскании и реализации оптимальных в определенном смысле свойств (структуры и параметров) системы по заданным статистическим характеристикам входных воздействий. Существуют различные методы статистической оптимизации. Рассмотрим задачу, сформулированную Винером-Колмогоровым. Постановка задачи Винера–Колмогорова.Дано: x (t) - полезный сигнал; z (t) - помеха; Kи (p) - оператор преобразования.

Рис. 1 Определить: оптимальную передаточную функцию - K0 (p). Передаточная функция K0 (p) должна быть устойчивой и физически реализуемой. Если полезный сигнал - x (t) и помеха - z (t) представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем, в противном случае решение находится в классе нелинейных систем.В зависимости от оператора Ки (р) рассматриваются следующие задачи: Ки (р) = 1 - воспроизведения; Ки (р) = 1/р - статистического интегрирования; Ки (р) = р - статистического дифференцирования; Ки (р) = - статистического упреждения, экстраполяции, прогнозирования.

Таким образом, задача Винера-Колмогорова решается при следующих предположениях: Сигнал и помеха представляют собой Гауссовские процессы. Искомая система должна принадлежать к классу линейных систем. Критерий оптимальности - минимум средней квадратичной ошибки.Решение: Определим выражение для средней квадратичной ошибки Средняя квадратичная ошибка равна Мы получили некоторый функционал, в котором неизвестно к (). Необходимо найти такое к (), при котором ошибка будет минимальной.

Это задача минимизации функционала: она решается с использованием вариационного анализа. Пусть ; где: - оптимальная функция веса; - приращение.Подставим это в исходное уравнение для ошибки и получим: ; где А - функция, которая не зависит от а; В - функция, которая зависит от а; С - функция, которая зависит от а2. Найдем экстремум по параметру а к () -оптимально если а = 0 т.е. В = 0. Откуда можно получить следующее выражение (1) Это интегральное уравнение Винера-Хопфа, оптимальная передаточная функция должна удовлетворять этому уравнению.

Решение уравнение Винера-Хопфа. Строгое решение этого уравнения сложно, решим это уравнение простым путем предложенным Шенноном.Уравнению Винера- Хопфа в частотной области соответствует следующее выражение: (2) Откуда (3) Но это уравнение физически нереализуемо так как к0 (&#61556;) = 0 при &#61556; < 0 т.е. K0 (j&#61559;) содержит физически реализуемую и нереализуемую часть.

Для выделения физически реализуемой части воспользуемся свойством формирующего фильтра.Используя операцию факторизации суммарную спектральную плотность сигнала и помехи можно представить в виде: (4) Используя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой части (5) где [] + - реализуемая часть; [] - нереализуемая часть.

Определим Отбросив нереализуемую часть, можно записать следующее выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости: (6) Это формула Винера-Колмогорова.ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ Пример 1. Рассмотрим задачу фильтрации с воспроизведением. Определить оптимальную передаточную функцию - K0 (p) устойчивой и физически реализуемой системы рис.2). Дано: Полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t), представляющие собой Гауссовские случайные процессы.

Kи (p) = 1; Рис. 2 Решение: Так как полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t) представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем.Выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости имеет вид: Так как сигнал и помеха некоррелированы и Kи (p) = 1, то выражение имеет вид: Определим Кф (j&#61559;) Используя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой части При этом Значения А и В найдем методом неопределенных коэффициентов С учетом полученных выражений При этом передаточная функция представляет аппериодическое звено Где Пример 2. Рассмотрим задачу фильтрации с дифференцированием. Определить оптимальную передаточную функцию - K0 (p) устойчивой и физически реализуемой системы рис.3. Дано: Полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t), представляющие собой Гауссовские случайные процессы.

Kи (p) = р; Рис. 3 Решение: Так как полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t) представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем.

Выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости имеет вид: Так как сигнал и помеха некоррелированны то выражение имеет вид: Определим Кф (j&#61559;) где Используя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой части Где Значения А и В найдем методом неопределенных коэффициентов С учетом полученных выражений При этом передаточная функция представляет апериодическое звено где ЛИТЕРАТУРА 1. А Попов С.Л. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем, 2. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения, 3. А Стасенко И.В. Сборник задач по теории колебаний, 1973.