рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Для того чтобы функция являлась решением уравнения, необходимо и достаточно, чтобы число являлось корнем уравнения

Для того чтобы функция являлась решением уравнения, необходимо и достаточно, чтобы число являлось корнем уравнения - раздел Компьютеры, Непрерывность функции. Точки разрыва. Асимптоты графика функции ...

(4)

 

Доказательство. Очевидно, что для указанной функции будем иметь и Но тогда условие «решение уравнения (2)» эквивалентно условию «», а это последнее- уравнению (4).

Теорема доказана.

Примечание. Уравнение (4) носит название характеристического уравнения для дифференциального уравнения (2).

 

Рассмотрим различные случаи разрешимости уравнения (4).

Случай 1. Дискриминант уравнения (4) положителен.

В этом случае уравнение (4) имеет два действительных различных корня, которые мы обозначаем и Каждый из этих корней порождает соответствующее решение и Очевидно, что отношение функций и отлично от постоянной величины, и поэтому общее решение линейного однородного дифференциального уравнения (2) будет иметь вид:

 

Случай 2. Дискриминант уравнения (4) равен нулю.

Условие равенства нулю дискриминанта уравнения (4) эквивалентно условию В этом случае уравнение (4) имеет два совпадающих корня:

Эти корни порождают одно частное решение уравнения (2), и для построения общего решения уравнения (2) нам необходимо еще одно решение.

Покажем, что в рассматриваемом случае еще одним решением уравнения (2) будет функция

Действительно,

 

Подставляя эти выражения в уравнение (2), получим

(здесь учтено, что ).

Очевидно, что и в этом случае отношение функций и отлично от постоянной, и поэтому общее решение уравнения (2) будет иметь вид:

(6)

 

Третий случай- случай, когда дискриминант уравнения (3) будет отрицательным, будет рассмотрен нами позже.

Пример 1. Построим общее решение уравнения

Решение. Характеристическое уравнение (4) для дифференциального уравнения будет иметь вид: а его корнями будут числа и Это означает, что мы имеем случай 1 (случай положительного дискриминанта уравнения (4)), и общее решение рассматриваемого уравнения в соответствии с формулой (5) будет иметь вид:

Пример 2. Построим общее решение уравнения

Решение. Для данного дифференциального уравнения характеристическое уравнение (4) будет иметь вид: Дискриминант этого уравнения равен нулю, и мы имеем случай 2. Корнями характеристического уравнения (4) будут а общее решение, в соответствии с формулой (6), имеет вид

Перейдем теперь к рассмотрению линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка(1).

Принципиальное значение в проблеме построения его общего решения имеет следующая теорема.

Теорема 3. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (1) имеет вид:

(7)

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Непрерывность функции. Точки разрыва. Асимптоты графика функции

Правила дифференцирования.. таблица производных основных функций..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Для того чтобы функция являлась решением уравнения, необходимо и достаточно, чтобы число являлось корнем уравнения

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Непрерывность функции. Точки разрыва. Асимптоты графика функции
     

Уравнение касательной и нормали к плоской кривой
у1 у0

Эластичность функции
  Будем рассматривать дифференцируемую функцию . Как и ранее,

Вычисление дифференциала функции
Дифференциалом функции у=f(x) называется произведение производной этой функции на произвольно

Приближенные вычисления
  Формулу используют для приближённого вычисления значений функций. Допускаемая при этом

Применение производной к исследованию функции
  Функция y=f(x) называется возрастающей в промежутке , ес

Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл и его свойства
Будем считать, что мы достаточно хорошо освоили операцию дифференцирования одной переменной и, используя таблицу производных и основные правила дифференцирования, уверенно вычисляем производные осн

Основные свойства неопределенного интеграла
1° 2°

Несколько стандартных правил интегрирования
  Правило подведения под знак дифференциала.   Правило основано на следующем очевидном утверждении, которое следует из инвариантности фо

Определенный интеграл
  Понятие определенного интеграла.   Рассмотрим функцию

Дифференциальные уравнения
Некоторые понятия теории дифференциальных уравнений. Многие процессы экономики, физики, химии, астрономии, биологии описываются одной функцией у=у(х), заданной на некотором множеств

Дифференциальные уравнения I порядка
  Простейшим дифференциальным уравнением I порядка называется дифференциальное уравнение вида

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
До сих пор мы ограничивались рассмотрением дифференциальных уравнений первого порядка, т.е. таких уравнений, в которые искомая функция входит только под знаком первой производной. Но в приложениях

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги