Минимаксная процедура

С целью поиска достаточно хорошего первого хода просматривается обычно часть игрового дерева, построенного от заданной конфигурации. Для этого применяется один из переборных алгоритмов (в глубину, в ширину или эвристический) и некоторое искусственное окончание перебора вершин в игровом дереве: например, ограничивается время перебора или же глубина поиска.

После построения таким образом частичного дерева игры вершины в нем оцениваются, и по этим оценкам определяется наилучший ход от заданной игровой конфигурации. При этом для получения оценок концевых вершин (листьев) полученного дерева используется так называемая статическая оценочная функция, а для оценивания остальных вершин – корневой (начальной) и промежуточных (между корневой и концевыми вершинами) – используется так называемый минимаксныйпринцип.

Статическая оценочная функция, будучи применена к некоторой вершине-позиции игры, дает числовое значение, оценивающее различные достоинства этой игровой позиции. Например, для шашек могут учитываться такие (статические) элементы конфигурации игры, как продвинутость и подвижность шашек, количество дамок, контроль ими центра и проч. По сути, статическая функция вычисляет эвристическую оценку шансов на выигрыш одного из игроков. Для определенности будем рассматривать задачу выигрыша игрока ПЛЮС и соответственно поиска достаточно хорошего его первого хода от заданной конфигурации.

Будем придерживаться общепринятого соглашения, по которому значение статической оценочной функции тем больше, чем больше преимуществ имеет игрок ПЛЮС (над игроком МИНУС) в оцениваемой позиции. Очень часто оценочная функция выбирается следующим образом:

• статическая оценочная функция положительна в игровых конфигурациях, где игрок ПЛЮС имеет преимущества;
• статическая оценочная функция отрицательна в конфигурациях, где МИНУС имеет преимущества;
• статическая оценочная функция близка к нулю в позициях, не дающих преимущества ни одному из игроков.

Например, для шашек в качестве простейшей статической функции может быть взят перевес в количестве шашек (и дамок) у игрока ПЛЮС. Для игры «крестики-нолики» на фиксированном квадрате возможна такая статическая оценочная функция:

ì +∞ если P есть позиция выигрыша игрока ПЛЮС

E(P) = í −∞ если P есть позиция выигрыша МИНУСа

î (N_L⁺ +N_C⁺ +N_D⁺ )−(N_L⁻ +N_C⁻ +N_D⁻) в остальных случаях

где +∞ − очень большое положительное число;

−∞ − очень маленькое отрицательное число;

N_L⁺, N_C⁺, N_D⁺ − соответственно число строк, столбцов и диагоналей, «открытых» для игрока ПЛЮС (т.е. где он еще может поставить выигрышные три крестика подряд),

N_L⁻, N_C⁻, N_D⁻ − аналогичные числа для игрока МИНУС.

На рис.18 приведены две игровые позиции (на квадрате 4×4) и соответствующие значения статической оценочной функции.

Подчеркнем, что с помощью статической оценочной функции оцениваются только концевые вершины дерева игры, для оценок же промежуточных вершин (и начальной вершины) используется минимаксный принцип, основанный на следующей простой идее. Если бы игроку ПЛЮС пришлось бы выбирать один из нескольких возможных ходов, то он выбрал бы наиболее сильный ход, т.е. ход, приводящий к позиции с наибольшей оценкой. Аналогично, если бы игроку МИНУС пришлось бы выбирать ход, то он выбрал бы ход, приводящий к позиции с наименьшей оценкой.

Сформулируем теперь сам минимаксный принцип:

• ИЛИ-вершине дерева игры приписывается оценка, равная максимуму оценок ее дочерних вершин;
• И-вершине игрового дерева приписывается оценка, равная минимуму оценок ее дочерних вершин.

Минимаксный принцип положен в основу минимаксной процедуры, предназначенной для определения наилучшего (достаточно хорошего) хода игрока исходя из заданной конфигурации игры S при фиксированной глубине поиска N в игровом дереве. Предполагается, что игрок ПЛЮС ходит первым (начальная вершина есть ИЛИ-вершина). Основные этапы этой процедуры таковы:

1. Дерево игры строится (просматривается) одним из известных алгоритмов перебора (как правило, алгоритмом поиска вглубь) от исходной позиции S до глубины N ;

2. Все концевые вершины полученного дерева, то есть вершины, находящиеся на глубине N, оцениваются с помощью статической оценочной функции;

3. В соответствии с минимаксным принципом вычисляются оценки всех остальных вершин: сначала вычисляются оценки вершин, родительских для концевых, затем родительских для этих родительских вершин и так далее; таким образом оценивание вершин происходит при движении снизу вверх по дереву поиска − до тех пор, пока не будут оценены вершины, дочерние для начальной вершины, т.е. для исходной конфигурации S;

4. Среди вершин, дочерних к начальной, выбирается вершина с наибольшей оценкой: ход, который к ней ведет, и есть искомый наилучший ход в игровой конфигурации S.

На рис.19 показано применение минимаксной процедуры для дерева игры, построенного до глубины N=3. Концевые вершины не имеют имен, они обозначены своими оценками − значениями статической оценочной функции. Числовые индексы имен остальных вершин показывают порядок, в котором эти вершины строились алгоритмом перебора вглубь. Рядом с этими вершинами находятся их минимаксные оценки, полученные при движении в обратном (по отношению к построению дерева) направлении. Таким образом, наилучший ход – первый из двух возможных.

На рассматриваемом игровом дереве выделена ветвь (последовательность ходов игроков), представляющая так называемую минимаксно-оптимальную игру (или основной вариант игры), при которой каждый из игроков всегда выбирает наилучший для себя ход. Заметим, что оценки всех вершин этой ветви дерева совпадают, и оценка начальной вершины равна оценке концевой вершины этой ветви.

В принципе статическую оценочную функцию можно было бы применить и к промежуточным вершинам, и на основе этих оценок осуществить выбор наилучшего первого хода, например, сразу выбрать ход, максимизирующий значение статической оценочной функции среди вершин, дочерних к исходной. Однако считается, что оценки, полученные с помощью минимаксной процедуры, есть более надежные меры относительного достоинства промежуточных вершин, чем оценки, полученные прямым применением статической оценочной функции. Действительно, минимаксные оценки основаны на просмотре игры вперед и учитывают разные особенности, которые могут возникнуть в последующем, в то время как простое применение оценочной функции учитывает лишь статические свойства позиции как таковой. Это отличие статических и минимаксных оценок существенно для «активных», динамичных позиций игры (например, в шашках и шахматах к ним относятся конфигурации, в которых возникает угроза взятия одной или нескольких фигур). В случае же так называемых «пассивных», спокойных позиций статическая оценка обычно мало отличается от оценки по минимаксному принципу.