Непрерывность функции. Точки разрыва. Асимптоты графика функции

 

 

 

Рассмотрим функцию

Функция определена в точке =1.

По виду графика замечаем, что если точка х приближается к 1, оставаясь меньше 1, т.е. слева, то соответствующие значения функции всё меньше отличаются от 1. Говорят, что 1 – есть предел функции f(x) слева в точке =1.

По графику при приближении х к 1 справа, т.е. когда х принимает значения больше 1, соответствующие значения функции как угодно близко приближаются к 2. Говорят, что 2 – предел функции справа в точке =1.

Записывают, и

Такие пределы называются односторонними.

Теорема.

Функция у=f(x) имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существует правый и левый пределы и они равны. В этом случае их общее значение и является пределом функции f(x) в точке .

Пример.

Найти предел функции в точке =0.

Согласно теореме, функция f(x) в точке =0 предела не имеет.

 

Функция у=f(x) называется непрерывной в точке , если:

1)функция определена в этой точке;

2)в некоторой окрестности точки существует предел функции в точке , который совпадает со значением функции в этой точке.

Т.е.

При невыполнении одного из этих условий функция терпит разрыв в точке .

 

Рассмотрим классификацию точек разрыва.

Точка называется точкой разрыва I рода функции f(x) , если в этой точке существуют конечные пределы справа и слева в точке , не равные друг другу.

Точка называется точкой разрыва II рода функции f(x) , если в этой точке правый или левый пределы не существуют или являются бесконечными.

 

Пример.

Найдите точки разрыва функции f(x) и выясните характер этих точек.

а)

Функция определена на всей числовой прямой. Найдем односторонние пределы в точке =1

,

Односторонние пределы существуют, конечны, но не равны друг другу, следовательно =1 – точка разрыва I рода.

 

б) f(x)=

Функция определена всюду, кроме точки = -1, значит = -1 – точка разрыва. Установим какого рода.

,

Значит, = -1 – точка разрыва II рода.

в)

Функция определена всюду, кроме точки = 1, значит = 1 – точка разрыва. Установим какого рода.

,

Поскольку односторонние пределы в точке 1 бесконечны, то = 1 – точка разрыва II рода.

 

Исследуем функцию в окрестности точки = 0

,

 

Односторонние пределы существуют, конечны, равны друг другу, проверим значение функции в точке =0

f()=f(0)=

Значение функции совпадает с односторонними пределами, следовательно, в точке =0 разрыва нет.

 

УПРАЖНЕНИЕ:

Определите точки разрыва функции, их характер и постройте схематичный график функции

1. у =

2.у =

3. у =

4. у =

5.

6. у =

7.у =

8. у =

9. у = 3

10. у =

11. у =

12. у=

Асимптоты графика функции

Прямая L называется асимптотой кривой, заданной уравнением y = f(x), если расстояние между точками кривой и прямой стремится к нулю с удалением точки на кривой от начала координат.

Существуют вертикальные, наклонные или горизонтальные асимптоты.

х = а – вертикальная асимптота, если - точка разрыва II рода

- наклонная асимптота, если существуют конечные k и b, которые вычисляются по формулам:

Если , то - горизонтальная асимптота.

Пример

Найдите асимптоты графика функции

D(y) = (

Тогда =0 – точка разрыва. Установим характер разрыва.

Установили, что =0 – точка разрыва II рода, х = 0 – вертикальная асимптота

Проверим, имеет ли график наклонные асимптоты вида

Получили, что =1х+0, т.е. у = х – наклонная асимптота.

УПРАЖНЕНИЕ:

Найдите асимптоты кривых

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

н)