Формальные правила двоичной арифметики

В арифметике любого вида участвуют всегда два или более чисел. Как результат выполнения арифметических операций появляется новое число. Формально это можно представить: ,

где Ñ - знак любого арифметического действия .

Результат выполнения операции Ñ цифр а_i и b_i в i-м разряде представляется двумя цифрами, цифрой C_i - результата соответствующей операции в данном разряде и цифрой П_i – переноса в старший разряд или займа в старшем разряде (при вычитании).

Результат C_i и перенос П_i формируются по следующим правилам:

Сложение:

Двоичный полусумматор - устройство, выполняющее арифметическое действие сложение без учета переносов с предыдущего разряда, т.е. на его вход подаются только числа разряда a_i и b_i

 

Правила сложения для полусумматора можно представить таблицей 6..1.

Таблица 6.1-Полусумматор

 

Однако, не учитывать переносов при суммировании многоразрядных чисел нельзя. Поэтому, при сложении пользуются устройством двоичный сумматор - устройство выполняющее арифметическое действие сложение с учетом переносов от предыдущего разряда и передачи переносов в последующий.

 

Его работа и структурная схема была нами рассмотрена в разделе 3. Таблица истинности цифрового автомата - двоичного сумматора представлена в таблице 6..2

 

Таблица 6.2- Сумматор

 

Здесь поразрядное сложение выполняется по формуле

a_i + b_i + П_i-1 = C_i + П_i

где а_i, b_i - разряды чисел А.,В.; C_i - сумма і-го разряда П_i-1 - перенос из предыдущего

разряда П_i - перенос в последующий разряд. При выполнении арифметической операции вычитания в двоичной системе счисления, так как и в десятичной, производится заем, равносильный вычитанию единицы из старшего разряда. Заимствование из старшего разряда эквивалентно добавлению к младшему разряду величины основания.

Кроме того, этот заем необходимо учитывать при вычитании цифр следующего старшего разряда (т.е. был ли заем в младшем разряде). Однако, такое вычитание, деление и умножение для автоматов является сложным т.к. при выполнении этих операций в вычислительных автоматах возникает проблема представления отрицательных чисел. Для машинного представления отрицательных чисел используют прямой код, обратный код и дополнительный.