Реферат Курсовая Конспект
Определенный интеграл - раздел Компьютеры, Непрерывность функции. Точки разрыва. Асимптоты графика функции Понятие Определенного Интеграла. ...
|
Понятие определенного интеграла.
Рассмотрим функцию определенную и непрерывную на некотором отрезке числовой прямой. Разобьем на n отрезков длины точками . На каждом i-том отрезке берем произвольную точку . Вычисляем значение функции в каждой из этих точек и умножаем его на длину соответствующего отрезка . После чего суммируем по всем отрезкам .
Полученное выражение называют интегральной суммой. Понятие интегральной суммы играет определяющую роль в определении всех интегралов.
Если предел интегральной суммы при стремлении к нулю максимальной длины не зависит ни от способа разбиения отрезка на промежутки , ни от способа выбора точек в каждом из этих промежутков, то он называется определенным интегралом от функции в пределах от а до b и обозначается: .
Свойства определенного интеграла.
I.
II.
III.
IV.
V.
VI. Если для всех , то
VII. , если a<b.
VIII. Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на , то существует точка , такая что
Формула Ньютона-Лейбница
Пусть непрерывна на и переменная . Тогда совокупность всех первообразных для этой функции можно выразить формулой . Легко видеть, что . Откуда, заменив переменную интегрирования снова на х, получим формулу Ньютона –Лейбница:
Для того чтобы вычислить определенный интеграл, прежде всего вычисляется одна из первообразных F(x), затем вычисляется значение этой функции в точке b и вычитается её значение в точке а.
Пример.
Вычислить
.
*Вычислить интегралы.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
*Вычислить интегралы, используя подходящие замены переменной.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
*Вычислить, используя интегрирование по частям.
1.
2.
3.
4.
5.
Часть плоскости, ограниченная кривой у=f(x) , осью Ох и прямыми х=a, х=b называется криволинейной трапецией.
Площадь криволинейной трапеции вычисляется при помощи определенного интеграла.
В случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой у=f(x) , осью Ох и прямыми х=a, х=b, лежит под осью Ох, площадь находится по формуле:
Если фигура, ограниченная кривой у=f(x) , осью Ох и прямыми х=a, х=b, расположена по обе стороны от оси Ох, то:
Пусть, наконец, фигура S ограничена двумя пересекающимися прямыми кривыми , где и прямыми х=a, х=b,тогда площадь находится по формуле:
*Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11) , где - точки в которых функция, задающая первую линию, имеет максимум.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Правила дифференцирования... Таблица производных основных функций...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Определенный интеграл
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов