Реферат Курсовая Конспект
Теорема 2. Для того чтобы функция являлась решением уравнения (2), необходимо и достаточно, чтобы число являлось корнем уравнения - раздел Компьютеры, Непрерывность функции. Точки разрыва. Асимптоты графика функции ...
|
(4)
Доказательство. Очевидно, что для указанной функции будем иметь и Но тогда условие «решение уравнения (2)» эквивалентно условию «», а это последнее- уравнению (4).
Теорема доказана.
Примечание. Уравнение (4) носит название характеристического уравнения для дифференциального уравнения (2).
Рассмотрим различные случаи разрешимости уравнения (4).
Случай 1. Дискриминант уравнения (4) положителен.
В этом случае уравнение (4) имеет два действительных различных корня, которые мы обозначаем и Каждый из этих корней порождает соответствующее решение и Очевидно, что отношение функций и отлично от постоянной величины, и поэтому общее решение линейного однородного дифференциального уравнения (2) будет иметь вид:
Случай 2. Дискриминант уравнения (4) равен нулю.
Условие равенства нулю дискриминанта уравнения (4) эквивалентно условию В этом случае уравнение (4) имеет два совпадающих корня:
Эти корни порождают одно частное решение уравнения (2), и для построения общего решения уравнения (2) нам необходимо еще одно решение.
Покажем, что в рассматриваемом случае еще одним решением уравнения (2) будет функция
Действительно,
Подставляя эти выражения в уравнение (2), получим
(здесь учтено, что ).
Очевидно, что и в этом случае отношение функций и отлично от постоянной, и поэтому общее решение уравнения (2) будет иметь вид:
(6)
Третий случай- случай, когда дискриминант уравнения (3) будет отрицательным, будет рассмотрен нами позже.
Пример 1. Построим общее решение уравнения
Решение. Характеристическое уравнение (4) для дифференциального уравнения будет иметь вид: а его корнями будут числа и Это означает, что мы имеем случай 1 (случай положительного дискриминанта уравнения (4)), и общее решение рассматриваемого уравнения в соответствии с формулой (5) будет иметь вид:
Пример 2. Построим общее решение уравнения
Решение. Для данного дифференциального уравнения характеристическое уравнение (4) будет иметь вид: Дискриминант этого уравнения равен нулю, и мы имеем случай 2. Корнями характеристического уравнения (4) будут а общее решение, в соответствии с формулой (6), имеет вид
Перейдем теперь к рассмотрению линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка(1).
Принципиальное значение в проблеме построения его общего решения имеет следующая теорема.
Теорема 3. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (1) имеет вид:
(7)
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Правила дифференцирования... Таблица производных основных функций...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теорема 2. Для того чтобы функция являлась решением уравнения (2), необходимо и достаточно, чтобы число являлось корнем уравнения
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов