Если п - произведение двух простых чисел, р и q, то может понадобиться использовать в качестве р и q сильные простые числа.Такие простые числа обладают рядом свойств, которые усложняют разложение пр о-изведения п определенными методами разложения на множители. Среди таких свойств были предложены [1328, 651]:
Наибольший общий делитель p -lnq -l должен быть небольшим.
Hp -l,nq -l должны иметь среди своих множителей большие простые числа, соответственно p'nq'.
Hp' -l,nq' -l должны иметь среди своих множителей большие простые числа.
Яр + 1, и q + 1 должны иметь среди своих множителей большие простые числа.
И (р - 1)/2, и (q - 1)/2 должны быть простыми [182). (Обратите внимание, при выполнении этого условия в ы-полняются и два первых.)
Насколько существенно применение именно сильных простых чисел, остается предметом продолжающихся споров. Эти свойства были разработаны, чтобы затруднить выполнение ряда старых алгоритмов разложения на множители. Однако самые быстрые алгоритмы одинаково быстры при разложении на множители любых чисел, как удовлетворяющих приведенным условиям, так и нет [831].
Я против специальной генерации сильных простых чисел. Длина простых чисел гораздо важнее их структ у-ры. Более того, сама структура уменьшает случайность чи ела и может снизить устойчивость системы.
Но все может измениться. Могут быть созданы новые методы разложения на множители, которые лучше р а-ботают с числами, обладающими определенными свойствами. В этом случае снова могут потребоваться сил ь-ные простые числа. Заглядывайте в журналы по теоретической математике.
11.6 Дискретные логарифмы в конечном поле
В качестве другой однонаправленной функции в криптографии часто используется возведение в степень по модулю. Легко вычислить:
a* mod я
Задачей, обратной возведению в степень по модулю, является поиск дискретного логарифма. А это уже н е-легкая задача:
Найти х, для которого if = b (mod n).
Например:
ЕслиЗх=15пкх117,тох = 6
Решения существуют не для всех дискретных логарифмов (помните, речь идет только о целочисленных р е-шениях). Легко заметить, что следующее уравнение не имеет решений
3х =7 (mod 13)
Еще сложнее решать эту задачу для 1024-битовых чисел.