Конструкция поля комплексных чисел. - раздел Компьютеры, Фундаментальная и компьютерная алгебра Мы Фактически Уже Построили Поле Комплексных Чисел В Предыдущем Параграфе. В ...
Мы фактически уже построили поле комплексных чисел в предыдущем параграфе. В силу исключительной важности поля комплексных чисел приведем его непосредственную конструкцию. Рассмотрим пространство строк длины два над полем ℝ с операциями покомпонентного сложения и умножения на действительные числа. Определим умножение двух строк и так:
ТЕОРЕМА. Пространство строк длины два с определенным выше умножением есть поле комплексных чисел (обозначим его ℂ ). В нем единичным элементом будет строка (1,0), а множество (1,0)ℝ ={(x,0)} образует подполе поля ℂ, изоморфное полю действительных чисел (тем самым отображение x→ (x,0) (x∈ ℝ ) есть вложение ℝ в ℂ ). Строка (называемая далее комплексной единицей) будет корнем уравнения .
Доказательство. Сопоставим паре матрицу . Это отображение обозначим Φ и убедимся, что отображение Φ есть изоморфизм алгебраической системы ℂ на поле C. Это означает, что Φ – биективное отображение и
для любых комплексных чисел . Это значит, нам нет нужды проверять аксиомы поля для ℂ -- они автоматически выполнены в силу изоморфизма Φ.
Отображение x→ (x,0) есть гомоморфное вложение поля действительных чисел в ℂ и более того, имеет место равенство
для любых x,x',y'∈ ℝ . Теперь мы имеем возможность отождествить x и (x,0). Далее, равенство
показывает, что есть корень уравнения . Формула для обратного комплексного числа
В силу изоморфизма Φ и вычислений обратной матрицы к матрице получаем
iy
x
Рис. 1. Комплексная плоскость.
Любой элемент поля комплексных чисел единственным образом записывается в виде z=x+iy, где x,y -- действительные числа. Число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается Re z, а y называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается Im z. Комплексное число z полностью определяется своей действительной и мнимой частью, т.е.
Комплексные числа вида называем чисто мнимыми. Комплексные числа изображаются точками на плоскости или векторами с начальной точкой в начале координат (см. рис. 1). Горизонтальная ось называется действительной осью, а вертикальная ось Oy называется мнимой осью и обозначается как ибо по ней откладываются чисто мнимые числа и.т.д.. При этом сложение двух комплексных чисел можно рассматривать как сложение двух векторов по правилу параллелограмма. Геометрическая интерпретация умножения будет указана позже.
Введение... Курс Фундаментальная и компьютерная алгебра предназначен для студентов специальностей Математика Прикладная...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Конструкция поля комплексных чисел.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Н.И.Дубровин
Спасское Городище 2012
Оглавление
Введение. 4
Список обозначений и терминов. 5
1 Немного о БЕЙСИКе. 6
2 Наивная теория множеств. 9
Немного о БЕЙСИКе
В математике имеют дело с такими объектами как числа разной природы (натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные), многочлены одной и нескольких переменных, матриц
Наивная теория множеств.
Математический текст состоит из определений и утверждений. Некоторые утверждения в зависимости от важности и отношения к другим утверждениям называются одним из следующих терминов:
Декартовы произведения
Упорядоченная пара, или просто пара элементов это одна из фундаментальных конструкций в математики. Представлять её можно как полочку с двумя местами -- первым и вторым. Очень часто в математике не
Натуральные числа
Числа {1,2,3,… }, которые можно получить из единицы операцией сложения, называют натуральными и обозначают ℕ. Аксиоматическое описание натуральных чисел может быть таким (см.
Рекурсия
От аксиом N1-N3 до знакомых всем с начальной школы операций сложения и умножения натуральных чисел, сравнения натуральных чисел между собой и свойств вида "от перемены мест слагаемых сумма не
Порядок на множестве натуральных чисел
На множестве имеется отношение линейного порядка. Скажем, что n<m, если найдется натуральное число k такое, что n+k=m. Отношение n≤ m тогда получается из отношения строгого неравенства про
Делимость натуральных чисел
Операция деления не всегда возможна в области натуральных чисел. Это дает нам право ввести отношение делимости: скажем, что число n делит число m, если m=nk для какого-либо подходящего k∈
Делимость целых чисел
Обозначим через -- кольцо целых чисел. Термин «кольцо» означает, что мы имеем дело с множеством R, на котором заданы две операции – сложение и умножение, подчиняющиеся известным пра
Алгоритм Евклида
Дана пара целых чисел (m,n). Считаем n остатком с номером 1. Первый шаг алгоритма Евклида – делим m на n с остатком, а далее делим остаток на вновь получившийся остаток, покуда этот вновь получивши
Матричная трактовка алгоритма Евклида
Придадим матричную трактовку алгоритму Евклида (о матрицах см. следующий параграф). Перепишем последовательность делений с остатком в матричном виде:
Подставляя в каждое по
Элементы логики
Математики имеют дело с объектами, такими как, например, -- числа, -- функции, -- матрицы, -- прямые на плоскости и т.д., а также имеют дело с высказываниями. Высказывание есть некоторое повествова
Высказывательные формы
Будет ли выражение высказыванием? Нет, эта запись есть высказывательная форма от одной переменной . Если вместо переменной подставлять допустимые значения, то получаем различные высказывания, котор
Матричная алгебра
Матричная алгебра над кольцом R (R – кольцо целых чисел, поле рациональных чисел, поле вещественных чисел) – наиболее широко используемая алгебраическая система с множеством операци
Определители
Определитель квадратной матрицы A есть ее числовая характеристика, обозначаемая или . Начнем с определителей матриц малых размерностей 1,2,3:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пу
Линейные преобразования плоскости
Известно, что любое преобразование плоскости ϕ, сохраняющее расстояния, есть либо параллельный перенос на вектор , либо поворот вокруг точки О на угол α, либо симметрия относительно прямо
Комплексные числа
В этом параграфе изучается лишь одно поле -- поле комплексных чисел ℂ . С геометрической точки зрения оно представляет из себя плоскость, а с алгебраической точки зрения в это
Сопряжение комплексных чисел
Поле комплексных чисел доставляет нам новое свойство -- наличие нетождественного непрерывного автоморфизма (изоморфизма на себя).
Комплексное число называется сопряженным к , а отоб
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
Изобразим комплексное число вектором. Длина этого вектора, т.е. величина называется модулем комплексного числа и обозначается . Величину назовем нормой числа , иногда удобнее пользоваться е
Комплексная экспонента
Правило (2) параграфа дает нам право определить экспоненту чисто мнимого числа:
Действительно, таким образом определенная функция обладает следующими свойствами:
&
Решение квадратных уравнений.
Линейный многочлен при всегда имеет корень . Квадратный трехчлен уже не всегда имеет корни над полем действительных чисел.
Пусть – квадратный трехчлен над полем комплексных чисел ( ). Обоз
Основная теорема алгебры комплексных чисел
Поле называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен над этим полем, не равный константе, имеет хотя бы один корень. Из теоремы Безу сразу следует, что над таким полем любой неконстантный
ТЕОРЕМА об отношении эквивалентности
Пусть “ ” – отношение эквивалентности на множестве М. Для элемента обзначим через класс эквивалентности. Тогда множество М разбивается в объединение классов эквивалентности; каждый элемент из М при
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов