Реферат Курсовая Конспект
Дифференциальные уравнения I порядка - раздел Компьютеры, Непрерывность функции. Точки разрыва. Асимптоты графика функции Простейшим Дифференциальным Уравнением I Порядка Называется Д...
|
Простейшим дифференциальным уравнением I порядка называется дифференциальное уравнение вида (2) , где f(x) – функция, определенная и непрерывная на некотором множестве Х R
Общее решение уравнения (2) может быть записано в виде , где F(x) - одна из первообразных функции f(x), С – произвольное действительное число.
Пример 1.
Запишите общее решение дифференциального уравнения
Одна из первообразных функции будет .
Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения
Пример 2.
Найдите решение следующей задачи
Функция определена на каждом из промежутков
Одной из первообразных функции будет область определения которой совпадает с указанным выше интервалом.
Тогда общее решение имеет вид . Подберем значение С так, чтобы получить решение задачи . Подставляя в общее решение, получаем . Итак, решением рассматриваемой задачи будет функция .
Представив производную в виде отношения дифференциалов , уравнение (2) можно записать в так называемой дифференциальной форме:
, где - некоторые функции переменных х и у.
Если функция такова, что её можно представить в виде произведения двух функций, из которых одна является функцией переменной х , а другая – переменной у, то уравнение (2) можно записать в виде:
(3)
В таком случае уравнение называют дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Например, уравнение можно записать в виде (3)
Уравнение нельзя представить таким образом.
Итак, уравнение с разделяющимися переменными - .
Общее решение получают в виде: (4)
.
Пример
а)
б)
Определение.
Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется уравнение вида (5)
где - функции, определенные и непрерывные на
Если на, то уравнение (5) называется однородным:
Однородное дифференциальное уравнение I порядка относится к типу уравнений с разделяющимися переменными.
Полагая, что и разделив последнее уравнение, получим
Из него находим, что
Итак, - это и есть общее решение однородного дифференциального уравнения I порядка.
Пример.
Постройте общее решение уравнения
Уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением I порядка.
В рассматриваемом примере , значит ,
Подставим найденный интеграл в формулу общего решения
Теорема.
Пусть - функции, определенные и непрерывные на . Тогда общее решение уравнения (5) имеет вид (6)
Это утверждение проверяется непосредственной подстановкой.
Пример.
Постройте общее решение уравнения
Это дифференциальное неоднородное уравнение I порядка, поэтому общее решение будем искать по формуле (6).
, значит
- общее решение искомого уравнения.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Правила дифференцирования... Таблица производных основных функций...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Дифференциальные уравнения I порядка
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов