Однородные координаты и матричное представление двумерных преобразований

Преобразования переноса, масштабирования и поворота в матричной форме записываются в виде

К сожалению, перенос реализуется отдельно (с помощью сложения) от масштабирования и поворота (с помощью умножения). Хотелось бы представить их таким способом, чтобы все эти три элементарных преобразования можно было легко объединять вместе. Ниже в этом разделе показано, как это можно сделать.

Если мы выразим точки в однородных координатах, то все три преобразования можно реализовать с помощью умножений. Однородные координаты были введены в геометрии и впоследствии использованы в графике. С однородными координатами и преобразованиями над ними работают многие пакеты графических подпрограмм и некоторые дисплейные процессоры. В одних случаях эти координаты используются прикладной программой непосредственно при задании параметров для графического пакета, в других — применяются лишь внутри самого пакета и недоступны для программиста.

В однородных координатах точка Р (х, у) записывается как P(W∙ x, W ∙ y, W) для любого масштабного множителя W≠0. При этом если для точки задано ее представление в однородных координатах Р(Х, Y, W), то можно найти ее двумерные декартовы координаты как x=X/W и y=Y/W. В этой главе W всегда будет равно 1, поэтому операция деления не требуется. Однородные координаты можно представить как вложение промасштабированной с коэффициентом W двумерной плоскости в плоскость z=W (здесь z = 1) в трехмерном пространстве.

Точки теперь описываются трехэлементными вектор-строками, поэтому матрицы преобразований, на которые умножается вектор точки, чтобы получить другой вектор точки, должны иметь размер 3x3. Уравнения переноса записываются в виде матрицы преобразования однородных координат следующим образом:

 

где

Что будет, если точку Ρ перенести в точку Р' на расстояние (Dx₁, Dy₁), а затем в Р" на расстояние (Dx₂ Dy₂). Интуитивно ожидаемый результат в этом случае представляет собой суммарный перенос на расстояние (Dx₁+Dx₂, Dy₁+Dy₂). Чтобы доказать это, запишем данные в виде

Теперь получим:

 

Матричное произведение Τ(Dx₁, Dy₁) ∙ T(Dx₂, Dy₂) есть

 

Действительно, результирующий перенос есть (Dx₁+Dx₂, Dy₁+ Dy₂). Матричное произведение в разных случаях называют объединением, соединением, конкатенацией и композицией матриц T(Dx₁, Dy₂) и T(Dx₂, Dy₂). В этой главе мы будем использовать термин композиция.

Уравнения масштабирования в матричной форме записываются в виде

Определяя

имеем

Так же как последовательные переносы являются аддитивными, можно ожидать, что последовательные масштабирования будут мультипликативными. Если заданы

то получим:

Матричное произведение S(Sx₁, Sy₁)∙S(Sx₂, Sy₂) есть

Таким образом, масштабирования в самом деле мультипликативны. И, наконец, уравнения поворота можно представить в виде:

Полагая

Имеем