В параметрической форме кубическая кривая Безье (n = 3) описывается следующим уравнением:
B(t) = (1–t)3 P0 + 3t(1-t)2 P1 + 3t2(1-t) P2 + t3 P3 t Є [0, 1].
Для получения этой формулы используем аналогичным способом метод де Касталье.
Обозначим опорные точки, как , начало кривой положим в точке P0 (t = 0) , а конец - в точке P3 (t = 1); для каждого t Є [0, 1] найдем точку :
,
,
,
,
,
,
таким образом, получим кривую третьего порядка (рис. 4.8).
Рис. 4.8. Кривая Безье с четырьмя опорными точками
Четыре опорные точки P0, P1, P2 и P3, заданные в двух или трехмерном пространстве определяют форму кривой.
Линия берёт начало из точки P0 направляясь к P1 и заканчивается в точке P3 подходя к ней со стороны P2. То есть кривая не проходит через точки P1 и P2, они используются для указания её направления. Длина отрезка между P0 и P1 определяет, как скоро кривая повернёт к P3.
В матричной форме кубическая кривая Безье записывается следующим образом:
где MB называется базисной матрицей Безье: