Лекция 4. Арифметические основы компьютеров

Лекция 4. Арифметические основы компьютеров

Что такое система счисления?

В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позициив записи числа. Так, в… В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от… Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в… Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета… Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110,…

Какие системы счисления используют специалисты для общения с компьютером?

Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел: 10-я 2-я 8-я 16-я …   10-я 2-я 8-я 16-я …  

Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?

А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ… Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться… Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют… Например:

Как перевести целое число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления?

Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16.

Как пеpевести пpавильную десятичную дpобь в любую другую позиционную систему счисления?

  Для чисел, имеющих как целую, так и дробную части, перевод…

Как пеpевести число из двоичной (восьмеpичной, шестнадцатеpичной) системы в десятичную?

Сводная таблица переводов целых чисел из одной системы счисления в другую

Рассмотрим только те системы счисления, которые применяются в компьютерах — десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. Для определенности возьмем произвольное десятичное число, например 46, и для него выполним все возможные последовательные переводы из одной системы счисления в другую. Порядок переводов определим в соответствии с рисунком:

На этом рисунке использованы следующие обозначения:

• в кружках записаны основания систем счисления;
• стрелки указывают направление перевода;
• номер рядом со стрелкой означает порядковый номер соответствующего примера в сводной таблице 4.1.

Например: означает перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную, имеющий в таблице порядковый номер 6.

Сводная таблица переводов целых чисел
Таблица 4.1.

Как производятся арифметические операции в позиционных системах счисления?

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

С л о ж е н и е

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

Сложение в двоичной системе

Сложение в восьмеричной системе

Сложение в шестнадцатиричной системе

Шестнадцатеричная: F16+616 Ответ: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516. Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному… Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

В ы ч и т а н и е

У м н о ж е н и е

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям. Пример 7. Перемножим… Ответ: 5. 6 = 3010 = 111102 = 368. Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду: 111102 = 24 +…

Д е л е н и е

Ответ: 30 : 6 = 510 = 1012 = 58. Пример 10. Разделим число 5865 на число…

Как представляются в компьютере целые числа?

Целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без знака.

Целые числа без знака

Обычно занимают в памяти компьютера один или два байта. В однобайтовом формате принимают значения от 00000000₂ до 11111111₂. В двубайтовом формате - от 00000000 00000000₂ до 11111111 11111111₂.

Диапазоны значений целых чисел без знака

Примеры: а) число 7210 = 10010002 в однобайтовом формате:

Целые числа со знаком

Обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа.

Диапазоны значений целых чисел со знаком

Рассмотрим особенности записи целых чисел со знаком на примере однобайтового формата, при котором для знака отводится один разряд, а для цифр… Последние две формы применяются особенно широко, так как позволяют упростить… Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково - двоичными кодами с цифрой 0 в…

Как компьютер выполняет арифметические действия над целыми числами?

Сложение и вычитание

Сложение обратных кодов. Здесь при сложении чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая: 1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая… 2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например: Получен правильный результат…

Умножение и деление

Другой регистр АЛУ, участвующий в выполнении этой операции, вначале содержит множитель. Затем по мере выполнения сложений содержащееся в нем число… Для иллюстрации умножим 1100112 на 1011012.

Как представляются в компьютере вещественные числа?

Система вещественных чисел в математических вычислениях предполагается непрерывной и бесконечной, т.е. не имеющей ограничений на диапазон и точность представления чисел. Однако в компьютерах числа хранятся в регистрах и ячейках памяти с ограниченным количеством разрядов. В следствие этого система вещественных чисел, представимых в машине, является дискретной (прерывной) и конечной.

При написании вещественных чисел в программах вместо привычной запятой принято ставить точку. Для отображения вещественных чисел, которые могут быть как очень маленькими, так и очень большими, используется форма записи чисел с порядком основания системы счисления. Например, десятичное число 1.25 в этой форме можно представить так:

1.25 ^. 10⁰ = 0.125 ^. 10¹ = 0.0125 ^. 10² = ...

или так:

12.5 ^. 10^-1 = 125.0 ^. 10^-2 = 1250.0 ^. 10^-3 = ... .

Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде N = M . qp, где M — множитель, содержащий все цифры числа (мантисса), а p — целое число, называемое порядком. Такой способ записи чисел называется представлением числа с плавающей точкой.

Если "плавающая" точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в машине. Из этого следует:

Мантисса должна быть правильной дробью, у которой первая цифра после точки (запятой в обычной записи) отлична от нуля: 0.12 <= |M| < 1. Если это требование выполнено, то число называется нормализованным

Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание — в десятичной системе. Примеры нормализованного представления:

Десятичная система Двоичная система
753.15 = 0.75315 ^. 10³; —101.01 = —0.10101 ^. 2¹¹ (порядок 11₂ = 3₁₀)
— 0.000034 = — 0.34 ^. 10^-4; 0.000011 = 0.11 ^. 2^-100 (порядок —100₂ = —4₁₀).

Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному, тем не менее, все компьютеры поддерживают несколько международных стандартных форматов, различающихся по точности, но имеющих одинаковую структуру следующего вида:

Здесь порядок n-разрядного нормализованного числа задается в так называемой смещенной форме: если для задания порядка выделено k разрядов, то к истинному значению порядка, представленного в дополнительном коде, прибавляют смещение, равное (2^k-1 — 1). Например, порядок, принимающий значения в диапазоне от —128 до +127, представляется смещенным порядком, значения которого меняются от 0 до 255.

Использование смещенной формы позволяет производить операции над порядками, как над беззнаковыми числами, что упрощает операции сравнения, сложения и вычитания порядков, а также упрощает операцию сравнения самих нормализованных чисел.

Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа. Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате.

Стандартные форматы представления вещественных чисел: 1) одинарный — 32-разрядное нормализованное число со знаком, 8-разрядным смещенным порядком и 24-разрядной мантиссой (старший бит мантиссы, всегда равный 1, не хранится в памяти, и размер поля, выделенного для хранения мантиссы, составляет только 23 разряда). 2) двойной — 64-разрядное нормализованное число со знаком, 11-разрядным смещенным порядком и 53-разрядной мантиссой (старший бит мантиссы не хранится, размер поля, выделенного для хранения мантиссы, составляет 52 разряда). 3) расширенный — 80-разрядное число со знаком, 15-разрядным смещенным порядком и 64-разрядной мантиссой. Позволяет хранить ненормализованные числа.

Следует отметить, что вещественный формат с m-разрядной мантиссой позволяет абсолютно точно представлять m-разрядные целые числа, т. е. любое двоичное целое число, содержащее не более m разрядов, может быть без искажений преобразовано в вещественный формат.

Как компьютер выполняет арифметические действия над нормализованными числами?

К началу выполнения арифметического действия операнды операции помещаются в соответствующие регистры АЛУ.

Сложение и вычитание

В результате выравнивания порядков одноименные разряды чисел оказываются расположенными в соответствующих разрядах обоих регистров, после чего… Пример 1. Сложить двоичные нормализованные числа 0.10111 . 2-1 и 0.11011 .…

Умножение

При умножении двух нормализованных чисел их порядки складываются, а мантиссы перемножаются.

Пример 3. Выполнить умножение двоичных нормализованных чисел:

(0.11101 ^. 2¹⁰¹) ^. (0.1001 ^. 2¹¹) = (0.11101 ^. 0.1001) ^. 2^(101+11) = 0.100000101 ^. 2¹⁰⁰⁰.

Деление

0.1111 . 2100 : 0.101 . 211 = (0.1111 : 0.101) . 2(100-11) = 1.1 . 21 = 0.11 . 210. Использование представления чисел с плавающей точкой существенно усложняет…

Упражнения

4.2. Какие целые числа следуют за числами: а) 12; е) 18; п) F16; б) 1012; ж) 78; м) 1F16; … [ Ответ ] 4.3. Какие целые числа предшествуют числам: а) 102; е) 108; л) 1016; б) 10102; …

Ответы — Раздел 4. Арифметические основы компьютеров

4.1. в) троичная: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100, 101, 102, 110, 111, 112, 120, 121, 122, 200, 201; г) пятеричная: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34.

4.2. а) 10₂; б) 110₂; в) 1000₂; г) 10000₂; д) 101100₂; е) 2₈; ж) 10₈; з) 40₈; и) 200₈; к) 10000₈; л) 10₁₆; м) 20₁₆; н) 100₁₆; о) 9AFA₁₆; п) CDF0₁₆.

4.3. а) 1₂; б) 1001₂; в) 111₂; г) 1111₂; д) 10011₂; е) 7₈; ж) 17₈; з) 77₈; и) 107₈; к) 777₈; л) F₁₆; м) 1F₁₆; н) FF₁₆; о) A0F₁₆; п) FFF₁₆.

4.4. Четное двоичное число оканчивается цифрой 0, нечетное двоичное — цифрой 1, четное троичное — цифрами 0, 1 или 2.

4.5. а) 7; б) 511; в) 4091.

4.7. а) ни в какой; б) в шестеричной.

4.8. Основание 5.

4.9. а) 91; б) 183; в) 225; г) ³⁵/₆₄; д) 52,75; е) 335; ж) 520; з) 668; и) ⁷/₁₆; к) 83³³/₆₄; л) 31; м) 2748; н) 4112; о) ⁴¹/₆₄; п) 478²⁵/₃₂.

4.10. а) 1111101₂; 175₈; 7D₁₆; б) 11100101₂; 345₈; E5₁₆; в) 1011000₂; 130₈; 58₁₆; г) 100101,01₂; 45,2₈; 25,4₁₆; д) 11001110,001₂; 316,1₈; CE,2₁₆.

4.11. а) 11767,34₈; 13F7,7₁₆; б) 1653,564₈; 3AB,BA₁₆; в) 271,547₈; B9,B38₁₆; г) 13634,6₈; 179C,C₁₆; д) 27,7674₈; 17,FBC₁₆; е) 1425,62₈; 315,C8₁₆.

4.12. а) 1011001110₂; 1316₈; б) 1001111101000000₂; 117500₈; в) 10101011110011011110₂; 2536336₈; г) 1000000010000,000100000001₂; 10020,0401₈; д) 1101010111100,10011101₂; 15274,472₈.

4.13. а) 101101₂, 101110₂, 101111₂, 110000₂; б) 202₃, 210₃, 211₃, 212₃, 220₃, 221₃, 222₃, 1000₃; в) 14₈, 15₈, 16₈, 17₈, 20₈; г) 28₁₆, 29₁₆, 2A₁₆, 2B₁₆, 2C₁₆, 2D₁₆, 2E₁₆, 2F₁₆, 30₁₆;

4.14. а) 47₁₀ - 101111₂ - 57₈ - 47₁₀ - 57₈ - 101111₂ - 2F₁₆ - 47₁₀ - 2F₁₆ - 101111₂ - 47₁₀; б) 79₁₀ - 1001111₂ - 117₈ - 79₁₀ - 117₈ - 1001111₂ - 4F₁₆ - 79₁₀ - 4F₁₆ - 1001111₂ - 79₁₀.

4.15.

	+
+

4.16.

	x
x

4.17. а) 11010100₂; б) 10001,0₂; в) 10101,1₂; г) 11001,1₂; д) 134₈; е) 224₈; ж) 24,3₈; з) 34₈; и) 19₁₆; к) 25₁₆; л) 19,A₁₆; м) 26₁₆.

4.18. а) в 16-й; б) в 10-й; в) в 3-й; г) в 8-й; д) в 16-й.

4.19. в) А=9, B=4, C=5, D=3, F=1, L=0, M=7, N=8; г) A=3, B=6, C=2, D=5, E=9, F=7, G=1, H=0, I=4, J=8; д) A=9, B=3, C=4, D=2, E=1, F=8, G=0, H=7, I=6.

4.20. а) 1101₂; б) 1,11₂; в) 1010,1₂; г) -10,01₂; д) 3₈; е) 33₈; ж) 22,1₈; з) 11,25₈; и) 17₁₆; к) 1A92₁₆; л) -1,7E₁₆; м) 4BBC₁₆.

4.21. а) 11100001₂; б) 11000110,01₂; в) 1000000,101₂; г) 1001011,101₂; д) 174₈; е) 142₈; ж) 15.26₈; з) 55.2222₈.

4.22. 1111₂.

4.23. 1100111₂; 103₁₀; 147₈.

4.24. а) 1493₁₀; б) 542₁₀; в) 1420₁₀; г) 11₁₀.

4.25. а) 110010₂, 38₁₆, 74₈, 70₁₀; б) 142₈, 100₁₀, 1101001₂, 6E₁₆; в) 101111111₂, 500₁₀, 777₈, 2FF₁₆; г) 1100000₂, 60₁₆, 141₈, 100₁₀.

4.26. а) 00000011, 00000010, 00000001, 00000000, 10000001, 10000010, 10000011; б) 00000011, 00000010, 00000001, 00000000, 11111110, 11111101, 11111100; в) 00000011, 00000010, 00000001, 00000000, 11111111, 11111110, 11111101.

4.27. а) 00001111; б) 10111111; в) 01000001; г) невозможно.

4.28. Обратный: а) 11110110, б) 11110000, в) 10000000, г) невозможнo. Дополнительный: а) 11110111; б) 11110001; в) 10000001; г) 10000000.

4.29. а) -8; б) -101; в) -23; г) -128.

4.30. а) -23; б) -96; в) -84; г) -127.

4.31. Обратный: а) 00000111; б) 11111000; в) 11110011; г) 11100001; д) 00011001; е) 01111110; ж) переполнение; з) 10000000; и) невозможно. Дополнительный: а) 00000111; б) 11111001; в) 11110100; г) 11100010; д) 00011001; е) 01111110; ж) переполнение; з) 10000001; и) 10000000.