Применение производной к исследованию функции

 

Функция y=f(x) называется возрастающей в промежутке , если для любых и , принадлежащих этому промежутку и таких , что < , имеет место неравенство .

 

 

f(х₂)

 

 

f(х₁)

 

Функция y=f(x) называется убывающей в промежутке , если для любых и , принадлежащих этому промежутку и таких , что < , имеет место неравенство .

 

 

f(x₂)

 

 

Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.

Возрастание и убывание функции y=f(x) характеризуется знаком её производной.

Теорема

Для того чтобы дифференцируемая на функция y=f(x) не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно чтобы для всех х из этого интервала.

Если же для любого х из то функция y=f(x) монотонно возрастает (монотонно убывает) на этом интервале.

Из теоремы следует, что для того чтобы функция y=f(x) была постоянной на , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

 

 

 

 

Внутренние точки области определения, в которых производная не существует или равна нулю, называются критическими.

Точка из области определения D(f) точкой максимума (минимума) этой функции, если существует такой интервал , , не выходящий из области определения D(f), что для всех х ≠ , выполняется неравенство

 

 

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумы функции.

Следующая теорема показывает, что точки экстремума следует искать среди критических точек функции.

Теорема Ферма

Если точка - точка экстремума функции y=f(x) и в этой точке существует производная, то

Свойство выпуклости (вогнутости) функции как и монотонности интуитивно понятно из геометрических представлений о графике функции:

а) б)

 

График а) естественно назвать выпуклым вверх, а график б) - выпуклым вниз.

Введем понятие выпуклости для дифференцируемых функций на интервале в каждой точке графика функции, в которой можно провести касательную.

Определение. Дифференцируемая на интервале (а;b) функция f(x) называется выпуклой вверх (вниз), если для любого и х из этого промежутка справедливо неравенство: ()

Т.е. дифференцируемая функция выпуклая вверх (вниз) на (а;b) если все точки графика функции лежат не выше (не ниже) касательной, проведенной к графику функции в любой точке из (а;b).

Теорема(достаточное условие выпуклости функции)

Пусть функция у=f(x) определена и дважды дифференцируема на (а;b), существует тогда если >0 на (а;b), то на этом промежутке функция выпуклая вниз (вогнутая), если <0, то на этом промежутке функция выпуклая вверх (выпуклая).

Определение. Точка из D(f) функции f(x) называется точкой перегиба, если:

1.в этой точке функция непрерывна;

2.существует интервал (а;b), такой, что на интервалах направления выпуклости противоположны, т.е. в точке выпуклость сменяется вогнутостью или наоборот.

 

 

Теорема. (необходимое условие точки перегиба)

Пусть дана функция у=f(x) дважды дифференцируемая на (а;b). Если в точке график имеет перегиб и существует конечная вторая производная , то =0.

Теперь можно указать схему исследования функции на выпуклость (вогнутость):

1. Устанавливаем D(f)

2. Находим вторую производную

3. Определяем точки разрыва второй производной и из уравнения =0 – нули второй производной

4. Найденными точками разбиваем D(f) на интервалы, в каждом из которых определяем знак второй производной. Строим кривую знаков.

5. По кривой делаем вывод о выпуклости (вогнутости) функции и наличии точек перегиба.

 

Пример.

Исследовать на выпуклость функции а) , б)

а) Область определения данной функции D(f)=R

Нулей не имеет . Точкой разрыва является точка =0

 

- -

 

 

На интервалах (-;0) и (0;)функция выпуклая вверх. Точек перегиба нет.

 

б) D(y)=R {0}

Точка разрыва второй производной =0, нули второй производной найдем из уравнения

+ - +

-2

 

 

На (-;-2) и (0;) функция выпуклая вниз (вогнутая), на (-2;0)- выпуклая вверх (выпуклая), точка перегиба.

 

Наиболее полное исследование функции и построение её графика можно провести по следующей схеме:

1. Найти область определения функции.

2. Четность, периодичность.

3. Исследовать функцию на непрерывность: наличие точек разрыва, их характеристика; асимптоты графика.

4. Найти точки пересечения графика с осями координат.

5. Определить критические точки, промежутки возрастания и убывания функции, а также экстремумы функции.

6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

7. Построение графика.

Пример.

Построить график функции

1.

2.Функция не является ни чётной ни нечётной; кроме того, она не является периодической.

3.Функция непрерывна в области определения.

х=2 – точка разрыва

Исследуем функцию в окрестности точки х=2

Следовательно, х=2 – вертикальная асимптота

Найдем наклонные:

является наклонной асимптотой графика функции.

4. (0;), (-1;0) – точки пересечения с координатными осями.

5.

- критические точки.

 

+ - - +

 

Найдем экстремумы функции:

6.

 

Вторая производная в нуль не обращается на всей области определения функции.

 

- +