Пусть правильную дробь А, заданную в произвольной позиционной системе счисления с основанием L необходимо перевести в новую систему с основанием Р, т.е. преобразовать ее к виду: А= а-1р-1 +...+ а-kр-k, если, аналогично переводу целых чисел разделить обе части выражения на р-1, т.е умножить на р, то получим: Ар = а-1 + А1, где А1= а-2р-1 + а-3р-2 +...+ а-kр-k+1 - дробная часть произведения, а-1 - целая часть результата.
Полученная при этом цифра целой части результата и будет первой цифрой искомого числа. Умножив теперь дробную часть результата на основание новой системы счисления, получим: А1р = а-2 + А2, где А2 - дробная часть произведения, а-2 - следующая цифра искомого числа.
Следовательно по схеме Горнера: А = р-1(а-1 +р-1(а-2+ ... + р-1(а-к+1 + р-1а-к)...)).
Для перевода правильной дроби из одной позиционной системы счисления в другую ее надо последовательно умножать на основание новой системы счисления до тех пор, пока в новой дроби не будет нужного количества цифр, которое определяется требуемой точностью представления дроби. Правильная дробь в новой системе счисления записывается из целых частей произведений получающихся при последовательном умножении, причем первая целая часть будет старшей цифрой новой дроби.
Перевод дроби в общем случае представляет собой бесконечный процесс. Число цифр в новой системе счисления необходимо определять из условия, что точность представления числа в новой системе должна соответствовать точности в исходной системе.