Дифференциальные уравнения I порядка

 

Простейшим дифференциальным уравнением I порядка называется дифференциальное уравнение вида (2) , где f(x) – функция, определенная и непрерывная на некотором множестве Х R

Общее решение уравнения (2) может быть записано в виде , где F(x) - одна из первообразных функции f(x), С – произвольное действительное число.

Пример 1.

Запишите общее решение дифференциального уравнения

 

Одна из первообразных функции будет .

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения

Пример 2.

Найдите решение следующей задачи

Функция определена на каждом из промежутков

Одной из первообразных функции будет область определения которой совпадает с указанным выше интервалом.

Тогда общее решение имеет вид . Подберем значение С так, чтобы получить решение задачи . Подставляя в общее решение, получаем . Итак, решением рассматриваемой задачи будет функция .

 

Представив производную в виде отношения дифференциалов , уравнение (2) можно записать в так называемой дифференциальной форме:

, где - некоторые функции переменных х и у.

Если функция такова, что её можно представить в виде произведения двух функций, из которых одна является функцией переменной х , а другая – переменной у, то уравнение (2) можно записать в виде:

(3)

В таком случае уравнение называют дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Например, уравнение можно записать в виде (3)

Уравнение нельзя представить таким образом.

Итак, уравнение с разделяющимися переменными - .

Общее решение получают в виде: (4)

.

Пример

а)

б)

Определение.

Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется уравнение вида (5)

где - функции, определенные и непрерывные на

Если на, то уравнение (5) называется однородным:

Однородное дифференциальное уравнение I порядка относится к типу уравнений с разделяющимися переменными.

Полагая, что и разделив последнее уравнение, получим

Из него находим, что

Итак, - это и есть общее решение однородного дифференциального уравнения I порядка.

Пример.

Постройте общее решение уравнения

Уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением I порядка.

В рассматриваемом примере , значит ,

Подставим найденный интеграл в формулу общего решения

Теорема.

Пусть - функции, определенные и непрерывные на . Тогда общее решение уравнения (5) имеет вид (6)

Это утверждение проверяется непосредственной подстановкой.

Пример.

Постройте общее решение уравнения

Это дифференциальное неоднородное уравнение I порядка, поэтому общее решение будем искать по формуле (6).

, значит

- общее решение искомого уравнения.