ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ В ЭВМ

Системысчисления и формыпредставления чисел

Информация в ЭВМ кодируется, как правило, в двоичной или в двоично-десятичной системе счисления.

Система счисления— это способ наименования и изображения чисел с
помощью символов, имеющих определенные количественные значения,

В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе. В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе.
Количество (Р) различных цифр, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления. Значения цифр лежат в пределах от 0 до P-I. В общем случае запись любого смешанного числа в системе счисления с основанием Р будет представлять собой ряд вида:

где нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):

• положительные значения индексов — для целой части числа (т разрядов);

• отрицательные значения — для дробной ($ разрядов).

Пример 4.1.Позиционная система счисления — арабская десятичная система, в которой: основание Р=10, для изображения чисел используются 10 цифр (от 0 до 9). Непозиционная система счисления — римская, в которой для каждого числа используется специфическое сочетание символов (XIV, CXXVII и т.п.).

Минимальное значащее (не равное 0) число, которое можно записать в s разрядах дробной части:

Имея в целой части числа т, а в дробной s разрядов, можно записать всего Р ^т+ ^s раз- ных чисел.

Максимальное целое число, которое может быть представлено в т разрядах:

Двоичная система счисления имеет основание Р = 2и использует для представления информации всего две цифры: 0 и 1. Существуют правила перевода чисел из одной системы счисления в другую, основанные в том числе и на соотношении (1).

Пример4.2.

т.е. двоичное число 101110,101 равно десятичному числу 46,625.

В вычислительных машинах применяются две формы представления двоичных чисел:

• естественная форма или форма с фиксированной запятой (точкой);

• нормальная форма или форма с плавающей запятой (точкой).

С фиксированной запятой все числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной.

Пример 43.В десятичной системе счисления имеются 5 разрядов в целой части
числа (до запятой) и 5 разрядов а дробной части числа (после запятой); числа, записанные в такую разрядную сетку, имеют вид:

+00721,35500; +00000,00328; -10301,20260.

Эта форма наиболее проста, естественна, но имеет небольшой диапазон представления
чисел и поэтому не всегда приемлема при вычислениях.

Пример 4.4.Диапазон значащих чисел (N) в системе счисления с основанием Р при
наличии т разрядов в целой части и s разрядов в дробной части числа (без учета знака
числа) будет:

Если в результате операции получится число, выходящее за допустимый диапазон,
происходит переполнение разрядной сетки, и дальнейшие вычисления теряют смысл. В со-
временных ЭВМ естественная форма представления используется как вспомогательная и
только для целых чисел.

С плавающей запятой каждое число изображается в виде двух групп цифр.
Первая группа цифр называется мантиссой, вторая— порядком, причем абсолют-
ная величина мантиссы должна быть меньше 1, а порядок — целым числом. В общем виде
число в форме с плавающей запятой может быть представлено так:

где М—мантисса числа (М < 1);

г —порядок числа ( г — целое число);
Р — основание системы счисления.

Пример 4.5, Приведенные в примере 4,3 числа в нормальной форме запишутся так:
+0,721355*10³ ;+0,328*10'³ ; -ОД03012026*10⁵.

Нормальная форма представления имеет огромный диапазон отображения чисел и является основной в современных ЭВМ.

При Р-2, m = 10 и,? = 6 диапазон чисел простирается примерно от 10~ до 10 .

Пример4.6, Диапазон значащих чисел в системе счисления с основанием Р при наличии т разрядов у мантиссы и s разрядов у порядка (без учета знаковых разрядов по-
рядка и мантиссы) будет:

Знак числа обычно кодируется двоичной цифрой, при этом код 0 означает знак "+",
код 1 — знак "-".

Примечание. Для алгебраического представления чисел (т.е. для представления положительных и отрицательных чисел) в машинах используются специальные коды: прямой, обратный и дополнительный. Причем два последних позволяют заменить неудобную для ЭВМ операцию вычитания на операцию сложения с отрицательным числом; дополнительный код обеспечивает более быстрое выполнение операций, поэтому в ЭВМ применяется чаше именно он.

Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в
современных ЭВМ ввиду легкости перевода в десятичную систему и обратно. Она используется там, где основное внимание уделяется не простоте технического построения машины, а удобству работы пользователя. В этой системе счисления все десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами (табл. 4.1) и в таком виде записываются последовательно друг за другом.

Таблица 4.1. Таблица двоичных кодов десятичных и шестнадцатеричных цифр

Цифра

Код

ООП

ОНО

Пример4.7. Десятичное число 9703 в двоично-десятичной системе выглядит так:
1001011100000011.

При программировании иногда используется шестнадцатеричная система
счисления, перевод чисел из которой в двоичную систему счисления весьма прост — выполняется поразрядно (полностью аналогично переводу из двоично-десятичной системы).

Для изображения цифр, больших 9, в шестнадцатеричной системе счисления применяются буквы А - 10, В = 11, С = 12, D = 13, Е = 14, F = 15.

Пример 4.8.Шестнадцатеричное число F17B в двоичной системе выглядит так:
1111000101111011.