Основная теорема алгебры комплексных чисел

Поле называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен над этим полем, не равный константе, имеет хотя бы один корень. Из теоремы Безу сразу следует, что над таким полем любой неконстантный многочлен разложим в произведение линейных множителей. В этом смысле алгебраически замкнутые поля устроены проще, чем не алгебраически замкнутые. Мы знаем, что над полем действительных чисел не всякий квадратный трехчлен имеет корень, тем самым поле ℝ не является алгебраически замкнутым. Оказывается ему чуть-чуть не хватает до алгебраической замкнутости. Другими словами: решив казалось бы частную задачу о уравнение , мы одновременно справились со всеми остальными полиномиальными уравнениями.

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ.Любой многочлен над полем ℂ, не равный константе, имеет хотя бы один комплексный корень.

СЛЕДСТВИЕ. Любой многочлен, не равный константе, над полем комплексных чисел разложим в произведение линейных множителей:

 

Здесь -- старший коэффициент многочлена, – все различные комплексные корни многочлена, -- их кратности. Должно выполняться равенство

 

Доказательство следствия представляет собой несложную индукцию по степени многочлена.

Над другими полями положение дел не столь хорошее в смысле разложимости многочленов. Назовем многочлен неприводимым, если он во-первых, не константа, а, во-вторых, не разложим в произведение многочленов меньших степеней. Ясно, что всякий линейный многочлен (над любым полем) неприводим. Следствие можно переформулировать так: неприводимыe многочлены над полем комплексных чисел с единичным старшим коэффициентом (по другому: унитарные) исчерпываются многочленами вида ( ).

Разложимость квадратного трехчлена равносильна наличию хотя бы одного корня. Преобразуя уравнение к виду , заключаем, что корень квадратного трехчлена существует тогда и только тогда, когда дискриминант есть квадрат какого-либо элемента поля K (здесь предполагаем, что 2≠ 0 в поле K). Отсюда получаем

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Квадратный трехчлен над полем K, в котором 2≠ 0, неприводим тогда и только тогда, когда он не имеет корней в поле K. Это равносильно тому, что дискриминант не является квадратом никакого элемента поля K. В частности, над полем действительных чисел квадратный трехчлен неприводим, если и только, если .

Итак над полем действительных чисел существуют по крайней мере два вида неприводимых многочленов: -- линейные и квадратичные и отрицательным дискриминантом. Оказывается, что эти два случая исчерпывают множество неприводимых многочленов над ℝ.

ТЕОРЕМА.Любой многочлен над полем действительных чисел разложим в произведение линейных множителей и квадратичных множителей с отрицательными дискриминантами:

 

Здесь -- все различные действительные корни многочлена , -- их кратности, все дискриминанты меньше нуля, и квадратные трехчлены все различны.

Вначале докажем лемму

ЛЕММА.Если и для какого-либо , то сопряженное число также является корнем многочлена .

Доказательство. Пусть , и – комплексный корень многочлена . Тогда

 

где мы использовали свойства сопряжения. Следовательно, . Тем самым -- корень многочлена . □

Доказательство теоремы. Достаточно доказать, что любой неприводимый многочлен над полем действительных чисел либо линейный, либо квадратичный с отрицательным дискриминантом. Пусть -- неприводимый многочлен с единичным старшим коэффициентом. В случае сразу получаем для некоторого действительного . Предположим, что . Обозначим через какой-либо комплексный корень этого многочлена, существующий по основной теореме алгебры комплексных чисел. Так как неприводим, то (см. теорему Безу). Тогда по лемме, будет еще одним корнем многочлена , отличным от .

Многочлен имеет действительные коэффициенты. Кроме того, делит согласно теореме Безу. Так как неприводим и имеет единичный старший коэффициент, то получаем равенство . Дискриминант этого многочлена отрицателен, так как иначе он имел бы вещественные корни.□

ПРИМЕРЫ. А.Разложим многочлен на неприводимые множители. Среди делителей константного члена 6 ищем корни многочлена. Убеждаемся, что 1 и 2 – корни. Тем самым многочлен делится на . Поделив, находим

 

-- окончательное разложение над полем , ибо дискриминант квадратного трехчлена отрицателен и, следовательно, он над полем действительных чисел далее не разложим. Разложение того же многочлена над полем комплексных чисел получим, если найдем комплексные корни квадратного трехчлена . Они суть . Тогда

 

-- разложение данного многочлена над

Б. Разложим над полями действительных и комплексных чисел. Так как действительных корней этот многочлен не имеет, то он разложим на два квадратных трехчлена с отрицательными дискриминантами

 

Так как при замене на многочлен не меняется, то при такой замене квадратный трехчлен должен переходить в и наоборот. Отсюда . Приравнивая коэффициенты при получаем В частности, . Тогда из соотношения (получается подстановкой извлекаем , и окончательно, . Итак,

 

-- разложение над полем действительных чисел.

Для того, чтобы разложить данный многочлен над комплексными числами, решим уравнение или . Ясно, что будут корнями. Все различные корни мы получим при . Следовательно,

Тогда

 

-- разложение над комплексными числами. Легко вычислить

 

и мы получаем другое решение задачи о разложении многочлена над полем действительных чисел.