Реферат Курсовая Конспект
Фундаментальная и компьютерная алгебра - раздел Компьютеры, Фундаментальная И Компьютерная Алгебра ...
|
Фундаментальная и компьютерная алгебра
Введение
Курс «Фундаментальная и компьютерная алгебра» предназначен для студентов специальностей Математика, Прикладная математика, Математика и компьютерные науки, АиС. Он рассчитан на 36 лекционных часов и на 36 часов практики. Курс предполагает знания по линейной алгебре и началам анализа. Он также предполагает элементарную компьютерную грамотность и, частности, знакомство с редактором WinWord и c Excel. Компьютерная часть курса базируется на среде Visual basic for applications (далее VBA), подсоединенной к упомянутым редакторам. Параллельно с развиваемой в курсе теорией развивается и компьютерная составляющая этой теории. Иными словами, каждый теоретический фрагмент доводиться до состояния программного воплощения. В этой компьютерной составляющей (это ряд приложений к курсу лекций) решаются задачи фундаментальной алгебры на основе VBA.
Список обозначений и терминов
Mat(n× n,R) – кольцо матриц над кольцом R
ℕ -- натуральные числа
ℤ -- кольцо целых чисел
ℚ -- поле рациональных чисел
ℝ -- поле действительных чисел
ℂ -- поле комплексных чисел
-- кольцо многочленов над полем K
n∣ m -- отношение делимости
НОД – наибольший общий делитель
НОК(a,b) – наименьшее общее кратное чисел a и b
Обратная матрица
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.n×n -матрица D называется обратной к n×n-матрице A , если AD=DA=E . Обратная матрица единственна и обозначается как .
ТЕОРЕМА.Обратная матрица к n×n -матрице A существует тогда и только тогда, когда матрица A невырождена (т.е. det A≠ 0). В этом случае
где -- алгебраическое дополнение к (i,j) -тому элементу матрицы. A . В частности, для 2× 2-матрицы
Компьютерная реализация матричной алгебры
Как отмечено выше, сами матрицы реализуются как двумерные массивы. Операции над матрицами в VBA реализуются так (см. файл Матричная алгебра.xlsm)
Алгебраические системы
Операции и отношения на множестве
Бинарной операцией на непустом множестве называется правило, в силу которого паре элементов сопоставляется третий элемент . Эта операция называется ассоциативной, если для любых . Операция * называется коммутативной, если для любых . Операция * называется идемпотентной, если для любого . Элемент называется нейтральным относительно операции *, если для любого . Если так как , чем доказана единственность нейтрального элемента.
В математике часто встречаются кроме бинарных операций унарные, тернарные и 0-арные операции на непустом множестве . Для натурального числа n обозначим через совокупность всех упорядоченных последовательностей , где компоненты пробегают множество . Полагаем также по определению .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. n-арной операцией на непустом множестве называется отображение . 1-арная операция называется унарной, 2-арная операция называется бинарной, 3-арная операция называется тернарной. 0-арная операция, по сути, есть выделение некоторого элемента в множестве .
Иногда рассматриваются частичные операции, это тот случай, когда областью определения n-арной операции служит не все множество , а лишь его собственное подмножество. Например, унарная операция – переход к обратному элементу в поле действительных чисел (как и в любом другом поле) будет частичной операцией, поскольку обратного элемента для 0 не существует. Можно подсоединить символ к полю ℝ и полагать , но тогда операция умножения становиться частичной, так как произведение становится неопределенным, если мы хотим сохранить аксиому ассоциативности.
Кроме операций на множестве могут определяться и отношения. Например, множество людей просто пронизано огромным числом отношений (А есть родитель Б; A есть начальник Б; А есть земляк Б и т.д. и.т.п.). Бинарное отношение ℛ на множестве есть правило, в силу которого по каждой паре элементов из мы можем узнать находится ли в отношении ℛ к или нет. Если g находится в отношении ℛ c g, то говорим, что верно, если нет, то говорим, что не верно (и иногда, обозначаем это, перечеркивая символ отношения ℛ ). C точки зрения компьютерной алгебры удобно считать, что бинарное отношение это отображение , при чем
Важнейшие характеристики отношения таковы:
· Отношение ℛ называется транзитивным, если из вытекает
· Отношение ℛ называется симметричным, если
· Отношение ℛ называется рефлексивным, если для любого
· Отношение ℛ называется антисимметричным, если из вытекает
· Отношение ℛ называется частичным порядком, если оно транзитивно, рефлексивно и антисимметрично. Если, кроме того, для любой пары либо , то ℛ есть отношение линейного порядка
· Отношение ℛ называется отношением эквивалентности, если оно транзитивно, рефлексивно и симметрично.
В принципе, бывают и n-арные отношения как отображения . Унарное отношение есть не что иное как проверка какого-либо определения на множестве . Например, отношение IsPrime на множестве натуральных чисел проверяет, будет ли простым данное натуральное число. Отношения других арностей нам не встретятся в дальнейшем.
– Конец работы –
Используемые теги: Фундаментальная, Компьютерная, Алгебра0.059
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Фундаментальная и компьютерная алгебра
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов