Лабораторная работа 12. Задачи оптимизации в экономике

 

Цель работы: с помощью сервисной программы Excel Поиск решения научиться решать экономические оптимизационные задачи и проводить анализ решения типа «что-если».

 

Excel предлагает мощный инструмент для решения оптимизационных задач, то есть таких задач, в которых необходимо найти экстремальное значение (минимум или максимум) некоторой функции, называемой целевой, при заданных ограничениях.

Если целевая функция и/или ограничения – линейны, то такие задачи принято называть задачами линейного программирования.

Многие экономические задачи решаются в рамках линейного программирования. Целевой функцией в них является либо прибыль или объем производства, которые надо максимизировать, либо затраты (издержки), которые надо минимизировать. Ограничения – обычно это условия, которые накладываются на используемые ресурсы для производства продукции. Построив математическую модель и решив задачу в заданных ограничениях, можно поварьировать ограничениями, то есть речь уже идет о математическом моделировании экономических систем с помощью Excel.

Рассмотрим задачу.

В цехе площадью 74 м² необходимо установить станки, на приобретение которых отпущено 420 тыс. руб.

Существует два типа станков. Станок первого типа стоимостью 60 тыс. руб., требующий 12 м² производственных площадей, обеспечивает изготовление 70 изделий в смену. Аналогичные характеристики станка второго типа составляют соответственно 40 тыс. руб., 6 м² , 40 изделий в смену.

Найти оптимальный вариант приобретения станков, обеспечивающий максимальное производство изделий в цехе.

Обозначим Х₁ количество станков первого типа, а Х₂ – количество станков второго типа, которые предполагается установить в цехе. Тогда количество изделий, которое будет произведено на этих станках, равно

F(X₁, X₂)=70*X₁+40*X₂.

Это и есть целевая функция, которую нужно максимизировать.

Теперь запишем ограничения. Их в задаче два.

Ограничения по финансам:

60*X₁+40*X₂ £ 420 тыс. руб.

Ограничения по площади размещения станков:

12*X₁+6*X₂ £ 74 м².

Кроме этих ограничений следует добавить очевидные ограничения:

- переменные задачи должны быть неотрицательные

X₁ ³ 0; X₂ ³ 0;

- переменные задачи должны быть целочисленные

X₁, X₂ Î Z.

Итак, математическая модель сформулирована.

Решение оптимизационных задач в Excel проводится с помощью специализированной программы Поиск решения, вызываемой из главного меню: Сервис | Поиск решения. Она находится в файле SOLVER.XLA, который обычно автоматически подключается при первом обращении к этой программе[20]. Эту программу мы уже использовали при нахождении корней нелинейного уравнения в лабораторной работе 4.

Таким образом, теперь задача состоит в том, чтобы перенести математическую модель в Excel.

Порядок действий следующий.

1. Отводим ячейки для каждой независимой переменной задачи. В нашем примере это ячейка B4 для Х₁ и ячейка B5 для Х₂ (рис. 12.1). Их можно оставить пустыми.

2. Отводим ячейку С13 для целевой функции и набираем в ней формулу, соответствующую виду целевой функции:

= B4*E4+B5*E5.

В формуле в качестве переменных фигурируют адреса ячеек, где эти переменные расположены. Константы задачи заданы не числами, а также ссылками на ячейки, в которых их необходимо предварительно разместить. Рекомендуется для этого оформить таблицу, например так, как это показано на рис. 12.1.

3. Отводим ячейки (А13 и В13) для создания формул, соответствующих левой части каждого ограничения:

=В4*С4+В5*С5

=В4*D4+B5*D5.

4. Открываем диалоговое окно Поиск решения (рис. 12.2).

6. В поле Установить целевую ячейку указываем адрес ячейки, в которой находится формула для расчета целевой функции (ячейка С13). Ниже указываем тип оптимизации (поиск максимума или минимума).

6. В поле Изменяя ячейки отмечаем адреса ячеек, где находятся независимые переменные задачи (В4 и В5).

7. Для того чтобы ввести ограничения, нужно нажать на кнопку Добавить. Появляется диалоговое окно Добавление ограничения (рис. 12.3).

 

В левое поле вводим адрес ячейки, где находятся ограничения (или диапазон адресов ячеек). В центральном поле выбираем знак операции отношения, а также задаем целочисленность или бинарность[21] переменных, если это необходимо по условию задачи. В правом поле задаем адрес ячейки (или диапазон адресов), где находятся правые части ограничений. Вместо адресов в правой части можно просто задать числовые значения.

Нажатием клавиши Добавить переходим в режим добавления следующего ограничения, нажатием клавиши ОК заканчиваем ввод ограничений.

Теперь, если необходимо, в поле Ограничения окна Поиск решения можно выбирать какие-либо ограничения и редактировать их или удалять.

8. Запускаем процесс вычислений нажатием кнопки Выполнить.

В появившемся окне Результаты поиска решения пользователю предлагается составить отчеты, полученные по результатам оптимального решения. Они будут располагаться на отдельных листах данной рабочей книги.

Выделив строкуРезультаты, получим отчет, состоящий из целевой ячейки и списка влияющих ячеек модели, их исходных и конечных значений, а также формул ограничений и дополнительных сведений о наложенных ограничениях. Если ресурс использован полностью, то в графе Статус появляется запись Связанное, если нет, то Не связан и в графе Разница показывается количество неиспользованного ресурса. Эта информация может быть использована при проведении анализа «что-если» для выяснения дефицитности ресурсов.

Устойчивость используется для создания отчета, содержащего сведения о чувствительности решения к малым изменениям в целевой функции или в формулах ограничений. Такой отчет не создается для моделей, переменные в которых – целые числа. В случае нелинейных моделей отчет содержит данные для градиентов и множителей Лагранжа. В отчет по линейным моделям включаются ограничение по затратам, фиктивные (теневые) цены, объективный коэффициент (с некоторым допуском), а также диапазоны ограничений справа. Эта информация может быть использована при анализе двойственной задачи линейного программирования.

Пределы используется для создания отчета, состоящего из целевой ячейки и списка влияющих ячеек модели, их значений, а также нижних и верхних границ. Такой отчет не создается для моделей, переменные в которых – целые числа. Нижним пределом является наименьшее значение, которое может содержать влияющая ячейка, в то время как значения остальных влияющих ячеек фиксированы и удовлетворяют наложенным ограничениям. Соответственно, верхним пределом называется наибольшее значение.

Опция Сохранить сценарий служит для отображения на экране диалогового окна, в котором можно выполнить сохранение сценария решения задачи, чтобы использовать его в дальнейшем с помощью Диспетчера сценариев Microsoft Excel (см. лаб.10).

Результат решения поставленной задачи приведен на рис. 12.1. Заданным ограничениям удовлетворяет следующий парк станков: 3 – первого типа, 6 – второго типа; при этом будет изготовлено максимальное количество деталей – 450.

В окне Поиск решения с помощью кнопки Параметры можно вызвать диалоговое окно Параметры поиска решения (рис. 12.4).

Рассмотрим элементы этого окна.

Поля Максимальное время и Предельное число итераций определяют время, отпущенное на поиск решения задачи, и число промежуточных вычислений, соответственно.

Поля Относительная погрешность, Допустимое откло-нение и Сходимость служат для задания точности, с которой ищется решение (последнее используется только для нелинейных моделей). Рекомендуется после решения задачи повторить его с большей точностью (особенно для целочисленных моделей), чтобы проверить точность модели.

Флажок Линейная модель устанавливается для линейных задач и снимается для нелинейных.

Флажок Неотрицательные значения позволяет установить нулевую нижнюю границу для тех ячеек, для которых она не была указана в поле Ограничение диалогового окна Добавить ограничение.

Флажок Автоматическое масштабирование служит для включения автоматической нормализации входных и выходных значений, качественно различающихся по величине, например, максимизация прибыли в процентах по отношению к вложениям, исчисляемым в миллионах рублей.

Флажок Показывать результаты итераций служит для пошагового проведения итераций с целью просмотра промежуточных результатов.

Опция Оценки служит для указания метода экстраполяции, используемого при поиске решения.

Опция Разности служит для указания метода численного дифференцирования, который используется для вычисления производных при поиске решения.

Опция Метод поискаслужит для выбора алгоритма оптимизации (метод Ньютона или сопряженных градиентов) для указания направления поиска.

Более подробную информацию можно получить, нажав кнопку Справка в том же диалоговом окне.

 

Задание 1.Пусть уже построена математическая модель некоторой оптимизационной задачи. Найти оптимальное значение целевой функции R(x) при заданных ограничениях с помощью сервисной программы Excel Поиск решения.

 

1. R(x)= 626x₁+ 656x₂ ® mах при ограничениях

5x₁ + 8x₂ £ 81; 6x₁ + 4x₂ £ 70; 3x₁ + x₂ £ 26; x₁ + x₂ £ 12;

x₁ £ 8; x₁,x₂ ³ 0.

 

2. R(x)= –5x₁ + 4x₂ – x₃ – 3x₄ – 5x₅ ® min при ограничениях

3x₁ –x₂ + 2x₄ + x₅ = 5; 2x₁ – 3x₂ + x₃ + 2x₄ + x₅ = 6;

3x₁ –x₂ +x₃ +3x₄ + 2x₅ = 9; x_i ³ 0, i=1...5.

 

3. R(x)= –2x₁ +x₂ + 4x₃ –x₄ –x₅ ® min при ограничениях

x₂ + 2x₄ – x₅ =1; x₁ –x₄ – x₅ =1;

2x₂+x₃ + 2x₅ = 4; x_i ³ 0, i=1...5.

 

4. R(x)= 2x₁ + x₂ + x₃ + 7x₄ – 2x₅ ® min при ограничениях

x₁ +x₂ – x₃ + x₄ = 1; 2x₁ + x₂ + x₃ – x₅ = 7;

x₁ + 2x₂ + x₃ – 7x₄ + x₅ = 6; x_i ³ 0, i=1...5.

 

5. R(x)= – x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + 3x₅ ® min при ограничениях

2x₁+ 2x₂+ x₄ + x₅ =3; 3x₁ –x₂ + 2x₃ – 2x₅ =1;

–3x₁ + 2x₃ – x₄ + 2x₅ = 1; x_i ³ 0, i=1...5.

 

6. R(x)= –4x₁ +2x₂ –x₃ +x₄ ® min при ограничениях

3x₁ + 2x₂ – x₃ + 4x₄ = 3; x₁ – x₂ + 4x₃ – 2x₄ = 2;

x_i ³ 0, i=1...4.

 

7. R(x)= x₁ + 2x₂ + x₃ –x₄ ® min при ограничениях

10x₂ + x₃ + 2x₄ + 3x₅ = 25; –x₁ + 5x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = 10;

2x₁ – x₂ + x₃ – 3x₄ = 6; x_i ³ 0, i=1...5.

 

8. R(x)= 4x₁ –3x₂ – x₄ + x₅ ® min при ограничениях

–x₁ + 3x₂ + x₄ = 13; 4x₁ + x₂ + x₅ = 2;

–2x₁ + x₂ + x₃ = 1; x₁ – 3x₂ + x₆ = 0; x_i ³ 0, i=1...6.

 

9. R(x)= x₁ – x₂ ® mах при ограничениях

2x₁ – 4x₂ – x₃ + x₄ = –3; 4x₁ – 3x₂ – x₃ + x₄ + x₅ = 6;

x₁ + 4x₂ + x₃ + x₅ = 15; x_i ³ 0, i=1...5.

 

10. R(x)= x₁ + 9x₂ + 5x₃ + 3x₄ + 4x₅ + 14x₆ ® min при ограничениях

x₁ + x₄ = 20; x₂ + x₅ = 50; x₃ + x₆ =30;

x₄ + x₅ +x₆ = 60; x_i ³ 0, i=1...6.

 

11. R(x)= x₁ + x₂ ® mах при ограничениях

x₁ + x₂ ³ 1; x₁ – x₂ ³ –1; x₁ – x₂ £ 1;

x₁ £ 2; x₂ £ 2; x_i ³ 0, i=1...2.

 

 

12. R(x)= 4x₁ + 6x₂ ® min при ограничениях

x₁ + x₂ £ 20; x₁ + 3x₂ ³ 30; 8x₁ + 6x₂ ³ 72;

8x₁ + 6x₂ £ 128; x_i ³ 0, i=1...2.

 

13. R(x)= 3x₁ + 8x₂ ® mах при ограничениях

x₁ + 7x₂ £ 57; 2x₁ + 5x₂ £ 42; 3x₁ + 4x₂ £ 56;

2x₁ + x₂ £ 34; x_i ³ 0, i=1...2.

 

14. R(x)= x₁² + x₂² – 10x₁ – 15x₂ ® min при ограничениях

2x₁ + 3x₂ £ 13; 2x₁ + x₂ £ 10; x_i ³ 0, i=1...2.

 

15. R(x)= 3x₁² + x₂² + 3x₁ – 2x₂ ® min при ограничениях

x₁ + 3x₂ + x₃ + x₄ = 16; 3x₁ – x₂ – x₃ + x₄ = 4;

x_i ³ 0, i=1...4.

 

16. R(x)= x₁² + x₂² + x₃² +x₂ – 2x₃ ® min при ограничениях

x₁ + x₂ + 2x₃ £ 6; 3x₁ + 2x₂ +x₃ £ 12; x_i ³ 0, i=1...3.

 

17. R(x)= –2x₁ + 2x₂ – 3x₃ + 3x₄ ® min при ограничениях

x₁ – 2x₂ + x₄ = 3; x₂ + x₃ – 2x₄ = 5;

3x₂ +x₄ + x₅ = 6; x_i ³ 0, x_i Î Z; i=1...5.

 

18. R(x)= x₁ –x₂ + x₃ – x₄ ® mах при ограничениях

x₁ + 2x₃ + x₄ = 8; x₁ +x₂ – x₄ = 4;

–x₁ + 2x₂ + x₃ + 3x₄ = 6; x_i ³ 0, x_i Î Z; i=1...4.

 

19. R(x)= x₁ + 2x₂ + x₅ ® min при ограничениях

x₁ + x₂ + x₃ +x₄ + x₅ = 5; x₂ + x₃ + x₄ – x₅ = 2;

x₃ – x₄ + x₅ = 1; x_i ³ 0, x_i Î Z; i=1...5.

 

20. R(x)= 4x₁ + 3x₂ ® mах при ограничениях

2x₁ + 3x₂ +x₃ = 8; 4x₁ + x₂ + x₄ = 10;

x_i ³ 0, x_i Î Z; i=1...4.

21. R(x)= – x₃ ® min при ограничениях

–6x₂ + 5x₃ +x₅ = 6; 7x₂ – 4x₃ + x₄ = 4;

x₁ + x₂ +x₃ ³ 9; x_i ³ 0, x_i Î Z; i=1...5.

 

22. R(x)= 3x₁ + 2x₂ + x₃ ® min при ограничениях

x₁ + 3x₂ +x₃ ³ 10; 2x₁ + 4x₃ ³ 14; 2x₂ + x₃ ³ 7;

x_i ³ 0, x_i Î Z; i=1...3.

 

23. R(x)= –2x₁ – x₂ – x₃ ® min при ограничениях

x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 16; x₁ + x₂ £ 7; 3x₁ + 2x₂ ³ 18;

x_i ³ 0, x_i Î Z; i=1...3.

 

24. R(x)= –4x₁ – 3x₂ ® min при ограничениях

4x₁ + x₂ £ 44; x₁ £ 22; x₂ £ 18;

x_i ³ 0, x_i Î Z; i=1...2.

 

25. R(x)= –6x₁ + 2x₁² – 2x₁x₂ + 2x₂² ® min при ограничениях

x₁ + x₂ £ 2; x₁ + 3x₂ £ 3; x_i ³ 0, i=1...2.

 

26. R(x)= x₁ + x₂ ® mах при ограничениях

0£ х₁ + х₂ £ 3; –1£ х₁ – х₂ £ 0; 0£ х₁ £ 1; 0£ х₂ £ 3;

х₁ , х₂ ³ 0.

 

27. R(x)= 2x₁ + x₂ ® mах при ограничениях

х₁ + 2х₂ ³ –1; 2х₁ + х₂ £ 4; х₁ – х₂ ³ –1; –2х₁ – 2х₂ £ -3;

3х₁ + 3х₂ ³ –2; х₁ , х₂ ³ 0.

 

28. R(x)= x₁ – x₂ ® mах при ограничениях

1£ х₁ + х₂ £ 2; –1£ х₁ – 2х₂ £ –0,5; 1£ 2х₁ – х₂ £ 2;

х₁ , х₂ ³ 0.

 

29. R(x)= –9x₁ – 2x₂ ® mах при ограничениях

–х₁ – х₂ £ 0; –х₁ + х₂ £ 0; –3х₁ – х₂ £ 0; –4х₁ + х₂ £ –1;

х₁ , х₂ ³ 0.

 

30. R(x)= 2x₁ + 3x₂ ® min при ограничениях

х₁ + х₂ £ 4; 3х₁ + х₂ ³ 4; х₁ + 5х₂ ³ 4; х₁ £ 3;

х₂ £ 3; х₁ , х₂ ³ 0.

 

Задание 2.Сформулировать экономико-математическую модель предложенной задачи оптимизации (выбрать переменные, записать целевую функцию и систему ограничений). С использованием сервисной программы Excel Поиск решения найти оптимальное значение целевой функции. Определить дефицитные ресурсы. Исследовать влияние изменения ресурсов задачи на решение задачи. Результаты решения оформить в виде наглядных таблиц, снабдив их комментариями и примечаниями.

 

Задача 1. Для изготовления сплава из меди, олова и цинка в качестве сырья используют два сплава тех же металлов, отличающиеся составом и стоимостью. Данные об этих сплавах приведены в таблице.

 

Компоненты	Содержание компонентов, %
сплава	Сплав №1	Сплав №2
Медь
Олово
Цинк
Стоимость 1 кг	40 руб.	60 руб.

 

Получаемый сплав должен содержать не более 2 кг меди, не менее 3 кг олова, а содержание цинка может составлять от 7,2 до 12, 8 кг.

Обеспечить количества X_j (j=1,2) сплавов каждого вида, обеспечивающие получение нового сплава с минимальными затратами на сырье.

 

Задача 2. Для изготовления двух видов изделий А₁ и А₂ завод использует в качестве сырья алюминий и медь. На изготовлении изделий заняты токарные и фрезерные станки. Исходные данные задачи приведены в таблице.

Вид	Объем	Нормы расхода на 1 изделие
ресурсов	ресурсов	Изделие А1	Изделие А2
Алюминий ,кг
Медь, кг
Токарные станки, станко-час.
Фрезерные станки, станко-час.
Прибыль на 1 изделие, тыс.руб.

 

Определить количества X_j (j=1,2) изделий А_j , которые необходимо изготовить для достижения максимальной прибыли.

Задача 3. Из одного города в другой ежедневно отправляются пассажирские и скорые поезда. В таблице указано количество вагонов в поездах различного типа и максимальное число пассажиров, на которое рассчитан вагон.

 

Поезда	Вагоны
Багажный	Почтовый	Плацкартный	Купейный	Мягкий
Скорый
Пассажирский		–
Парк вагонов
Число пассажиров	–	–

 

Определить число скорых Х₁ и пассажирских Х₂ поездов, которые необходимо формировать ежедневно из имеющегося парка вагонов, чтобы число перевозимых пассажиров было максимальным.

 

Задача 4. В начале рабочего дня автобусного парка на линию выходит Х₁ автобусов, через час к ним добавляется Х₂ автобусов, еще через час – дополнительно Х₃ машин.

Каждый автобус работает на маршруте непрерывно в течение 8 часов. Минимально необходимое число машин на линии в i-й час рабочего дня (i =1,2,...,10) равно b_i . Превышение этого числа приводит к дополнительным издержкам в течение i-го часа в размере с_i рублей на каждый дополнительный автобус.

Определить количества машин Х₁ , Х₂ , Х₃ , выходящих на маршрут в первые часы рабочего дня, с таким расчетом, чтобы дополнительные издержки в течение всего рабочего дня были минимальными. Исходные данные приведены в таблице.

 

i
bi
ci

 

Задача 5. На товарных станциях С₁ и С₂ имеется 75 и 90 комплектов мебели соответственно. Стоимости перевозки одного комплекта со станций в магазины М₁, М₂, М₃ указаны в таблице. Необходимо доставить в указанные магазины 80, 25 и 60 комплектов мебели соответственно.

Составить план перевозок так, чтобы затраты на транспортировку мебели были наименьшими. Сколько нужно сделать рейсов, чтобы перевезти все комплекты, если за один рейс машина может увезти 6 комплектов?

 

Пункт отправления	Стоимость перевозки, руб./компл.
В магазин М1	В магазин М2	В магазин М3
Станция С1
Станция С2

 

Задача 6.Предприятие, располагающее ресурсами сырья трех видов B_i (i=1,2,3), может производить продукцию четырех видов A_j (j=1,2,3,4). В таблице указаны затраты ресурсов B_i на изготовление 1 т продукции A_j , объем ресурсов и прибыль, получаемая от изготовления 1 т продукции A_j .

 

Вид сырья	Вид продукции
А1	А2	А3	А4	Объем ресурсов, т
В1
В2
В3
Прибыль, руб.					-

 

Определить ассортимент выпускаемой продукции, при котором полученная прибыль будет максимальной, при условии:

а) продукции А₂ необходимо выпустить не менее 8 т, продукции А₄ - не более 5 т, а продукции А₁ и А₃ - в отношении 2:1;

б) производственные издержки на 1 т продукции А_j , j=1...4, составляют соответственно 30, 90,120 и 60 руб., а суммарные издержки не должны превышать 960 руб.

 

Задача 7. Пусть вашей фирме необходимо заключить контракт на поставку товаров на некоторую сумму, меньшую или равную Р условных единиц. При этом имеется выбор из N партнеров, которые могут поставить товар на K_i (i=1…N) условных единиц каждый. Ожидаемая прибыль от сделки с i-м партнером составляет C_i процентов от суммы заключенной сделки, но при этом риск от сделки с i-м партнером составляет H_i процентов от суммы сделки. Требуется определить наиболее выгодных партнеров и сумму сделки с каждым из них, обеспечив при этом максимальное значение прибыли при значении суммарного риска от сделок, не превышающего суммы прибыли.

Как изменится решение задачи, если минимизировать суммарный риск?

Исходные данные приведены в таблице.

 

Параметры контракта	Фирмы
СтикС	КомплекТ	Тэтрон	ЭлекТ	Играм
Максимальная сумма контракта с фирмой Ki , у.е.
Ожидаемая прибыль Ci, %			11,8
Возможные убытки Hi , %		8,5	8,85	8,2
Максимальная сумма контракта равна 50000 у.е.

Задача 8. Ваше предприятие выпускает телевизоры, музыкальные центры и акустические системы, используя общий склад комплектующих. В связи с ограниченностью запаса необходимо найти оптимальное соотношение объемов выпуска изделий для получения максимального дохода от продаж.

Для обеспечения договоров с заказчиками необходимо выпускать не менее 100 единиц каждого наименования. Следует учитывать уменьшение дохода при увеличении объемов производства (в связи с дополнительными затратами на сбыт) по степенному закону с показателем к=0,9. Данные для расчета приведены в таблице.

 

Склад	Наименование	Телевизор	М. центр	Ак. сист.
Количество	Х1	Х2	Х3
Цена изделия
Комплектующие	Кол-во	Использовано	Требуется деталей
Шасси		Y1
Кинескоп		Y2
Динамик		Y3
Блок питания		Y4
Электрическая плата		Y5

 

Задача 9. Для работников с пятидневной рабочей неделей и двумя выходными подряд требуется составить график работы, обеспечивающий требуемый уровень обслуживания при наименьших затратах на оплату труда. Дневная оплата каждого работника – 100 руб. За работу в воскресенье – надбавка 15%.

 

Дни недели	Вс	Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб
Требуется работников

Указание. Разбить всех работников на 7 групп и обозначить Х₁ - количество работников, отдыхающих в воскресенье-понедельник, Х₂ - количество работников, отдыхающих в понедельник-вторник, и т.д.

Задача 10. Требуется минимизировать затраты на перевозку товаров от предприятий-производителей на торговые склады. При этом необходимо учесть возможности поставок каждого из производителей при максимальном удовлетворении запросов потребителей. Данные для расчета приведены в таблице.

Сколько необходимо сделать рейсов, если за один рейс можно перевезти 20 т груза?

 

Заводы	Произв. мощности, т	Затраты на перевозку от завода к складу, у.е./т
Томск	Новосибирск	Омск	Тюмень
Потребности складов, т

 

Задача 11. Маркетологи фирмы установили, что между расходами на рекламу R (руб.) и числом продаж N (шт.) существует связь, выражаемая формулой

,

где коэффициент d - сезонная поправка.

Определить бюджет на рекламу в каждом квартале, соответствующий наибольшей прибыли за год, при фиксированных затратах на торговый персонал. Оценить поквартально норму прибыли (отношение производственной прибыли к выручке от реализации). Годовые затраты на рекламу не должны превышать 40000 руб. Цена одного изделия - 40 р., затраты на сбыт одного изделия - 25 р.

 

Статьи	Квартал	За год
1. Сезонная поправка, d	0,9	1,1	0,8	1,2	—
2. Число продаж, N	?	?	?	?	?
3. Выручка от реализации	?	?	?	?	?
4. Затраты на сбыт	?	?	?	?	?
5. Валовая прибыль	?	?	?	?	?
6. Затраты на торговый персонал	8 000	8 000	9 000	9 000	34 000
7. Затраты на рекламу	R1	R2	R3	R4	R
8. Косвенные затраты (15% от ст. 3)	?	?	?	?	?
9. Суммарные затраты	?	?	?	?	?
10. Производств. прибыль (ст.5-ст.9)	?	?	?	?	?

Задача 12. Фабрика выпускает кожаные брюки, куртки и пальто специального назначения в ассортименте, заданном отношением 2:1:3. В процессе изготовления изделия проходят три производственных участка - дубильный, раскройный и пошивочный.

Данные для расчета приведены в таблице.

Показатели	Брюки	Куртки	Пальто
Норма времени на участках, чел. ч
дубильном	0,3	0,4	0,6
раскройном	0,4	0,4	0,7
пошивочном	0,5	0,4	0,8
Полная себестоимость, руб.		40,5	97,8
Оптовая цена предприятия, руб.	17,5

 

Ограничения на фонд времени для участков составляют соответственно 3360, 2688, 5040 чел. ч. Учитывая заданный ассортимент, максимизировать прибыль от реализованной продукции.

 

Задача 13. На заводе ежемесячно скапливается около 14 т отходов металла, из которого можно штамповать большие и малые шайбы. Месячная потребность завода в больших шайбах 600 тыс. шт., в малых - 1100 тыс. шт. Расход металла на тысячу больших шайб - 22 кг, на тысячу малых - 8 кг. Для изготовления шайб используются два пресса холодной штамповки. Производительность каждого за смену 9 тыс. шт. больших шайб либо 11,5 тыс. шт. малых. Завод работает в две смены.

Недостающее количество шайб закупается. Оптовая цена больших шайб 11,9 руб. (за тысячу штук), а малых - 5,2 руб. Определить месячный план производства шайб, обеспечивающий минимальные затраты на их покупку.

 

Задача 14. Цех мебельного комбината выпускает трельяжи, трюмо и тумбочки под телевизор. Норма расхода материала на одно изделие, плановая себестоимость, оптовая цена продукции, плановый (месячный) ассортимент и трудоемкость единицы продукции приведены в таблице. Общее ограничение на трудоемкость на планируемый период составляет 6500 чел. час.

 

Показатели	Трельяжи	Трюмо	Тумбочки	Складские запасы, м3
Норма расхода материала, м3
ДСП	0,032	0,031	0,038
Доски: сосновые	0,02	0,02	0,008
березовые	0,005	0,005	0,006
Трудоемкость, чел. ч	10,2	7,5	5,8
Плановая себестоимость, руб.	88,81	63,98	29,6
Оптовая цена, руб.
Плановый ассортимент, шт.

 

Исходя из необходимости выполнения плана по ассортименту и возможности его перевыполнения по отдельным (или по всем) показателям, построить модели, на основе которых можно сформулировать следующие экстремальные задачи:

1) задачу максимизации объема реализации (за плановый период);

2) задачу максимизации прибыли (за тот же период).

 

Задача 15. Предприятие выпускает обычный, специальный и декоративный сплавы латуни и реализует их соответственно по 30; 45 и 60 руб. за единицу веса. Его производственные мощности позволяют производить (за плановый период) не более 500 ед. веса обычного сплава, 700 ед. - специального и 250 ед. - декоративного. Обязательными составляющими сплавов являются медь, цинк, свинец и никель, цена которых соответственно 9; 7; 5 и 11 руб. за единицу веса.

По технологии декоративный сплав должен содержать не менее 7% никеля, 49% меди и не более 29% свинца; специальный - не менее 3% никеля, 71% меди, 9% цинка и не более 21% свинца. В обычный сплав составляющие входят без ограничений. Эти металлы поставляются в плановый период в количестве до 300 ед. веса каждый.

Считая, что себестоимость сплавов складывается только из стоимости его ингредиентов:

1) составить план выпуска сплавов, обеспечивающий максимальную прибыль;

2) определить, какова будет прибыль, если поставить целью максимальное использование общего запаса металлов.

Задача 16. Рацион стада крупного рогатого скота из 220 голов включает пищевые продукты A, B, C, D и E. В сутки одно животное должно съедать не менее 2 кг продукта А, 1,5 кг продукта В, 0,9 кг продукта С, 3 кг продукта D и 1,8 кг продукта Е. Однако в чистом виде указанные продукты не производятся. Они содержатся в концентратах К₁, К₂, К₃. Их цена и содержание в них продуктов (в процентах) приведены в таблице.

 

 

Концентраты	Продукты, %	Цена, руб.
A	B	C	D	E
K1
K2
K3

 

Минимизировать затраты на покупку концентратов при рациональном кормлении скота.

 

Задача 17. Нефтеперерабатывающий завод получает за плановый период четыре полуфабриката – 600 тыс. л алкилата, 316 тыс. л крекинг-бензина, 460 тыс. л бензина прямой перегонки и 200 тыс. л изопентана. В результате смешивания этих ингредиентов в пропорциях 2:3:1:5, 2:4:3:4:, 5:1:6:2 и 7:1:3:2 получают бензин четырех сортов Б-1, Б-2, Б-3, Б-4. Цена его реализации соответственно 8 руб.; 8 руб.10 коп.; 8 руб.60 коп.; 8 руб.30 коп. за литр.

1. Какое количество бензина всех сортов нужно производить для получения максимальной прибыли?

2. Как изменится решение задачи, если ввести ограничение снизу на ассортимент выпускаемой продукции (требуемый минимум задать самостоятельно по каждому сорту бензина).

 

Задача 18.Для поддержания нормальной жизнедеятельности человеку ежедневно необходимо потреблять не менее 118 г белков, 56 г жиров, 500 г углеводов, 8 г минеральных солей. Количество питательных веществ, содержащихся в 1 кг каждого вида потребляемых продуктов, а также цена 1 кг каждого из этих продуктов приведены в таблицах.

 

Питательные вещества	Содержание питательных веществ в 1 кг продуктов, г
Мясо	Рыба	Молоко	Масло	Сыр	Крупа	Картофель
Белки Жиры Углеводы Минеральные соли	-	-

 

 

Цена за 1 кг продуктов, руб.
Мясо	Рыба	Молоко	Масло	Сыр	Крупа	Картофель
31,8		4,28	58,3	67,5	8,1	2,5

 

Составить дневной рацион, содержащий не менее минимальной суточной нормы питательных веществ, необходимых человеку так, чтобы общая стоимость продуктов была минимальной.

 

Задача 19.Четверо работников могут выполнять шесть видов работ. Стоимости c_ij выполнения i – м работником j – й работы приведены в таблице. Для выполнения работ 3 и 6 требуется по два работника, для выполнения остальных работ – по одному.

Рабочие	Стоимость отдельных видов работ, у.е.
1. Иванов 2. Петров 3. Сидоров 4. Кузнецов

 

 

Необходимо составить план работ так, чтобы все работы были выполнены, каждый работник был задействован не менее, чем в двух работах, а суммарная стоимость выполнения всех работ была минимальной.

Указание. Использовать переменные назначения

Эти переменные образуют матрицу назначений T ={t_ij}, которая показывает распределение рабочих по работам.

Задача 20. Небольшая фабрика выпускает два типа красок: для внутренних (В) и наружных (Н) работ. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта А и Б. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн соответственно. Расходы продуктов А и Б на 1 т соответствующих красок приведены в таблице.

 

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на тонну краски, т	Максимально возможный запас, т
В	Н
А Б

 

Маркетинговые исследования установили, что суточный спрос на краску В никогда не превышает спроса на краску Н более, чем на 1 т. Кроме того, спрос на краску В никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 20000 руб. для краски В и 30000 руб. для краски Н.

Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Задача 21. Предприятие электронной промышленности выпускает две модели радиоприемников, причем каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем производства первой линии – 60 изделий, второй линии – 75 изделий. На радиоприемник первой модели расходуется 10 однотипных элементов электронных схем, на радиоприемник второй модели – 8 таких же элементов. Максимальный суточный запас используемых элементов равен 800 единицам. Прибыль от реализации одного радиоприемника первой и второй моделей равна 30 и 20 долл., соответственно.

Определить оптимальный суточный объем производства первой и второй моделей.

 

Задача 22. Фирма имеет возможность рекламировать свою продукцию, используя местное радио и телевидение. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены суммой $1000 в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в $5, а каждая минута телерекламы – в $100. Фирма хотела бы использовать радиосеть, по крайней мере, в два раза чаще, чем телевидение. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше объема сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы.

Определить оптимальное распределение ежемесячно отпускаемых средств между радио- и телерекламой.

 

Задача 23. Фирма имеет 4 фабрики и 5 центров распределения ее товаров. Фабрики фирмы расположены в Томске, Новосибирске, Ачинске и Саяногорске с производственными возможностями соответственно 200, 150, 225 и 175 единиц продукции ежедневно. Центры распределения товаров фирмы располагаются в Томске, Красноярске, Абакане, Барнауле и Стрежевом с потребностями соответственно в 100, 200, 50, 250 и 150 единиц продукции ежедневно. Хранение на фабрике единицы продукции, не поставленной в центр распределения, обходится в $0,75 в день, а штраф за просроченную поставку единицы продукции, заказанной потребителем в центр распределения, но там не находящейся, равен $2,5 в день.

Стоимость перевозки единицы продукции с фабрик в пункты распределения приведена в таблице.

 

Центры производства	Транспортные расходы, $
Томск	Красноярск	Абакан	Барнаул	Стрежевой
Томск Новосибирск Ачинск Саяногорск	0,5 0,9 1,2 2,5	1,5 1,7 1,1 1,2	2,5 1,5 0,7	1,1 2,3 2,7	1,5 1,5 2,0 2,8

 

Необходимо спланировать перевозки, обеспечив минимум транспортных расходов: а) при сбалансированной модели; б) при несбалансированной модели (перепроизводство или дефицит).

 

Задача 24. Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20000 цыплят, которые выращиваются до восьминедельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу. Будем считать, что в среднем недельный рацион одного цыпленка составляет 500 граммов.

Для того чтобы цыплята достигли к восьмой неделе необходимого веса, кормовой рацион должен удовлетворять определенным требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов или ингредиентов. Ограничимся рассмотрением только трех ингредиентов: известняка, зерна и соевых бобов. В таблице приведены данные, характеризующие содержание питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента.

 

Ингредиент	Содержание питательных веществ, %	Стоимость, $/кг
Кальций	Белок	Клетчатка
Известняк Зерно Соевые бобы	0,1 0,2	-	-	0,08 0,30 0,80

 

Смесь должна содержать не менее 0,8% и не более 1,2% кальция, не менее 22% белка и не более 5% клетчатки.

Необходимо определить количество каждого из трех ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости, при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и ее питательности.

 

Задача 25. Изделия четырех типов проходят последовательную обработку на двух станках. Время обработки одного изделия каждого типа на каждом из станков приведено в таблице.

 

Станок	Время обработки одного изделия, ч
Тип 1	Тип 2	Тип 3	Тип 4

 

Затраты на производство одного изделия каждого типа определяются как величины, прямо пропорциональные времени использования станков (в машино-часах). Стоимость машино-часа составляет $10 и $15 для станков 1 и 2 соответственно. Допустимое время использования станков для обработки изделий всех типов ограничено следующими значениями: 500 машино-часов для станка 1 и 380 машино-часов для станка 2. Цены изделий типов 1, 2, 3 и 4 равны $$80, 70, 75 и 55 соответственно.

Составить план производства, максимизирующий чистую прибыль:

а) без ограничений на количество изделий разного типа;

б) с условием, что изделий каждого типа необходимо произвести не менее 10 штук.

 

Задача 26. Фирма производит два вида продукции – А и В. Объем сбыта продукции А составляет не менее 60% общего объема реализации продукции обоих видов. Для изготовления продукции А и В используется одно и то же сырье, суточный запас которого ограничен величиной 100 кг. Расход сырья на единицу продукции А составляет 2 кг, а на единицу продукции В – 4 кг. Цены продукции А и В равны 20 и 40 долл. соответственно.

Определить оптимальное распределение сырья для изготовления продукции А и В.

 

Задача 27. Завод получает 4 вида полуфабрикатов В_i (i=1…4) в количествах: В₁ – 400 т, В₂ – 250 т, В₃ – 350 т и В₄ – 100 т. В результате смешения этих компонентов получают 3 вида продукции А_j (j=1…3). Пропорции смешиваемых полуфабрикатов следующие: для А₁ – 2:3:5:2, для А₂ – 3:1:2:1, для А₃ – 2:2:1:3. Стоимость 1 т продукции А_j составляет: А₁ – 1200 руб., А₂ – 1000 руб., А₃ – 1500 руб.

Составить оптимальный план выпуска продукции по критерию:

– максимальной стоимости выпущенной продукции;

– максимального использования полуфабрикатов.

 

Задача 28.Потребность области в однородном продукте (на перспективу) составляет 150 тыс. т. В области функционирует одно предприятие мощностью 30 тыс. т. Удовлетворение перспективной потребности может быть осуществлено как за счет расширения мощности действующего предприятия, так и за счет строительства новых. Затраты на годовой выпуск продукции (в млн руб.) для всех вариантов строительства в трех возможных пунктах, а также при расширении мощности действующего предприятия приведены в таблице.

 

 

Номер пункта	Мощность, тыс. т
4 (действующее предприятие)

 

Минимизировать производственные затраты с учетом удовлетворения потребностей области на перспективу.

Указание. Использовать переменные назначения t_ij (i=1…4; j=10,20,30,40,50):

Задача 29. В цехе размещены 100 станков 1-ого типа и 200 станков 2-ого типа, на каждом из которых можно производить детали А₁ и А₂. Производительность станков в сутки, стоимость одной детали каждого вида и минимальный суточный план представлены в таблице.

 

Детали	Производительность станков, дет./сут.	Стоимость одной детали, руб.	Минимальный суточный план, шт.
Тип 1	Тип 2
А1 А2

 

1. Найти количества станков каждого типа, которые необходимо выделить для производства деталей А_j (j=1,2), с таким расчетом, чтобы стоимость продукции, производимой в сутки, была максимальной.

2. Найти количества станков каждого типа, которые необходимо выделить для производства деталей А_j (j=1,2), чтобы обеспечить выполнение минимального суточного плана.

Задача 30. На заготовительный участок поступили стальные прутья длиной 111 см. Необходимо разрезать их на заготовки по 19, 23 и 30 см.

1. Построить и решить экстремальную задачу выбора вариантов выполнения работы, при котором число разрезаемых прутьев минимально, если этих заготовок требуется соответственно 311, 215 и 190 шт.

2. Учитывая, что число заготовок должно соответствовать требованию по комплектности, задаваемому соотношением 1:4:2, построить и решить экстремальную задачу максимизации комплектов заготовок.

Указание. Стандартная методика решения задач раскройного типа заключается в составлении возможных вариантов раскроя (для этого оформляется отдельная таблица) и постановке экстремальной задачи выбора их наилучшей комбинации по заданным критериям.