В теории фильтров принято иметь дело не с обычной угловой частотой w, а с нормированной относительно граничной частоты полосы пропускания частотой : .
Частотная характеристика фильтра Баттерворта (квадрат амплитудно-частотной характеристики нормированного фильтра).
,
где n - порядок фильтра, а величина ,
где - допустимая неравномерность (рабочее ослабление) в полосе пропускания в дБ.
Порядок фильтра определяется выражением
,
где - рабочее ослабление в полосе задерживания (непропускания).
Передаточная функция.
где ;
Амплитудно-частотная характеристика:
где
Рабочее затухание:
Фазо-частотная характеристика ФНЧ:
Групповое время запаздывания:
Сформулируем основные свойства нормированного фильтра Баттерворта нижних частот.
При любом n справедливы такие соотношения:
, и
Отсюда вытекает, что частота среза по уровню 3 дБ равна 1рад. в сек.
Функция модуля передачи фильтров Баттерворта монотонно убывает при . Следовательно, имеет максимальное значение при .
Фильтры Баттерворта характеризуются тем, что имеют максимально плоскую амплитудно-частотную характеристику в начале координат в р-плоскости.
Крутизна АЧХ фильтра Баттерворта n-го порядка на высоких частотах составляет 20 * n дБ/ декаду.