Рассмотрим задачу построения растрового изображения отрезка, соединяющего точки A(xa, ya) и B(xb, yb). Для простоты будем считать, что
0 ≤ yb – ya ≤ xb – xa . Тогда отрезок описывается уравнением:
y = ya + (x–xa), x Є [xa, xb] или y = kx + b.
Отсюда получаем простейший алгоритм растрового представления отрезка:
private void MyLine(int xa, int ya, int xb, int yb, Color color)
{
double k = ((double)(yb - ya)) / (xb - xa);
double b = ya - k * xa;
Bitmap bmp;
bmp = new Bitmap(this.ClientSize.Width,
this.ClientSize.Height);
for (int x = xa; x <= xb; x++){
bmp.SetPixel(x, (int) (k*x + b), color);}
Graphics gr = CreateGraphics();
gr.DrawImage(bmp, 0, 0);
}
Вычислений значений функции y = kx + b можно избежать, используя в цикле рекуррентные соотношения, так как при изменении x на 1 значение y меняется на k:
private void MyLineN(int xa, int ya, int xb, int yb, Color color)
{
double k = ((double)(yb - ya)) / (xb - xa);
double y = ya;
Bitmap bmp;
bmp = new Bitmap(this.ClientSize.Width,
this.ClientSize.Height);
for (int x = xa; x <= xb; x++, y+= k){
bmp.SetPixel(x, (int)y, color);}
Graphics gr = CreateGraphics();
gr.DrawImage(bmp, 0, 0);
}
Приведенные простейшие пошаговые алгоритмы построения отрезка имеют ряд недостатков:
1. Выполняют операции над числами с плавающей точкой, а желательно было бы работать с целочисленной арифметикой;
2. На каждом шаге выполняется операция округления, что также снижает быстродействие.
Эти недостатки устранены в следующем алгоритме Брезенхейма.
Как и в предыдущем случае, будем считать, что тангенс угла наклона отрезка принимает значение в диапазоне от 0 до 1. Рассмотрим i-й шаг алгоритма (рис. 4.3). На этом этапе пиксель Pi-1 уже найден как ближайший к реальному отрезку. Требуется определить, какой из пикселей (Ti или Si) будет установлен следующим.
| Pi-1 = (r, q) = (xi-1, yi-1) |
| Si = (r+1, q) |
| Ti = (r+1,q+1) |
| S |
| T |
| y=x |
Рис. 4.3. i-й шаг алгоритма Брезенхейма
В алгоритме используется управляющая переменная di, которая на каждом шаге пропорциональна разности между S и T. Если S < T, то Si ближе к отрезку, иначе выбирается Ti.
Пусть изображаемый отрезок проходит из точки (x1, y1) в точку (x2, y2). Исходя из начальных условий, точка (x1, y1) ближе к началу координат. Тогда перенесем оба конца отрезка с помощью преобразования T(–x1, –y1), так чтобы первый конец отрезка совпал с началом координат. Начальной точкой отрезка стала точка (0, 0), конечной точкой – (dx, dy), где dx = x2 – x1, dy = y2 – y1 (рис. 4.4).
| y |
| q |
| r |
| r+1 |
| Pi-1 |
| S |
| T |
| x |
| dy |
Рис. 4.4. Вид отрезка после переноса в начало координат
Уравнение прямой в этом случае будет иметь вид:
y=x .
Обозначим координаты точки Pi-1 после переноса через (r, q). Тогда Si = (r+1, q) и Ti = (r+1, q+1).
Из подобия треугольников на рис. 4.4 можно записать, что
= .
Выразим S:
S = (r + 1) – q.
T можно представить как T = 1 – S. Используем предыдущую формулу
T = 1 – S = 1 – (r + 1) – q.
Найдем разницу S – T:
S – T = (r + 1) – q – 1 + (r + 1) – q = 2 (r + 1) – 2 q – 1.
Помножим левую и правую часть на dx:
dx (S – T) = 2 dy (r + 1) – 2 q dx – dx = 2 (r dy – q dx) + 2 dy – dx.
Величина dx положительная, поэтому неравенство dx (S – T) < 0 можно использовать в качестве проверки при выборе Si. Обозначим di = dx (S – T), тогда
di = 2 (r dy – q dx) + 2 dy – dx.
Поскольку r = xi-1 и q = yi-1, то
di = 2 xi-1 dy –2 yi-1 dx + 2 dy – dx.
Прибавляя 1 к каждому индексу найдем di+1:
di+1 = 2 xi dy –2 yi dx + 2 dy – dx.
Вычитая di из di+1 получим
di+1 – di = 2 dy (xi – xi-1) – 2 dx (yi – yi-1).
Известно, что xi – xi-1 = 1, тогда
di+1– di = 2 dy – 2 dx (yi – yi-1).
Отсюда выразим di+1:
di+1 = di + 2 dy – 2 dx (yi – yi-1).
Таким образом, получили итеративную формулу вычисления управляющего коэффициента di+1 по предыдущему значению di. С помощью управляющего коэффициента выбирается следующий пиксель – Si или Ti.
Если di ≥ 0, тогда выбирается Ti и yi = yi–1 + 1, di+1 = di +2 (dy – dx). Если di < 0, тогда выбирается Si и yi = yi–1 и di+1 = di +2 dy.
Начальные значения d1 с учетом того, что (x0, y0) = (0, 0),
d1 = 2 dy – dx.
Преимуществом алгоритма является то, что для работы алгоритма требуются минимальные арифметические возможности: сложение, вычитание и сдвиг влево для умножения на 2.
Реализация этого алгоритма выглядит следующим образом:
private void BLine(int x1, int y1, int x2, int y2, Color color)
{
int dx, dy, inc1, inc2, d, x, y, Xend;
dx = Math.Abs(x2 - x1);
dy = Math.Abs(y2 - y1);
d = (dy << 1) - dx;
inc1 = dy << 1;
inc2 = (dy - dx) << 1;
if (x1 > x2)
{
x = x2;
y = y2;
Xend = x1;
}
else
{
x = x1;
y = y1;
Xend = x2;
};
Bitmap bmp;
bmp = new Bitmap(this.ClientSize.Width,
this.ClientSize.Height);
bmp.SetPixel(x, y, color);
while (x < Xend)
{
x++;
if (d < 0) d = d + inc1;
else {y++; d = d + inc2;};
bmp.SetPixel(x, y, color);
}
Graphics gr = CreateGraphics();
gr.DrawImage(bmp, 0, 0);
}
Если dy > dx, то необходимо будет использовать этот же алгоритм, но пошагово увеличивая y и на каждом шаге вычислять x.
4.1.2. Растровая развёртка окружности
Существует несколько очень простых, но не эффективных способов преобразования окружностей в растровую форму. Например, рассмотрим для простоты окружность с центром в начале координат. Ее уравнение записывается как x2 + y2 = R2. Решая это уравнение относительно y, получим
y = ± .
Чтобы изобразить четвертую часть окружности, будем изменять x с единичным шагом от 0 до R и на каждом шаге вычислять y. Вторым простым методом растровой развертки окружности является использование вычислений x и y по формулам x = R cos α, y = R sin α при пошаговом изменении угла α от 0° до 90°.
Для упрощения алгоритма растровой развёртки стандартной окружности можно воспользоваться её симметрией относительно координатных осей и прямых y = ± x; в случае, когда центр окружности не совпадает с началом координат, эти прямые необходимо сдвинуть параллельно так, чтобы они прошли через центр окружности. Тем самым достаточно построить растровое представление для 1/8 части окружности, а все оставшиеся точки получить симметрией (см. рис. 4.5).
| (x, y) |
| (y, x) |
| (y, –x) |
| (x, –y) |
| (–x, y) |
| (–y, x) |
| (–y, –x) |
| (–x, –y) |
Рис. 4.5. Восьмисторонняя симметрия
Рассмотрим участок окружности из второго октанта x Є [0, R/ ]. Далее опишем алгоритм Брезенхейма для этого участка окружности.
На каждом шаге алгоритм выбирает точку Pi (xi, yi), которая является ближайшей к истинной окружности. Идея алгоритма заключается в выборе ближайшей точки при помощи управляющих переменных, значения которых можно вычислить в пошаговом режиме с использованием небольшого числа сложений, вычитаний и сдвигов.
Рассмотрим небольшой участок сетки пикселей, а также возможные способы (от A до E) прохождения истинной окружности через сетку (рис. 4.6).
Предположим, что точка Pi-1 была выбрана как ближайшая к окружности при x = xi-1. Теперь найдем, какая из точек (Si или Ti) расположена ближе к окружности при x = xi-1 + 1.
| A |
| B |
| C |
| D |
| E |
| Pi-1 =(xi-1, yi-1) |
| Si =(xi-1 + 1, yi-1) |
| Ti =(xi-1+1, yi-1 – 1) |
Рис. 4.6. Варианты прохождения окружности через растровую сетку
Заметим, что ошибка при выборе точки Pi (xi, yi) была равна
D(Pi) = (xi2+ yi2) – R2.
Запишем выражение для ошибок, получаемых при выборе точки Si или Ti:
D(Si) = [(xi-1+ 1)2 + (yi-1)2] – R2;
D(Ti) = [(xi-1+ 1)2 + (yi-1 – 1)2] – R2.
Если | D(Si) | ≥ | D(Ti) |, то Ti ближе к реальной окружности, иначе выбирается Si.
Введем di = | D(Si) | – | D(Ti) |.
Ti будет выбираться при di ≥ 0, в противном случае будет устанавливаться Si.
Опуская алгебраические преобразования, запишем di и di+1 для разных вариантов выбора точки Si или Ti.
D1 = 3 – 2 R.
Если выбирается Si (когда di < 0), то di+1 = di + 4 xi-1 + 6.
Если выбирается Ti (когда di ≥ 0), то di+1 = di + 4 (xi-1 – yi-1) + 10.
Существует модификация алгоритма Брезенхейма для эллипса.