рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел - раздел Компьютеры, Фундаментальная и компьютерная алгебра Изобразим Комплексное Число Вектором. Длина Этого Вектора, Т.е. Величина Назы...

Изобразим комплексное число вектором. Длина этого вектора, т.е. величина называется модулем комплексного числа и обозначается . Величину назовем нормой числа , иногда удобнее пользоваться ей. Если -- действительное число, то приходим к модулю действительного числа, ибо . Если , то угол, который образует вектор с действительной осью называется аргументом комплексного числа и обозначается Пусть – модуль и аргумент ненулевого комплексного числа. Тогда

(1)

Выражение называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Свойства модуля.Для любых комплексных чисел имеют место соотношения:

а) ,

б) (неравенство треугольника);

в) (непрерывность модуля)

Докажем первое равенство:

 

Извлекая квадратный корень, получим равенство . Второе равенство следует из первого, ибо оно эквивалентно следующему соотношению: .

Неравенство треугольника следует из того, что сумма двух сторон треугольника больше либо равна третьей стороны (см. рис. 1). Равенство достигается только если треугольник вырожден, т.е.представляет из себя отрезок прямой. Свойство в) следует из неравенства треугольника (сторона треугольника больше модуля разности двух других сторон).

СЛЕДСТВИЕ. Множество комплексных чисел с единичным модулем (обозначим: комплексная единичная окружность) замкнуто относительно умножения и обращения и образует подгруппу в мультипликативной группе поля ℂ.

Перемножим два комплексных числа в тригонометрической форме записи:

 

Применяя тригонометрические формулы «косинус суммы» и «синус суммы», приходим к следующему правилу: при перемножении комплексных чисел модули умножаются, а аргументы складываются:

(2)

В частности, перемножая число на себя n раз, получаем формулу Муавра:

 

Умножая произвольное комплексное число-вектор на комплексное число вида , увеличиваем аргумент у комплексного числа на величину , не меняя модуля. Это преобразование соответствует повороту комплексной плоскости на угол Умножение на положительное действительное число есть гомотетия комплексной плоскости (растяжение в раз, если и сжатие в раз, если ). Впрочем мы это знали и ранее, имея в виду интерпретацию ℂ матрицами 2×2. Итак, отображение

 

представляет из себя последовательное выполнение двух геометрических преобразований над вектором -- поворота и гомотетии. В этом и заключается геометрический смысл умножения комплексных чисел.

ПРИМЕР.Вычислим . Для этого сначала найдем модуль и аргумент числа :

 

Для того чтобы найти аргумент, изобразим комплексное число вектором лежащим на биссектрисе первого квадранта, и ответ или, по другому, станет понятен. Далее

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Фундаментальная и компьютерная алгебра

Введение... Курс Фундаментальная и компьютерная алгебра предназначен для студентов специальностей Математика Прикладная...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Н.И.Дубровин
Спасское Городище 2012 Оглавление Введение. 4 Список обозначений и терминов. 5 1 Немного о БЕЙСИКе. 6 2 Наивная теория множеств. 9

Немного о БЕЙСИКе
  В математике имеют дело с такими объектами как числа разной природы (натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные), многочлены одной и нескольких переменных, матриц

Наивная теория множеств.
  Математический текст состоит из определений и утверждений. Некоторые утверждения в зависимости от важности и отношения к другим утверждениям называются одним из следующих терминов:

Декартовы произведения
Упорядоченная пара, или просто пара элементов это одна из фундаментальных конструкций в математики. Представлять её можно как полочку с двумя местами -- первым и вторым. Очень часто в математике не

Натуральные числа
  Числа {1,2,3,… }, которые можно получить из единицы операцией сложения, называют натуральными и обозначают ℕ. Аксиоматическое описание натуральных чисел может быть таким (см.

Рекурсия
От аксиом N1-N3 до знакомых всем с начальной школы операций сложения и умножения натуральных чисел, сравнения натуральных чисел между собой и свойств вида "от перемены мест слагаемых сумма не

Порядок на множестве натуральных чисел
На множестве имеется отношение линейного порядка. Скажем, что n<m, если найдется натуральное число k такое, что n+k=m. Отношение n≤ m тогда получается из отношения строгого неравенства про

Делимость натуральных чисел
Операция деления не всегда возможна в области натуральных чисел. Это дает нам право ввести отношение делимости: скажем, что число n делит число m, если m=nk для какого-либо подходящего k∈ 

Делимость целых чисел
  Обозначим через -- кольцо целых чисел. Термин «кольцо» означает, что мы имеем дело с множеством R, на котором заданы две операции – сложение и умножение, подчиняющиеся известным пра

Алгоритм Евклида
Дана пара целых чисел (m,n). Считаем n остатком с номером 1. Первый шаг алгоритма Евклида – делим m на n с остатком, а далее делим остаток на вновь получившийся остаток, покуда этот вновь получивши

Матричная трактовка алгоритма Евклида
Придадим матричную трактовку алгоритму Евклида (о матрицах см. следующий параграф). Перепишем последовательность делений с остатком в матричном виде:   Подставляя в каждое по

Элементы логики
Математики имеют дело с объектами, такими как, например, -- числа, -- функции, -- матрицы, -- прямые на плоскости и т.д., а также имеют дело с высказываниями. Высказывание есть некоторое повествова

Высказывательные формы
Будет ли выражение высказыванием? Нет, эта запись есть высказывательная форма от одной переменной . Если вместо переменной подставлять допустимые значения, то получаем различные высказывания, котор

Матричная алгебра
  Матричная алгебра над кольцом R (R – кольцо целых чисел, поле рациональных чисел, поле вещественных чисел) – наиболее широко используемая алгебраическая система с множеством операци

Определители
Определитель квадратной матрицы A есть ее числовая характеристика, обозначаемая или . Начнем с определителей матриц малых размерностей 1,2,3: ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пу

Линейные преобразования плоскости
Известно, что любое преобразование плоскости ϕ, сохраняющее расстояния, есть либо параллельный перенос на вектор , либо поворот вокруг точки О на угол α, либо симметрия относительно прямо

Комплексные числа
  В этом параграфе изучается лишь одно поле -- поле комплексных чисел ℂ . С геометрической точки зрения оно представляет из себя плоскость, а с алгебраической точки зрения в это

Конструкция поля комплексных чисел.
Мы фактически уже построили поле комплексных чисел в предыдущем параграфе. В силу исключительной важности поля комплексных чисел приведем его непосредственную конструкцию. Рассмотрим пространство с

Сопряжение комплексных чисел
Поле комплексных чисел доставляет нам новое свойство -- наличие нетождественного непрерывного автоморфизма (изоморфизма на себя). Комплексное число называется сопряженным к , а отоб

Комплексная экспонента
Правило (2) параграфа дает нам право определить экспоненту чисто мнимого числа:   Действительно, таким образом определенная функция обладает следующими свойствами: &

Решение квадратных уравнений.
Линейный многочлен при всегда имеет корень . Квадратный трехчлен уже не всегда имеет корни над полем действительных чисел. Пусть – квадратный трехчлен над полем комплексных чисел ( ). Обоз

Основная теорема алгебры комплексных чисел
Поле называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен над этим полем, не равный константе, имеет хотя бы один корень. Из теоремы Безу сразу следует, что над таким полем любой неконстантный

ТЕОРЕМА об отношении эквивалентности
Пусть “ ” – отношение эквивалентности на множестве М. Для элемента обзначим через класс эквивалентности. Тогда множество М разбивается в объединение классов эквивалентности; каждый элемент из М при

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги