Матричная алгебра

 

Матричная алгебра над кольцом R (R – кольцо целых чисел, поле рациональных чисел, поле вещественных чисел) – наиболее широко используемая алгебраическая система с множеством операций как внутренних, так и внешних (сложение, умножение на элементы кольца R и умножение матрицы на матрицу, транспонирование, определитель, след, характеристический многочлен, собственные числа и т.д.). В любом языке программирования имеется возможность определять матрицы как двумерные массивы чисел. В VBA строка

Dim M(2,2) as Long (1)

задает массив-матрицу из трех строк и трех столбцов, компоненты которой – целые числа:

 

Если мы хотим, что бы нумерация компонент начиналась с единицы, а не с нуля, то вместо (1) надо записать

Dim M(1 to 3, 1 to 3) as Long (2)

В математическом тексте матрицы записывают так: . Тем самым задана матрица, состоящая из m строк и n столбцов, (i,j)-ый компонент которой, стоящий на пересечении i-ой строки и j-ого столбца, есть .

Матрица, у которой число строк и столбцов совпадают, называется квадратной. Элементы называются главной диагональю матрицы . Единичная матрица есть квадратная матрица, у которой на главной диагонали единицы, а остальные все коэффициенты 0. Заметим, что две матрицы равны, если, во-первых, совпадают их размеры, а во-вторых, на одинаковых местах стоят равные друг другу числа. Матрицы

;

называются i - ой строкой и j - ым столбцом матрицы .

Если еще одна матрица того же размера m×n, то

 

Соотношение (3) определяет линейные операции над матрицами – сложение и умножение на элементы кольца R. Как видно из (3), сложение для матриц разных размеров не определено. Умножение матриц – более сложная операция. Что бы понять это определение лучше сначала обратиться к интерпретации матриц как линейных преобразований. Пусть

 

-- две 2× 2-матрицы. Они задают линейные преобразования пары переменных. Пусть первая матрица преобразует пару в пару , а вторая матрица преобразует пару в пару по следующему правилу

 

Подставим во второе соотношение вместо их линейные выражения через :

 

Эта процедура называется композицией преобразований. В результате мы получили линейное преобразование, задающееся матрицей

 

В произведении на месте (i,j) стоит скалярное произведение i-ой строки первой матрицы на j-ый столбец второй матрицы. Из интерпретации произведения матриц как последовательного выполнения преобразований немедленно вытекает ассоциативность произведения матриц (еще до формального определения произведения!), ибо композиция преобразований для любых множеств подчиняется ассоциативному закону (см. рис.)

m

n=f(m)

k=g(n)

j=h(k)

f

g

h

h∘ (g∘ f)〈m〉 =j=(h∘ g)∘ f〈m〉 ⇒ h∘ (g∘ f) =(h∘ g)∘ f

Формальное определение следующее. Произведение строки на столбец определяется как число – матрица 1х1, равная . Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что

 

Единичная матрица -- нейтральный элемент по отношению к произведению матриц, то есть для любой матрицы A.

Матрица называется нулевой, если все ее компоненты – нули. Она играет роль нейтрального элемента по отношению к сложению (A+0=0+A=A) и поглощающего элемента по отношению к умножению (0⋅ A=0).

Как уже сказано, произведение матриц ассоциативно, т.е. матричное равенство имеет место всякий раз, когда операции умножения определены. Кроме того, произведение дистрибутивно относительно сложения:

 

СЛЕДСТВИЕ. Совокупность n×n-матриц над кольцом R образует кольцо.

Обозначим это кольцо Mat(n×n,R). Заметим, что это кольцо не коммутативно при n>1, т.е. произведение матриц как правило зависит от порядка сомножителей. Мы уже имели дело с кольцом Mat (2× 2,ℤ ) в предыдущем параграфе.

Транспонирование матрицы -- операция над -матрицей A , превращающая ее в –матрицу , у которой -ый коэффициент равен -ому коэффициенту матрицы A . Свойства операции транспонирования следующие:

Т1. ;

Т2. ;

Т3. Инволютивность операции транспонирования: ;

Относительно транспонирования произведение матриц обладает следующим свойством

Т4. .

Матрица A называется верхнетреугольной, если ниже главной диагонали матрицы A стоят нули. Аналогично, A - нижнетреугольная матрица, если выше главной диагонали матрицы A стоят нули. Матрица A треугольная, если она либо верхнетреугольная, либо нижнетреугольная. Треугольная матрица с нулями на главной диагонали называется строго треугольной. Матрица называется диагональной, если вне главной диагонали стоят нули. Диагональную n×n-матрицу обозначаем так: diag( ). Заметим, что

Эти соотношения показывают, что множество диагональных матриц замкнуто относительно сложения и умножения, а также содержит нейтральный элемент умножения – единичную матрицу E. В этом случае в алгебре употребляется термин «подкольцо». Подкольцом будет также совокупность верхнетреугольных (нижнетреугольных) матриц.

Алгебра матриц содержит делители нуля, например:

 

а также содержит нильпотентные элементы (которые в какой-либо степени обращаются в нулевой элемент):

 

Над строками (столбцами) матрицы можно совершать элементарные преобразования

1 тип. Прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), предварительно умноженной на какой-либо элемент кольца R.

2 тип. Перестановка двух строк (столбцов).

3 тип. Умножение строки (столбца) на обратимый элемент кольца R.

Элемент u кольца R называется обратимым, если uv=vu=1 для некоторого . В кольце целых чисел обратимых элементов всего два -- ± 1. А в поле рациональных чисел (как и действительных чисел, как и в любом другом поле) все ненулевые элементы обратимы. Это и есть причина, по которой мы употребляем термин «поле». Итак, поле – это коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим (кроме того, считаем 1≠ 0, чтобы исключить случай нулевого поля).