Математика в компьютере

 

А.И.Бородина

 

 

Математика в компьютере

Учебное пособие

 

 

Минск 2002

УДК 681.3

ББК 32.973

Б83

Печатается в авторской редакции

 

Рецензент:доцент Л.И.Крошинская

 

Рассмотрено и рекомендовано на заседании кафедры ___________________, протокол № ___

 

Утверждено на заседании научно-методического Совета БИП ______________, протокол № ___

 

 

Бородина А.И.

П 62Математика в компьютере: Учеб. пособие – Мн.: НО ООО «БИП-С», 2002. – 49 с.

 

ISBN 985-6537

Пособие содержит материал, касающийся арифметических и логических основ IBM-подобных ЭВМ. В нём изложены вопросы систем счисления и арифметика в них, переводы из одной системы счисления в другую, прямой, обратный и дополнительный коды, современные системы кодирования, основы алгебры логики.

В пособии имеются два раздела: один посвящён теории арифметико-логических операций; второй содержит набор заданий по основным темам, изложенным в теоретическом разделе, и методику их выполнения.

Пособие рассчитано на студентов экономического профиля, изучающих дисциплину «Основы информатики и вычислительной техники».

УДК 681.3

ББК 32.973

ISBN 985-6537Ó Бородина А.И., 2002

Учебное издание

БородинаАлла Ивановна

 

 

Математика в компьютере

    Редактор: Э.Н.Гневко

Введение

Предлагаемое пособие «Математика в компьютере» содержит материал, касающийся арифметических и логических основ IBM-подобных ЭВМ. В нём изложены вопросы: систем счисления и арифметика в них, переводы из одной системы счисления в другую, прямой, обратный и дополнительный коды, современные системы кодирования, основы алгебры логики.

В пособии имеются два раздела: один посвящён теории арифметико-логических операций; второй содержит набор заданий по основным темам, изложенным в теоретическом разделе.

Задания сгруппированы так, что отдельно выделены задания для работы в аудитории, отдельно – для самоконтроля, отдельно – задания для зачёта и экзамена. Кроме того, автором предлагаются и индивидуальные задания, которые должен выполнить каждый студент. К заданиям прилагается методика их выполнения.

Пособие рассчитано на студентов-экономистов и бухгалтеров, изучающих дисциплину «Основы информатики и вычислительной техники».

Автор выражает благодарность Наталье Анатольевне Сафроновой, усилиями которой набраны и апробированы все задания из второго, практического раздела.

I. Арифметико-логические основы ЭВМ

Понятие системы счисления

Позиционные и непозиционные системы счисления

Все системы счисления делятся на две группы: позиционные и непозиционные. Непозиционной называется такая система, у которой количественное значение… I V X C D M и т.д. 1 5 10 50 100 1000

Позиционные системы счисления, используемые в ЭВМ

Двоичная система счисления

Наиболее естественным было бы использование для изображения чисел в ЭВМ десятичной системы счисления. Но для построения ЭВМ оказались более удобными… Двоичная система есть позиционная система счисления с основанием два. Для…   Десятичные …

Двоичная таблица сложения Двоичная таблица умножения

0+0= 0 0·0=0

0+1= 1 0·1=0

1+0= 1 1·0=0

1+1=10 1·1=1

При сложении двух двоичных чисел необходимо учитывать, что 1+1 дают ноль в данном разряде и единицу переноса в следующий старший разряд. Правила сложения остаются теми же, что и в десятичной системе: сложение ведем, начиная с младших разрядов, а при возникновении переносов учитываем их в старших разрядах. Поясним это на примере сложения двух двоичных чисел:

Единицы переноса 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Первое слагаемое ₊110101,1011 ₊110111

Второе слагаемое 11000,1110 11011

Сумма 1001110,1001 1010010

Несколько сложнее производится сложение трех и более двоичных чисел. В этом случае необходимо внимательно следить за образующимися при сложении единицами переноса в старшие разряды, поскольку эти единицы могут переходить не только в ближайшие старшие разряды, но и в более удаленные.

При вычитании двоичных чисел необходимо помнить, что занятая в ближайшем старшем разряде единица дает две единицы соседнего младшего разряда. Если в соседних старших разрядах стоят нули, то приходится занимать единицу через несколько разрядов. При этом единица, занятая в ближайшем значащем старшем разряде, даст две единицы младшего разряда и единицы во всех нулевых разрядах, стоящих между младшим и тем старшим разрядом, у которого брался заем.

Примеры: 1) _10101 2) _10001 3)_1101 4) _10110

11011100111101

1000 101 110 10001

При умножении двоичных чисел используются двоичные таблицы умножения и сложения.

Пример: 1) _´111 2) _´1001 3) _´11011

10110111111

₊ 111 ₊ 1001 11011

000 1001 11011

1111001 11011

100011 1100011 11011

110010101

Из примера видно, что умножение в двоичной системе сводится к многократному сложению и сдвигам: если в данном разряде множимого записана единица, то осуществляется прибавление к промежуточной сумме множимого, сдвинутого на один разряд влево, если – 0, то прибавление нуля.

При делении двоичных чисел используются двоичные таблицы умножения и вычитания. Поскольку деление – действие, обратное умножению, то оно сводится соответственно к сдвигам и вычитанию делителя.

Пример: 1) _1111 | 101 2) _11001| 101 3) _11011| 11

101 11 101 101 11 1001

_101 _101 _011

101101 11

000 000 000

Как видно из приведенных примеров, правила выполнения арифметических действий в десятичной и двоичной системах одинаковы. Однако в двоичной системе счисления они гораздо проще, а, следовательно, и результаты вычисления надежнее. А надежность на дорогостоящем оборудовании играет большую роль, т.к. любое искажение отражается в виде неправильных результатов на выходе.

Таким образом, применительно к электронным вычислительным машинам двоичная система счисления обладает рядом преимуществ перед десятичной. Во-первых, при представлении чисел в машине каждая двоичная цифра числа может быть представлена элементом машины, имеющим лишь два устойчивых состояния, одно из которых принимается за 0, а другое – за 1. Во-вторых, арифметические действия над двоичными числами оказываются намного проще, чем соответствующие операции в десятичной системе. В-третьих, двоичная система оказывается более экономичной, чем десятичная, с точки зрения затраты элементов.

Недостатком двоичной системы является то, что она не привычна для человека. Значит, неудобством этой системы счисления (как, впрочем, и всякой другой, отличной от десятичной) является необходимость перевода исходных данных из десятичной системы в двоичную при вводе их в машину и обратного перевода из двоичной в десятичную при выводе результатов вычислений.

Шестнадцатеричная система счисления

В шестнадцатеричной системе для обозначения цифр используется шестнадцать различных символов. Поскольку в десятичной системе счисления имеется лишь…   Десятичная система … Сложение, вычитание, умножение и деление в шестнадцатеричной системе осуществляется согласно существующим таблицам. На…

Смешанные системы счисления

Для того чтобы машина могла переводить числа из десятичной системы счисления в двоичную и обратно, она должна уметь хранить десятичные числа. Так… В двоично-десятичной системе каждая цифра десятичного числа записывается в… Чтобы не применять разделительных знаков, для двоичного изображения десятичной цифры принято всегда выделять четыре…

Из возможных шестнадцати различных тетрад 0000, 0001,..., 1110, 1111 в двоично-десятичной системе счисления используются только десять. Остальные тетрады не означают никакой десятичной цифры и не имеют смысла в двоично-десятичной системе счисления. По этой причине арифметические операции в двоично-десятичной системе счисления затруднительны.

Следует обратить внимание, что, хотя в двоично-десятичной системе и используется только 0 и 1, число в двоично-десятичной системе отличается от двоичного его изображения.

Например, приведенное выше двоично-десятичное число в двоичной системе изображает число 2341, а не 925.

Обратный переход от двоично-десятичной системы счисления к десятичной также достаточно прост. Для того чтобы его осуществить, необходимо двоично-десятичные числа влево и вправо от запятой разбить на тетрады, а затем каждую тетраду заменить отвечающей ей десятичной цифрой.

Например, двоично-десятичное число 0110 1000 1001, 0100 0111 в десятичной системе запишется как: 689,47.

Как уже говорилось, в ЭВМ числа хранятся обычно в двоичной системе счисления. Однако исходные данные для обработки на машине всегда представляются в десятичной системе счисления. Двоично-десятичная система и служит для записи десятичных чисел в машине, облегчая переход от десятичной системы к двоичной. При вводе исходных данных в машину десятичные числа предварительно с помощью специальных устройств преобразуются в двоично-десятичные. Затем по программе самой машиной двоично-десятичные числа переводятся в двоичные. После окончания вычислений ЭВМ автоматически по программе переводит результат вычислений в двоично-десятичную систему. С помощью специальных устройств осуществляется окончательная выдача на печать результата в десятичной системе. Схематически это выглядит так:

10с/с → 2-10с/с → 2с/с → Обработка → 2с/с → 2-10с/с → 10c/c

Преобразование чисел из десятичного представления в двоично-десятичное происходит автоматически либо на этапе подготовки данных, либо на этапе ввода информации в память.

В современных машинах помимо операций над двоичными числами имеется также возможность производить арифметические операции непосредственно над двоично-десятичными числами. Правда, производятся такие операции несколько медленнее, чем над двоичными числами. Что касается преобразования результатов вычислений из двоично-десятичной системы в десятичную, то они осуществляются автоматически устройствами вывода.

 

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

В связи с использованием в ЭВМ различных систем счисления, возникает необходимость перевода чисел из одной системы счисления в другую. Существует… Чтобы вывести правило перевода целых чисел, воспользуемся тем очевидным…

1 0

Итак, 118₁₀=1110110₂; 78₁₀=1001110₂.

2) Числа 118 и 78 из десятичной системы счисления перевести в шестнадцатеричную:

_118| 16 _78 | 16

112 7 64 4

6 14₁₀=E₁₆

Итак, 118₁₀=76₁₆; 78₁₀=4Е₁₆.

3) Число 1110110 из двоичной системы счисления перевести в десятичную:

_1110110| 1010

1010 _1011| 1010

_10011 1010 1

1010 1

_10010

1010

1000₂=8₁₀

Итак, 1110110₂=118₁₀, так как 1₂=1₁₀, а 1000₂=8₁₀.

4) Число 76 из шестнадцатеричной системы счисления перевести в десятичную:

_76 | А

68 _В | А

8 А 1

Итак, 76₁₆=118₁₀.

Перевод правильных дробей

Ар = а-1q-1 + а-2q-2 + ... + а-mq-m = Аq. Умножая обе части равенства на q, получим: q·Ар = а-1+ а-2q-1 +...+ а-mq-m+1 = U-1+V-1,

В современных ЭВМ, кроме названных систем счисления, широко применяется двоично-десятичная система, в которой каждая десятичная цифра записывается тетрадой двоичных цифр.

Пример: десятичное число 92 в двоично-десятичной системе представится так: 1001 0010_2-10.

Для того чтобы осуществить обратный переход от двоично-десятичной системы к десятичной необходимо двоично-десятичное число влево и вправо от запятой разбить на четверки (тетрады), а затем каждую тетраду заменить отвечающей ей десятичной цифрой.

Пример: А=0110 1000 1001,01000111_2-10=689,47₁₀.

Следует иметь в виду, что, хотя в двоично-десятичной системе и используются только нули и единицы, эта запись отличается от записи этого числа в двоичной системе.

Пример: 92₁₀=1011100₂.

 

 

4. Формы записи чисел

 

Существует две формы записи чисел: с фиксированной точкой (или запись чисел в естественной форме) и с плавающей точкой (или запись чисел в нормальной форме).

При записи чисел с фиксированной точкой, место десятичной точки, отделяющей целую часть числа от дробной, остается постоянным.

Например: 2,5; 764,35.

В форме с плавающей точкой, всякое число в общем виде может быть записано так:

A=m*qp,

Где m - мантисса числа,

P - его порядок (всегда целое число),

Q - основание системы счисления.

Очевидно, что запись числа с плавающей точкой не является однозначной. Поскольку при разных порядках положение десятичной точки бывает различным,… Пример: 2,5E05; 0,73E-2. Достоинство формы записи чисел с плавающей точкой заключается в том, что она обеспечивает достаточно широкий диапазон…

Нормализация

где 10 – основание системы счисления. Числа, мантиссы которых удовлетворяют этим неравенствам, называются нормализованными.

Кодирование символьной информации

Кодовая таблица должна представлять следующие группы символов: - управляющие символы; - знаки арифметических операций, знаки препинания и цифры;

Кодирование графической информации

В текстовом режиме экран разбивается на 25 строк по 80 символов в строке. Каждая позиция экрана называется знакоместом. В нее может быть помещен… В графическом режиме экран разбивается на отдельные светящиеся точки –…

Кодирование звуковой информации

При цифровой записи реальные звуковые волны преобразуются в цифровую информацию путем измерения звука тысячи раз в секунду. Этот процесс называется… MIDI-запись является электронным эквивалентом нотной записи. Цифровая запись может быть реализована при наличии в комплекте звуковой платы, которая преобразует звук на входе в…

Прямой, обратный и дополнительный коды

При вычислении ЭВМ оперируют как с положительными, так и с отрицательными числами. При этом вычитание можно заменить сложением, воспользовавшись… _100010 _100016 _100002 12510 12516 11012

X= – 0,1100

Сложение и вычитание двоичных чисел в дополнительном коде происходит поразрядно, включая и знаковые разряды. Единица переноса, вышедшая за пределы знакового разряда, отбрасывается.

Пример:

a= – 0,1010<0 [a]_доп.=1 0110

b= – 0,0010<0 [b]_доп.=1 1110

11 0100

[х]_доп.=1 0100

[х]_обр.=1 0011

х= – 0,1100

Например, имеется число А1 = 0,10111₂ и А2 = 0,011₂. Нужно выполнить действие А1-А2

_0,10111

0,01100

0,01011

Заменим операцию вычитания сложением. Для этого произведём кодирование: получим обратный и дополнительный коды для чисел А1 и А2.

[A1]_обр.= 0 10111 [A2]_обр.= 1 10011

[A1]_доп.= 0 10111 [A2]_доп.= 1 10100

Выполним операцию сложения полученных кодов

₊ [A1]_обр.= 0 10111

[A2]_обр.= 1 10011

10 01010

[A1+A2]_обр.= 0 01011

A1+A2 = 0,01011

 

₊[A1]_доп.= 0 10111

[A2]_доп.= 1 10100

10 01011

[A1+A2]_доп.= 0 01011

A1+A2 = 0,01011

 

Представление информации в памяти ЭВМ

В современных вычислительных машинах обрабатывается как цифровая, так и буквенная информация. Вся эта информация должна быть представлена двоичными… Группа из 9 двоичных разрядов, используемая для представления одного символа,…  

Рис.7.1. Структура байта

Восемь информационных разрядов условно разбиты на две части два слога по четыре бита: слог зональной группы и слог цифровой группы. В одном слоге размещается одна десятичная цифра, в двух слогах – буквенный, знаковый или другого типа символ (рис.7.2).

 

9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1

___________/___________/ ___________/ __________/

Зональная Цифровая Зональная Цифровая

группа группа группа группа

_________________________/ _________________________/

Цифра 9 Буква А

Рис.7.2. Представление цифры и символа

Основными обрабатываемыми единицами информации являются байт, полуслово, слово, двойное слово. Группа из двух последовательных байтов называется полусловом. Группа из четырех последовательных байтов – словом, а из восьми последовательных байтов двойным словом (рис.7.3).

 

байт	байт	байт	байт	байт	байт	байт	байт
полуслово	полуслово	полуслово	полуслово
слово	слово
двойное слово

Рис.7.3. Структура полуслова, слова, двойного слова

В современных вычислительных машинах могут быть представлены числа и алфавитно-цифровая информация (рис.7.4).

 

 

Рис.7.4. Представление данных в ЭВМ

Обычно числа представляются в двоичной системе счисления в одной из двух форм: с фиксированной точкой и плавающей точкой. В форме с фиксированной точкой числа записываются в виде последовательности цифр, разделенных точкой на целую и дробную часть, например, 0.0101. Положение десятичной точки при этом строго фиксировано, что позволяет ее в изображении числа опускать. Числа в этой форме используются, как правило, для представления условно-целых чисел, когда точка фиксируется после крайнего правого разряда.

В форме с фиксированной точкой в IBM-совместимых ЭВМ длина двоичного числа может быть равна полуслову или слову. В обоих случаях знак числа ("плюс" обозначается нулем, "минус" – единицей) записывается в крайнем левом разряде. А в остальные разряды записывается само число в двоичной системе счисления, если оно положительное; или его дополнительный код, если число отрицательное (рис.7.5). В такой записи младшие разряды располагаются справа, а оставшиеся свободными заполняются нулями для положительных чисел и единицами – для отрицательных.

 

Знак

Знак

Рис.7.5. Структура записи чисел с фиксированной точкой

Пример: Представить числа А=58₁₀ и В= –58₁₀ в форме с фиксированной точкой.

А=58₁₀ = 111010₂

0 000 0000 0011 1010

0 000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1010

В= –58₁₀ = –111010₂ [B_обр.]=1000101 [B_доп.]=1000110

1 111 1111 1100 0110

1 111 1111 1111 1111 1111 1111 1100 0110

 

В форме с плавающей точкой любое число N представляется в виде:

,

где m – мантисса, которая по модулю меньше единицы.

p – порядок (целое число).

Пример: 125.3 = 0.1253×103= 0.01253×104.

Для однозначности представления чисел с плавающей точкой на мантиссу накладывается дополнительное ограничение:

.

В этом случае число называется нормализованным. Длина числа в форме с плавающей точкой в IBM-совместимых ЭВМ представляет слово или двойное слово. В крайнем левом разряде записывается знак числа, в разрядах 1-7 – характеристика, остальных разрядах – мантисса числа (рис.7.6).

 

а)

………..

 

Знак | Характеристика | Мантисса |

б)

………..

Рис.7.6. Структура записи чисел с плавающей точкой

Характеристика X числа определяется по формуле: X=40+P, где P – порядок числа. Характеристика принимает значения от 0 до 127. Для записи чисел с плавающей точкой используется шестнадцатеричная система счисления.

Пример 1. Требуется записать в форме с плавающей точкой длиной в слово десятичное число 75,25. В шестнадцатеричной системе счисления число запишется как 4B.4. В форме с плавающей точкой в нормализованном виде получим: 0.4B4×102, где 4B4 – мантисса, 2 – порядок. Значит характеристика в шестнадцатеричной системе счисления равна 42, так как X=40+2=42.

В ячейке памяти это число запишется так:

0	1	2	3	4	5	6	7	8-11	12-15	16-19	20-23	24-27	28-31
0	1	0	0	0	0	1	0	0100	1011	0100	0000	0000	0000
	4	2	4	В	4	0	0	0

Знак Характеристика Мантисса

Пример 2. Представить числа в форме с плавающей точкой.

А=94,25₁₀ = 5Е,4₁₆ = 0,5Е4×10² Х = 2+40 = 42₁₆

0 100 0010 0101 1110 0100 0000 0000 0000

В= -94,25₁₀ = -5Е,4₁₆ = -0,5Е4×16² Х = 2+40 = 42₁₆

1 100 0010 0101 1110 0100 1111 1111 1111

 

В ЭВМ могут обрабатываться десятичные числа. В IBM-совместимых ЭВМ десятичные числа представляются в двоично-десятичной системе в зонном или упакованном форматах (рис.7.7).

 

а) Зонный формат:

байт	байт	байт
зона	цифра	зона	цифра	зона	цифра

 

Знак

б) Упакованный формат:

цифра	цифра	цифра	Знак
байт	байт

Рис.7.7. Зонный и упакованный форматы чисел

Зона – это всегда четыре единицы: 1111. Можно преобразовывать числа из одного формата в другой (рис.7.7).

Для представления, обмена и обработки информации предусмотрены специальные коды. Например, в коде ДКОИ знаки "плюс" и "минус" у десятичных чисел кодируются соответственно как 1100 и 1101. Действия над десятичными числами производятся в упакованном формате.

Пример1: Записать в ячейку памяти в зонном и упакованном форматах число +186.

а) Зонный формат:

1 8 6

1111	0001	1111	1000	1100	0110
Зона	Цифра	Зона	Цифра	Зона	Цифра
Байт	Байт	Байт

Знак

б) Упакованный формат:

1 8 6

0001	1000	0110	1100
Цифра	Цифра	Цифра	Знак
Байт	Байт

 

 

Пример 2: А = +2458; В = -248

В зонном формате:

А		2		4		5		8
1111	0010	1111	0100	1111	0101	1100	1000

Знак

B		2		4		8
1111	0010	1111	0100	1101	1000

Знак

В упакованном формате:

А		2	4	5	8
0000	0010	0100	0101	1000	1100

Знак

В	2	4	8
0010	0100	0101	1101

Знак

Логические основы ЭВМ

Кроме арифметических, ЭВМ выполняют также логические операции, основанные на понятиях алгебры логики. Основным понятием алгебры логики является… Из нескольких простых высказываний можно составлять сложные высказывания. Для… Конъюнкция двух высказываний А и В (логическое умножение) обозначается А^В или А*В (читается «А и В»). Значение…

Рис. 8.1. Контактные схемы

Контакты будем обозначать последними буквами латинского алфавита: x, y, z и т.д. Причем в случае размыкающего контакта сверху буквы будем ставить черточку.

С помощью этих контактов нетрудно реализовать логические операции над высказываниями и всевозможные формулы алгебры логики. На рис. 8.1.б показана реализация конъюнкции и дизъюнкции при помощи замыкающих контактов.

Пусть нерабочему состоянию контакта соответствует 0, рабочему 1. Отсутствие тока в цепи примем за 0, наличие – за 1. В схеме с последовательно включенными контактами ток в цепи может быть только тогда, если замкнуты оба контакта. Если же не замкнут один из контактов (или оба контакта), то ток в цепи отсутствует.

Таким образом, выполняется таблица истинности для конъюнкции:

 

x	y	x^y

 

В схеме с параллельно включенными контактами ток в цепи появляется тогда, когда замкнут хотя бы один из контактов. Только в одном случае цепь не проводит тока, – если разомкнуты оба контакта. Следовательно, выполняется таблица истинности для дизъюнкции:

 

x	y	xvy

 

Итак, конъюнкция высказываний реализуется последовательным соединением контактов, дизъюнкция – параллельным.

II. Набор заданий

Задание 1. Примеры с ответами

 

1.Найти A+B, где А = 10101111001₂, В = FA,9B₁₆. Вычисления выполнить в двоичной и шестнадцатеричной системах счисления.

Ответ: А+В = 11001110011,10011011₂ = 673,9B₁₆

 

2.Найти A+B, где А = 10110011000₂, В = CF,E9₁₆. Вычисления выполнить в двоичной и шестнадцатеричной системах счисления.

Ответ: А+В = 11001100111,11101001₂ = 667,E9₁₆

 

3.Найти A+B, где А = 1100010101₂, В = 79,AD₁₆. Вычисления выполнить в двоичной и шестнадцатеричной системах счисления.

Ответ: А+В = 1110001110,10101101₂ = 38E,AD₁₆

4.Найти A+B, где А = 11100110111₂, В = CA,B9₁₆. Вычисления выполнить в двоичной и шестнадцатеричной системах счисления.

Ответ: А+В = 100000000001,10111001₂ = 801,B9₁₆

 

5.Найти A+B, где А = 100110110₂, В = CD,EF₁₆. Вычисления выполнить в двоичной и шестнадцатеричной системах счисления.

Ответ: А+В = 1000000011,11101111₂ = 203,EF₁₆

 

6.Представить в обратном и дополнительном кодах: А = -1010101₂,

В = -11101110₂.

Ответ: А_обр.= 10101010 В_обр. = 100010001

А_доп.= 10101011 В_доп. = 100010010

 

7.Представить в обратном и дополнительном кодах: А = -1011011₂,

В = -1101101₂.

Ответ: А_обр.= 10100100 В_обр. = 10010010

А_доп.= 10100101 В_доп. = 10010011

 

8.Перевести в шестнадцатеричную систему счисления: А = 987,65₁₀.

Ответ: А = 3DB,A6₁₆

 

9.Перевести из шестнадцатеричной системы счисления в двоично-десятичную систему следующее число: А = CD,EA₁₆.

Ответ: А = 205,91₁₀ = 1000000101,10010001_2-10

 

10.Перевести в шестнадцатеричную систему счисления: А = 936,57₁₀.

Ответ: А = 3A8,91₁₆

 

11.Перевести в шестнадцатеричную систему счисления: А = 584,96₁₀.

Ответ: А = 248,F5₁₆

 

12.Перевести в десятичную систему счисления: А = BE,C8₁₆.

Ответ: А = 190,78₁₀

 

13.Перевести в десятичную систему счисления: А = CD,A9₁₆.

Ответ: А = 205,66₁₀

 

14.Перевести в десятичную систему счисления: А = AF,32₁₆.

Ответ: А = 175,38₁₀

 

15.Представить в нормализованном виде: А = 1100011000₂.

Ответ: А = 0,1100011´10¹⁰¹⁰

 

16.Представить в нормализованном виде: А = 10101010₂.

Ответ: А = 0,1010101´10¹⁰⁰⁰

 

17.Представить в нормализованном виде: А = 10010011₂.

Ответ: А = 0,10010011´10¹⁰⁰⁰

 

18.Представить в нормализованном виде: А = 10110011₂.

Ответ: А = 0,10110011´10¹⁰⁰⁰

 

19.Выполнить вычисления в двоичной системе: 10001000 – 1111011.

Ответ: 10001000 – 1111011 = 1101

 

20.Выполнить вычисления в двоичной системе: 11001100 – 10110111.

Ответ: 11001100 – 10110111 = 10101

 

21.Выполнить вычисления в двоичной системе: 10110110 – 1010111.

Ответ: 10110110 – 1010111 = 1011111

 

22.Выполнить вычисления в двоичной системе: 1111111+101010+110111.

Ответ: 1111111+101010+110111 = 11100000

 

23.Выполнить вычисления в шестнадцатеричной системе: 493,12 – CD,AF.

Ответ: 493,12 – CD,AF = 560,C1

 

24.Выполнить вычисления в шестнадцатеричной системе: 543,72+E65,A8.

Ответ: 543,72+E65,A8 = 13A9,1A

 

25.Выполнить вычисления в шестнадцатеричной системе: EF5,49+749,85.

Ответ: EF5,49+749,85 = 163E,CE

 

26.Перевести в двоично-десятичную систему счисления следующее двоичное число: 1011101,011₂.

Ответ: А = 93,375₁₀ = 10010011,001101110101_2-10

 

27.Выполнить вычисления в двоичной системе: 1101101+110111+101111.

Ответ: 1101101+110111+101111 = 11010011

 

28.Выполнить вычисления в двоичной системе: 101111+11101+10111.

Ответ: 101111+11101+10111 = 1100011

 

29.Перевести из двоично-десятичной системы счисления в двоичную следующее число: 101110101,00111_2-10.

Ответ: А = 175,38₁₀ = 10101111,01100001₂

 

30.Выполнить вычисления в шестнадцатеричной системе: 234,57 – EC,DB.

Ответ: 234,57 – EC,DB = 147,7C

 

31.Перевести в двоично-десятичную систему следующее шестнадцатеричное число: FA,CA₁₆.

Ответ: А = 250,79₁₀ = 1001010000,01111001_2-10

 

32.Выполнить вычисления в шестнадцатеричной системе: 107,32 – F8,46.

Ответ: 107,32 – F8,46 = E,EC

 

Задание 2. Самостоятельная работа

 

1.Выполнить арифметические операции в двоичной системе счисления:

1) 11011 2) 10011,1 3) 10101,01

+ 1101+ 11101,1 + 1010,11

1111,11

 

4) 1100111 5) _101,1 6) _100,11

+ 1100110 11,111,01

1011111

 

7) _100010 8) _1010001 9) 101,1

1111101101´ 1,1

 

10) 1101 11) 111,01 12) 1011011:101

´ 101´ 10,11

 

2.Выполнить арифметические операции в шестнадцатеричной системе счисления:

1) 127 2) 59A 3) FA,C

+ 984+ 74F+ CD,8

 

4) CD7,35 5) _ FA5 6) _ 100

+ EB6,9E543 F

 

7) _ 124,8 8) _ 894,31 9) 65

AC,DFE,AB´ 32

 

3.Выполнить переводы из одной системы счисления в другую:

1) 75₁₀®2 C/_C 2) 36,42₁₀®2 C/_C

3) 10011₂®10 C/_C 4) 110,101₂®10 C/_C

5) F3₁₆®2 C/_C 6) AC,7₁₆®2 C/_C

7) 100111₂®16 C/_C 8) 1110,11₂®16 C/_C

9) 2543₁₀®2-10 C/_C 10) 394,5₁₀®2-10 C/_C

11) 101110110_2-10®10 C/_C 12) 100101010011,001001_2-10®10 C/_C

4.Выполнить переводы из десятичной системы счисления в двоичную через шестнадцатеричную систему:

1) 328₁₀®16 C/_C®2 C/_C 2) 532,61₁₀®16 C/_C®2 C/_C

и из двоичной в десятичную через шестнадцатеричную:

3) 101101₂®16 C/_C®10 C/_C 4) 1101101,011₂®16 C/_C®10 C/_C

 

5.Выполнить следующие действия в двоичной и шестнадцатеричной системах счисления:

1) 101111₂+AC₁₆

2) E1,7D₁₆+111011,1101₂

3) 1001010100₂+11000110101_2-10

4) 1010110,00110111₂+11110010001,1000011_2-10

 

6.Заменить операцию вычитания операцией сложения путём использования дополнений:

1) 15834₁₀ – 9625₁₀ 3) 110111011₂ – 1101101₂

2) 165АС₁₆ – F173₁₆ 4) 111000111₂ – 10101010₂

Проверить полученный результат, выполнить операцию вычитания обычным способом.

 

7.Представить следующие двоичные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах:

1) 10111 3) –11011

2) 1110011 4) –1100111

 

8.Представить в памяти ЭВМ следующие десятичные числа: А = +374,27; В= -1876,53 D в форме с фиксированной и плавающей точкой, в зонном и упакованном форматах.

 

9.Выполнить операции конъюнкции, дизъюнкции, отрицания и равнозначности над следующими данными:

1) A = 110111 2) А = 1110111001

B = 100101 В = 1001100100

 

Задание 3. Самоконтроль

 

1.Выполнить сложение двоичных чисел: 11001,1+11,1+1010,11. Полученный результат проверить вычитанием.

 

2.Выполнить сложение шестнадцатеричных чисел: F3A,8+AB,C6. Результат проверить вычитанием.

 

3.Выполнить вычитание двоичных чисел: 1111011,11 – 111111,1. Результат проверить сложением.

 

4.Выполнить вычитание шестнадцатеричных чисел: A732,D - EF,C. Результат проверить сложением.

 

5.Выполнить умножение двоичных чисел: 11011,11 ´ 1110,01. Результат проверить делением.

 

6.Перевести из двоичной системы счисления в двоично-десятичную: 1101110111. Результат проверить обратным переводом.

 

7.Перевести из шестнадцатеричной системы счисления в двоично-десятичную: F73,2A. Результат проверить обратным переводом.

 

8.Перевести из двоично-десятичной системы счисления в двоичную: 111001,1101. Результат проверить обратным переводом.

 

9.Перевести из двоично-десятичной системы в шестнадцатеричную: 101001,111. Результат проверить обратным переводом.

 

10.Перевести из десятичной системы счисления в двоичную через шестнадцатеричную: 156,5. Результат проверить обратным переводом.

 

11.Перевести из двоичной системы счисления в десятичную через шестнадцатеричную: 11110011,11101. Результат проверить обратным переводом.

 

12.Перевести из двоично-десятичной системы счисления в двоичную через шестнадцатеричную: 1100111,10011. Результат проверить обратным переводом.

 

13.Перевести из двоичной системы счисления в двоично-десятичную через шестнадцатеричную: 110001,11. Результат проверить обратным переводом.

 

14.Выполнить следующие действия в двоичной системе счисления: 11101,1+10111,01-1001,1´10 Результат проверить переводом в десятичную систему счисления.

 

15.Выполнить следующие действия над шестнадцатеричными числами, предварительно переведя их в двоичную систему счисления: AC,2+23-F,E5´10. Результат проверить в шестнадцатеричной системе счисления.

 

16.Выполнить действия над двоично-десятичными числами в двоичной системе счисления: 1010111,1+1110110,01-11,011´10. Результат проверить в десятичной системе счисления.

 

17.Перевести следующее десятичное число в двоичную и шестнадцатеричную системы счисления: 125,75. Результат проверить обратным переводом.

 

18.Перевести следующее двоичное число в десятичную и шестнадцатеричную системы счисления: 110011,011. Результат проверить обратным переводом.

 

19.Перевести следующее шестнадцатеричное число в двоичную и десятичную системы счисления: F4,25. Результат проверить в десятичной системе счисления.

 

20.Выполнить действия в двоичной и шестнадцатеричной системе счисления: 10111,012+AF,916. Результат проверить в десятичной системе счисления.

 

21.Выполнить арифметические операции в шестнадцатеричной, двоичной или десятичной системе счисления: F7,6₁₆-1101,01₂+75₁₀. Проверить результат, выполнив действия в другой системе счисления, а затем сделав перевод.

 

22.Выполнить арифметические операции в шестнадцатеричной, двоичной или десятичной системе счисления: 11011₂+11₂+AF₁₆´10₁₆+93₁₀. Проверить результат, выполнив действия в другой системе счисления, а затем сделав перевод.

 

23.Выполнить арифметические операции в шестнадцатеричной, двоичной или десятичной системе счисления: 274,6₁₀+11011,001₂-CD,F₁₆. Проверить результат, выполнив действия в другой системе счисления, а затем сделав перевод.

 

24.Выполнить арифметические операции в шестнадцатеричной, двоичной или десятичной системе счисления: 48,6₁₀+AD,9E₁₆-110,11₂. Проверить результат, выполнив действия в другой системе счисления, а затем сделав перевод.

 

25.Выполнить арифметические операции в шестнадцатеричной, двоичной или десятичной системе счисления: AF,34₁₆+11,11₂´10₂-75,4₁₀. Проверить результат, выполнив действия в другой системе счисления, а затем сделав перевод.

 

Задание 4. Алгебра логики

 

1.Доказать справедливость следующих логических отношений:

 

2.Доказать закон исключённого третьего:

 

3.Доказать закон де Моргана:

 

4.Доказать закон двойного отрицания:

 

5.Доказать закон отрицания:

- для конъюнкции;

- для дизъюнкции.

 

6.Доказать закон идемпотентности:

- для конъюнкции;

- для дизъюнкции.

 

7.Доказать коммутативный закон:

;

 

8.Доказать закон поглощения:

;

 

9.Доказать закон двойственности (теорема де Моргана):

;

 

10.Доказать дистрибутивный закон:

;

 

11.Проверить тождество:

 

12.Доказать ассоциативный закон:

;

 

13.Упростить выражение:

 

14.Записать на языке логических формул высказывание: точка M(x, y) находится либо на окружности с центром в начале координат, либо на биссектрисе первого координатного угла.

 

15.Записать на языке логических формул высказывание: точка M(x, y) является точкой пересечения трёх окружностей.

 

16.Записать на языке логических формул высказывание: точка M(x, y) является либо точкой пересечения двух окружностей, либо двух эллипсов.

 

17.Установить логическую зависимость в документе реквизитов «сумма к выдаче», «табельный номер», «фамилия», если известно, что в документе реквизит «сумма к выдаче» должен быть обязательно и должен быть один из реквизитов «табельный номер» или «фамилия». Возможно также совместное присутствие двух последних реквизитов.

 

18.

Записать на языке логических формул:

 

19.

Записать на языке логических формул:

 

20.

Записать на языке логических формул:

 

21.Записать на языке логических формул:

22.

Записать на языке логических формул:

 

23.

Записать на языке логических формул:

 

Задание 5. Индивидуальное

1. Сконструировать число следующим образом:

- написать Ваши фамилию, имя и отчество;

- взять количество букв в Вашем отчестве, например, 8;

- приписать справа к полученному числу количество букв в Вашей фамилии, например, их 7; тогда получим число 87;

- приписать к полученному числу количество букв в Вашем полном имени, например, их 6; тогда получим число 876;

- приписать слева к полученному числу общее число букв в Вашей фамилии, имени и отчестве. В нашем примере 8+7+6=21. Получим число 21876;

- отделить запятой в полученном числе два десятичных знака. Получим число А = 218,76;

- сделать из полученного числа отрицательное число. Получим число В=-218,76.

 

2. Перевести полученное положительное число А в двоичную и шестнадцатеричную системы счисления.

 

3. Записать полученное число А, а также его двоичное и шестнадцатеричное представление в форме с фиксированной точкой, а также в форме с плавающей точкой (два варианта, один из которых в нормализованном виде).

 

4. Записать числа А и В в прямом, обратном и в дополнительном кодах.

 

5. Представить исходные числа А и В в памяти ЭВМ как двоичные с фиксированной и плавающей точкой и как десятичные, т.е. в двоично-десятичной системе счисления в зонном и упакованном форматах.

 

6. Выполнить арифметические операции сложения и вычитания над двоичным и шестнадцатеричным представлением чисел А1 и А2, где А1=А, а число А2, получить прочтением числа А справа налево и последующим отделением в полученном числе двух десятичных знаков. Например, если А=218,76, то А1=218,76, а число А2=678,12.

 

Методика выполнения индивидуального задания

 

1. Сконструировать число

- Иванов Николай Петрович; 6+7+8=21, получим число 21867.

6 7 8

А = 218,67 В = - 218,67

 

2. Перевестиполученное положительное число А в двоичную и шестнадцатеричную системы счисления.

А = 218,67₁₀ =11011010,10101011₂ = DA,AB₁₆

 

3. Записатьполученное число А, а также его двоичное и шестнадцатеричное представление в форме с фиксированной точкой, а также в форме с плавающей точкой (два варианта, один из которых в нормализованном виде).

 

С фиксированной точкой	С плавающей точкой
	в нормализованном виде
218,6710 11011010,101010112 DA,AB16	2,1867*102 110110101010,1011*10-100 D,AAB*10	0,21867*103 0,1101101010101011*101000 0,DAAB*102

 

4. Записатьчисла А и В в прямом, обратном и в дополнительном кодах.

 

Число	А = 11011010,101010112	В = - 11011010,101010112
Прямой код
Обратный код
Дополнительный код

 

5. Представитьисходные числа А и В в памяти ЭВМ как двоичные с фиксированной и плавающей точкой и как десятичные, т.е. в двоично-десятичной системе счисление в зонном и упакованном форматах.

 

а) с фиксированной точкой:

А = 11011010,10101011₂

 

 

В = - 11011010,10101011₂ [B]_доп. = 10010010101010101

 

 

б) с плавающей точкой

А₁₆ = DA,AB = 0,DAAB*102 X= 40+2 = 42

 

+			D	A	A	B

 

B₁₆ = -DA,AB = -0,DAAB*102 X= 40+2 = 42

 

–			D	A	A	B

 

в) в зонном формате:

А = 218,67₁₀ = 1000011000,01100111_2-10

 

								+

B = -218,67₁₀ = -1000011000,01100111_2-10

 

								-

 

г) в упакованном формате:

А = 218,67₁₀ = 1000011000,01100111_2-10

 

					+

B = -218,67₁₀ = -1000011000,01100111_2-10

 

					-

 

6. Выполнить арифметические операции сложения и вычитания над двоичным и шестнадцатеричным представлением чисел А1 и А2, где А1=А, а число А2, получить прочтением числа А справа налево и последующим отделением в полученном числе двух десятичных знаков.

 

А1 = 218,67₁₀ = 11011010,10101011₂ = DA,AB₁₆

А2 = 768,12₁₀ = 1100000000,0001111₂ = 300,1Е₁₆

А1+А2= 1111011010,11001001₂ = 3DA,C9₁₆

A2-A1= 1000100101,01110011₂ = 225,73₁₆

 

 

Литература

1. Брябрин В.М. Программное обеспечение персональных ЭВМ. – М.: Наука, 1988. – 272 с .

2. Ефремов Г.О. Алгебра логики и контактные схемы. – М: Знание, 1969. – 32 с.

3. Черняк Н.Г. и др. Архитектура вычислительных систем и сетей: Учеб. пособие /Н.Г.Черняк, И.Н.Буравцева, Н.М.Пушкина. 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 1986. – 318 с.

4. Щербатюк Е. ASCII и другие. /Компьютерная газ. 1999, №47, 30 ноября. C.6

5. Фомин С.В. Системы счисления. 4-е изд – М.: Наука, 1980. – 48 с.

Содержание

Введение.............................................................................................................. 3

I. Арифметико-логические основы ЭВМ........................................................... 3

1. Понятие системы счисления........................................................................ 3

Позиционные и непозиционные системы счисления................................. 3

2. Позиционные системы счисления, используемые в ЭВМ......................... 7

2.1. Двоичная система счисления.............................................................. 7

2.2. Шестнадцатеричная система счисления........................................... 10

2.3. Смешанные системы счисления........................................................ 12

3. Перевод чисел из одной системы счисления в другую........................... 14

3.1. Перевод целых чисел........................................................................ 14

3.2. Перевод правильных дробей........................................................... 16

4. Формы записи чисел................................................................................. 20

Нормализация........................................................................................... 20

5. Системы кодирования............................................................................... 21

5.1. Кодирование символьной информации........................................... 21

5.2. Кодирование графической информации.......................................... 24

5.3. Кодирование звуковой информации................................................ 25

6. Прямой, обратный и дополнительный коды........................................... 25

7. Представление информации в памяти ЭВМ............................................ 28

8. Логические основы ЭВМ.......................................................................... 32

II. Набор заданий............................................................................................... 36

Задание 1.Примеры с ответами.................................................................... 36

Задание 2.Самостоятельная работа............................................................. 39

Задание 3.Самоконтроль.............................................................................. 40

Задание 4.Алгебра логики............................................................................ 42

Задание 5.Индивидуальное.......................................................................... 45

Методика выполнения индивидуального задания...................................... 46

Литература........................................................................................................ 48

Содержание....................................................................................................... 48