рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Дифференциальные уравнения I порядка

Дифференциальные уравнения I порядка - раздел Компьютеры, Непрерывность функции. Точки разрыва. Асимптоты графика функции   Простейшим Дифференциальным Уравнением I Порядка Называется Д...

 

Простейшим дифференциальным уравнением I порядка называется дифференциальное уравнение вида (2) , где f(x) – функция, определенная и непрерывная на некотором множестве Х R

Общее решение уравнения (2) может быть записано в виде , где F(x) - одна из первообразных функции f(x), С – произвольное действительное число.

Пример 1.

Запишите общее решение дифференциального уравнения

 

Одна из первообразных функции будет .

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения

Пример 2.

Найдите решение следующей задачи

Функция определена на каждом из промежутков

Одной из первообразных функции будет область определения которой совпадает с указанным выше интервалом.

Тогда общее решение имеет вид . Подберем значение С так, чтобы получить решение задачи . Подставляя в общее решение, получаем . Итак, решением рассматриваемой задачи будет функция .

 

Представив производную в виде отношения дифференциалов , уравнение (2) можно записать в так называемой дифференциальной форме:

, где - некоторые функции переменных х и у.

Если функция такова, что её можно представить в виде произведения двух функций, из которых одна является функцией переменной х , а другая – переменной у, то уравнение (2) можно записать в виде:

(3)

В таком случае уравнение называют дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Например, уравнение можно записать в виде (3)

Уравнение нельзя представить таким образом.

Итак, уравнение с разделяющимися переменными - .

Общее решение получают в виде: (4)

.


Пример

а)

б)


Определение.

Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется уравнение вида (5)

где - функции, определенные и непрерывные на

Если на, то уравнение (5) называется однородным:

Однородное дифференциальное уравнение I порядка относится к типу уравнений с разделяющимися переменными.

Полагая, что и разделив последнее уравнение, получим

Из него находим, что

Итак, - это и есть общее решение однородного дифференциального уравнения I порядка.

Пример.

Постройте общее решение уравнения

Уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением I порядка.

В рассматриваемом примере , значит ,

Подставим найденный интеграл в формулу общего решения

Теорема.

Пусть - функции, определенные и непрерывные на . Тогда общее решение уравнения (5) имеет вид (6)

Это утверждение проверяется непосредственной подстановкой.

Пример.

Постройте общее решение уравнения

Это дифференциальное неоднородное уравнение I порядка, поэтому общее решение будем искать по формуле (6).

, значит

- общее решение искомого уравнения.


– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Непрерывность функции. Точки разрыва. Асимптоты графика функции

Правила дифференцирования.. таблица производных основных функций..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Дифференциальные уравнения I порядка

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Непрерывность функции. Точки разрыва. Асимптоты графика функции
     

Уравнение касательной и нормали к плоской кривой
у1 у0

Эластичность функции
  Будем рассматривать дифференцируемую функцию . Как и ранее,

Вычисление дифференциала функции
Дифференциалом функции у=f(x) называется произведение производной этой функции на произвольно

Приближенные вычисления.
  Формулу используют для приближённого вычисления значений функций. Допускаемая при этом

Применение производной к исследованию функции
  Функция y=f(x) называется возрастающей в промежутке , ес

Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл и его свойства
Будем считать, что мы достаточно хорошо освоили операцию дифференцирования одной переменной и, используя таблицу производных и основные правила дифференцирования, уверенно вычисляем производные осн

Основные свойства неопределенного интеграла
1° 2°

Несколько стандартных правил интегрирования
  Правило подведения под знак дифференциала.   Правило основано на следующем очевидном утверждении, которое следует из инвариантности фо

Определенный интеграл
  Понятие определенного интеграла.   Рассмотрим функцию

Дифференциальные уравнения
Некоторые понятия теории дифференциальных уравнений. Многие процессы экономики, физики, химии, астрономии, биологии описываются одной функцией у=у(х), заданной на некотором множеств

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
До сих пор мы ограничивались рассмотрением дифференциальных уравнений первого порядка, т.е. таких уравнений, в которые искомая функция входит только под знаком первой производной. Но в приложениях

Теорема 2. Для того чтобы функция являлась решением уравнения (2), необходимо и достаточно, чтобы число являлось корнем уравнения
(4)   Доказательство. Очевидно, что для указанной функ

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги