рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Определенный интеграл

Определенный интеграл - раздел Компьютеры, Непрерывность функции. Точки разрыва. Асимптоты графика функции   Понятие Определенного Интеграла. ...

 

Понятие определенного интеграла.

 

Рассмотрим функцию определенную и непрерывную на некотором отрезке числовой прямой. Разобьем на n отрезков длины точками . На каждом i-том отрезке берем произвольную точку . Вычисляем значение функции в каждой из этих точек и умножаем его на длину соответствующего отрезка . После чего суммируем по всем отрезкам .

Полученное выражение называют интегральной суммой. Понятие интегральной суммы играет определяющую роль в определении всех интегралов.

Если предел интегральной суммы при стремлении к нулю максимальной длины не зависит ни от способа разбиения отрезка на промежутки , ни от способа выбора точек в каждом из этих промежутков, то он называется определенным интегралом от функции в пределах от а до b и обозначается: .

Свойства определенного интеграла.

 

I.

II.

III.

IV.

V.

VI. Если для всех , то

VII. , если a<b.

VIII. Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на , то существует точка , такая что


 

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть непрерывна на и переменная . Тогда совокупность всех первообразных для этой функции можно выразить формулой . Легко видеть, что . Откуда, заменив переменную интегрирования снова на х, получим формулу Ньютона –Лейбница:

Для того чтобы вычислить определенный интеграл, прежде всего вычисляется одна из первообразных F(x), затем вычисляется значение этой функции в точке b и вычитается её значение в точке а.

Пример.

Вычислить

.

*Вычислить интегралы.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

*Вычислить интегралы, используя подходящие замены переменной.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

*Вычислить, используя интегрирование по частям.

1.

2.

3.

4.

5.

Часть плоскости, ограниченная кривой у=f(x) , осью Ох и прямыми х=a, х=b называется криволинейной трапецией.

 
 

 

 


Площадь криволинейной трапеции вычисляется при помощи определенного интеграла.

 

В случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой у=f(x) , осью Ох и прямыми х=a, х=b, лежит под осью Ох, площадь находится по формуле:

 
 

 


Если фигура, ограниченная кривой у=f(x) , осью Ох и прямыми х=a, х=b, расположена по обе стороны от оси Ох, то:

 
 

 

 


Пусть, наконец, фигура S ограничена двумя пересекающимися прямыми кривыми , где и прямыми х=a, х=b,тогда площадь находится по формуле:

 
 

 

 


*Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11) , где - точки в которых функция, задающая первую линию, имеет максимум.


 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Непрерывность функции. Точки разрыва. Асимптоты графика функции

Правила дифференцирования.. таблица производных основных функций..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Определенный интеграл

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Непрерывность функции. Точки разрыва. Асимптоты графика функции
     

Уравнение касательной и нормали к плоской кривой
у1 у0

Эластичность функции
  Будем рассматривать дифференцируемую функцию . Как и ранее,

Вычисление дифференциала функции
Дифференциалом функции у=f(x) называется произведение производной этой функции на произвольно

Приближенные вычисления.
  Формулу используют для приближённого вычисления значений функций. Допускаемая при этом

Применение производной к исследованию функции
  Функция y=f(x) называется возрастающей в промежутке , ес

Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл и его свойства
Будем считать, что мы достаточно хорошо освоили операцию дифференцирования одной переменной и, используя таблицу производных и основные правила дифференцирования, уверенно вычисляем производные осн

Основные свойства неопределенного интеграла
1° 2°

Несколько стандартных правил интегрирования
  Правило подведения под знак дифференциала.   Правило основано на следующем очевидном утверждении, которое следует из инвариантности фо

Дифференциальные уравнения
Некоторые понятия теории дифференциальных уравнений. Многие процессы экономики, физики, химии, астрономии, биологии описываются одной функцией у=у(х), заданной на некотором множеств

Дифференциальные уравнения I порядка
  Простейшим дифференциальным уравнением I порядка называется дифференциальное уравнение вида

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
До сих пор мы ограничивались рассмотрением дифференциальных уравнений первого порядка, т.е. таких уравнений, в которые искомая функция входит только под знаком первой производной. Но в приложениях

Теорема 2. Для того чтобы функция являлась решением уравнения (2), необходимо и достаточно, чтобы число являлось корнем уравнения
(4)   Доказательство. Очевидно, что для указанной функ

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги