Кривые Безье были разработаны в 60-х годах XX века независимо друг от друга Пьером Безье из автомобилестроительной компании «Рено» и Полем де Касталье (Кастельжо) из компании «Ситроен», где применялись для проектирования кузовов автомобилей. Благодаря простоте задания и манипуляции, кривые Безье нашли широкое применение в компьютерной графике для представления гладких линий.
Построение кривых Безье является решением задачи аппроксимации, то есть построения кривой по узловым точкам. При этом кривая не обязательно проходит через данные точки. В случае кривых Безье, кривая проходит через первую и последнюю точку, а промежуточные точки играют роль рычагов, задающих форму кривой.
Кривая Безье это параметрическая кривая, задаваемая выражением:
где Pi – функция компонент векторов опорных вершин, а bi,n(t) – базисные функции кривой Безье, называемые также полиномами Бернштейна.
где n – степень полинома, i – порядковый номер опорной вершины.
Наглядный метод построения этих кривых, предложенный де Кастелье, основан на разбиении отрезков, соединяющих исходные точки в отношении t (значение параметра), а затем в рекурсивном повторении этого процесса для полученных отрезков:
Нижний индекс – номер опорной точки, верхний индекс – уровень разбиения. Уравнение n-ого порядка задается
Вид кривой зависит от количества опорных точек. Наиболее часто используются линейные, квадратные, кубические и кривые четвертого порядка.