рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Фундаментальная и компьютерная алгебра

Фундаментальная и компьютерная алгебра - раздел Компьютеры, Фундаментальная И Компьютерная Алгебра ...

Фундаментальная и компьютерная алгебра

Н.И.Дубровин

Оглавление Введение. 4 Список обозначений и терминов. 5

Введение

 

Курс «Фундаментальная и компьютерная алгебра» предназначен для студентов специальностей Математика, Прикладная математика, Математика и компьютерные науки, АиС. Он рассчитан на 36 лекционных часов и на 36 часов практики. Курс предполагает знания по линейной алгебре и началам анализа. Он также предполагает элементарную компьютерную грамотность и, частности, знакомство с редактором WinWord и c Excel. Компьютерная часть курса базируется на среде Visual basic for applications (далее VBA), подсоединенной к упомянутым редакторам. Параллельно с развиваемой в курсе теорией развивается и компьютерная составляющая этой теории. Иными словами, каждый теоретический фрагмент доводиться до состояния программного воплощения. В этой компьютерной составляющей (это ряд приложений к курсу лекций) решаются задачи фундаментальной алгебры на основе VBA.


 

Список обозначений и терминов

Mat(n× n,R) – кольцо матриц над кольцом R
ℕ -- натуральные числа
ℤ -- кольцо целых чисел
ℚ -- поле рациональных чисел
ℝ -- поле действительных чисел
ℂ -- поле комплексных чисел
-- кольцо многочленов над полем K
n∣ m -- отношение делимости
НОД – наибольший общий делитель
НОК(a,b) – наименьшее общее кратное чисел a и b


 

Немного о БЕЙСИКе

В математике имеют дело с такими объектами как числа разной природы (натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные), многочлены… …

Наивная теория множеств.

Математический текст состоит из определений и утверждений. Некоторые утверждения в зависимости от важности и отношения к другим утверждениям… Два множества M и N равны (записываем ), если они состоят из одних и тех же… Заметим, что термин «элемент» с математической точки зрения эквивалентен термину «множество». Если мы хотим сказать,…

Декартовы произведения

  ( -- логический знак, заменяющий слова "тогда и только тогда,…  

Натуральные числа

Числа {1,2,3,… }, которые можно получить из единицы операцией сложения, называют натуральными и обозначают ℕ. Аксиоматическое описание… (N1) для любого натурального числа n результат n+1 не равен единице; (N2) для любых двух натуральных чисел из равенства n+1=m+1 вытекает равенство n=m;

Рекурсия

Метод математической индукции показывает, что тогда мы получаем отображение или последовательность объектов из множества M. Сама формула … Определим сложение посредством рекуррентной формулы m+(n+1):=(m+n)+1.…  

Порядок на множестве натуральных чисел

· Если n>m, то n+k>m+k для любого k. То же свойство справедливо для нестрогого неравенства. · Если , то для любого k∈ ℕ. Если , то для любого … Натуральные числа, а также множество среди других числовых систем обладают свойством полной упорядоченности: любое…

Делимость натуральных чисел

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173,179,181,191,… 211,223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293,307, 311,

Делимость целых чисел

Обозначим через -- кольцо целых чисел. Термин «кольцо» означает, что мы имеем дело с множеством R, на котором заданы две операции – сложение и… Кольцо ℤ -- евклидово, т.е. в нем имеется возможность деления с… Как практически решается задача о разложении натурального числа в произведение простых? Для начала надо научиться…

Алгоритм Евклида

Матричная трактовка алгоритма Евклида

  Подставляя в каждое последующее равенство вместо столбца в левой части левую…  

Элементы логики

1. Прямая пересекает ось Ох. 2. Число «пи» больше 3.14. 3. Отношение равно 1.

Высказывательные формы

Внимательного рассмотрения заслуживает фраза «допустимые значения». Это какие?… Высказывательную форму можно «замкнуть» двумя существенное разными способами – применяя кванторы существования и…

Матричная алгебра

Матричная алгебра над кольцом R (R – кольцо целых чисел, поле рациональных чисел, поле вещественных чисел) – наиболее широко используемая… Dim M(2,2) as Long (1) задает массив-матрицу из трех строк и трех столбцов, компоненты которой – целые числа:

Определители

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть -- n×n-матрица ( . Определителем матрицы A…  

Обратная матрица

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.n×n -матрица D называется обратной к n×n-матрице A , если AD=DA=E . Обратная матрица единственна и обозначается как .

ТЕОРЕМА.Обратная матрица к n×n -матрице A существует тогда и только тогда, когда матрица A невырождена (т.е. det A≠ 0). В этом случае

 

где -- алгебраическое дополнение к (i,j) -тому элементу матрицы. A . В частности, для 2× 2-матрицы

 

 

Компьютерная реализация матричной алгебры

Как отмечено выше, сами матрицы реализуются как двумерные массивы. Операции над матрицами в VBA реализуются так (см. файл Матричная алгебра.xlsm)

Линейные преобразования плоскости

  задает поворот на угол α . Отражение относительно оси Ох задается…  

Комплексные числа

В этом параграфе изучается лишь одно поле -- поле комплексных чисел ℂ . С геометрической точки зрения оно представляет из себя плоскость, а с… ОПРЕДЕЛЕНИЕ.Полем комплексных чисел называется наименьшее расширение поля…

Конструкция поля комплексных чисел.

  ТЕОРЕМА. Пространство строк длины два с определенным выше умножением есть поле… Доказательство. Сопоставим паре матрицу . Это отображение обозначим Φ и убедимся, что отображение Φ…

Сопряжение комплексных чисел

Комплексное число называется сопряженным к , а отображение называется сопряжением. С геометрической точки зрения операция сопряжение есть… Равенство имеет место тогда и только тогда, когда z – действительное число.…  

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

(1) Выражение называется тригонометрической формой записи комплексного числа. … Свойства модуля.Для любых комплексных чисел имеют место соотношения:

Комплексная экспонента

  Действительно, таким образом определенная функция обладает следующими…  

Решение квадратных уравнений.

Пусть – квадратный трехчлен над полем комплексных чисел ( ). Обозначим через какой-либо комплексный квадратный корень из дискриминанта .…   суть комплексные корни многочлена Действительно, уравнение равносильно уравнению , откуда и следует формула…

Основная теорема алгебры комплексных чисел

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ.Любой многочлен над полем ℂ, не равный константе, имеет хотя бы один комплексный корень. СЛЕДСТВИЕ. Любой многочлен, не равный константе, над полем комплексных чисел…

Алгебраические системы

 

Операции и отношения на множестве

Бинарной операцией на непустом множестве называется правило, в силу которого паре элементов сопоставляется третий элемент . Эта операция называется ассоциативной, если для любых . Операция * называется коммутативной, если для любых . Операция * называется идемпотентной, если для любого . Элемент называется нейтральным относительно операции *, если для любого . Если так как , чем доказана единственность нейтрального элемента.

В математике часто встречаются кроме бинарных операций унарные, тернарные и 0-арные операции на непустом множестве . Для натурального числа n обозначим через совокупность всех упорядоченных последовательностей , где компоненты пробегают множество . Полагаем также по определению .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. n-арной операцией на непустом множестве называется отображение . 1-арная операция называется унарной, 2-арная операция называется бинарной, 3-арная операция называется тернарной. 0-арная операция, по сути, есть выделение некоторого элемента в множестве .

Иногда рассматриваются частичные операции, это тот случай, когда областью определения n-арной операции служит не все множество , а лишь его собственное подмножество. Например, унарная операция – переход к обратному элементу в поле действительных чисел (как и в любом другом поле) будет частичной операцией, поскольку обратного элемента для 0 не существует. Можно подсоединить символ к полю ℝ и полагать , но тогда операция умножения становиться частичной, так как произведение становится неопределенным, если мы хотим сохранить аксиому ассоциативности.

Кроме операций на множестве могут определяться и отношения. Например, множество людей просто пронизано огромным числом отношений (А есть родитель Б; A есть начальник Б; А есть земляк Б и т.д. и.т.п.). Бинарное отношение ℛ на множестве есть правило, в силу которого по каждой паре элементов из мы можем узнать находится ли в отношении ℛ к или нет. Если g находится в отношении ℛ c g, то говорим, что верно, если нет, то говорим, что не верно (и иногда, обозначаем это, перечеркивая символ отношения ℛ ). C точки зрения компьютерной алгебры удобно считать, что бинарное отношение это отображение , при чем

 

Важнейшие характеристики отношения таковы:

· Отношение ℛ называется транзитивным, если из вытекает

· Отношение ℛ называется симметричным, если

· Отношение ℛ называется рефлексивным, если для любого

· Отношение ℛ называется антисимметричным, если из вытекает

· Отношение ℛ называется частичным порядком, если оно транзитивно, рефлексивно и антисимметрично. Если, кроме того, для любой пары либо , то ℛ есть отношение линейного порядка

· Отношение ℛ называется отношением эквивалентности, если оно транзитивно, рефлексивно и симметрично.

В принципе, бывают и n-арные отношения как отображения . Унарное отношение есть не что иное как проверка какого-либо определения на множестве . Например, отношение IsPrime на множестве натуральных чисел проверяет, будет ли простым данное натуральное число. Отношения других арностей нам не встретятся в дальнейшем.

ТЕОРЕМА об отношении эквивалентности

Наоборот, если есть разбиение, то отношение   есть отношение эквивалентности.

– Конец работы –

Используемые теги: Фундаментальная, Компьютерная, Алгебра0.059

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Фундаментальная и компьютерная алгебра

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Компьютерная графика. Достоинства компьютерной графики. ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКИ
Компьютерная графика это наука предметом изучения которой является создание хранение и обработка графической информации с помощью ЭВМ... Компьютерная графика в настоящее время сформировалась как наука об аппаратном... В компьютерной графике рассматриваются следующие задачи...

Компьютерная преступность и компьютерная безопасность
Долгое время в нашей стране существовала только одна собственность – государственная, поэтому информация и секреты были тоже только государственные,… Это даёт основание поставить проблему компьютерного права, одним из основных… Квалификация правонарушения зависит от того, является ли компьютер только объектом посягательства или он выступает в…

ТЕМА АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Что такое логика Формальная логика Математическая логика... LOGOS греч слово понятие рассуждение разум... Слово логика обозначает совокупность правил которым подчиняется процесс мышления...

Компьютерная преступность и компьютерная безопасность
Аскар Туганбаев журналист askar computerra.ru Я взялся за рассмотрение этой темы постольку, поскольку она является новой, малоизученной. Глава Преступления в сфере компьютерной информации впервые появилась в… Но в Российской Федерации по сравнению с западными странами данные преступления не нашли широкого применения в…

Компьютерная преступность и компьютерная безопасность
Изменения, происходящие в экономической жизни России - создание финансово-кредитной системы, предприятий различных форм собственности и т.п… Это дает основание поставить проблему компьютерного права, одним из основных… В этом смысле компьютер может выступать и как предмет посягательств, и как инструмент. Если разделять два последних…

Отчет по производственной практике в Вычислительном центре УГМТУ (Компьютерные сети. Классификация компьютерных сетей)
По принципам построения, компьютерные сети делят на локальные и отдаленные рис 1. Рис 1 Локальные сети создаются, как правило, в одной организации… В этом случае нет надобности в каком-либо дополнительном оборудовании. Должны быть только соединительные проводники.

Компьютерная преступность и компьютерная безопасность
Изменения, происходящие в экономической жизни России - создание финансово-кредитной системы, предприятий различных форм собственности и т.п… Проблемы информационной безопасности постоянно усугубляется процессами… Объектами посягательств могут быть сами технические средства компьютеры и периферия как материальные объекты,…

Компьютерная преступность и компьютерная безопасность
Изменения, происходящие в экономической жизни России - создание финансово-кредитной системы, предприятий различных форм собственности и т.п… Проблемы информационной безопасности постоянно усугубляется процессами… Объектами посягательств могут быть сами технические средства компьютеры и периферия как материальные объекты,…

Компьютерная преступность и компьютерная безопасность
Изменения, происходящие в экономической жизни России - создание финансово-кредитной системы, предприятий различных форм собственности и т.п… Проблемы информационной безопасности постоянно усугубляется процессами… Объектами посягательств могут быть сами технические средства компьютеры и периферия как материальные объекты,…

Компьютерные вирусы. Принципы действия, способы защиты от компьютерных вирусов
Однако в связи с этим особенно обострилась проблема защиты информации. Тема курсовой работы связанна изучением принципов деятельности компьютерных… Все чаще в средствах массовой информации появляются сообщения о различного… Совсем недавно заражение вирусом текстовых файлов считалось абсурдом - сейчас этим уже никого не удивишь. Несмотря на…

0.036
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам