Кривые Безье обладают рядом свойств:
1. непрерывность заполнения сегмента между начальной и конечной точками;
2. инвариантность относительно аффинных преобразований. Как следствие поворот вокруг точки, масштабирование и изменение пропорций кривой Безье не нарушает ее стабильности;
3. кривая Безье принадлежит выпуклой оболочке опорных точек, т.е. кривая всегда располагается внутри фигуры, образованной линиями, соединяющими контрольные точки;
4. если все опорные точки лежат на одной прямой, то кривая Безье вырождается в отрезок, соединяющий эти точки;
5. кривая Безье симметрична, то есть обмен местами между начальной и конечной точками (изменение направления траектории) не влияет на форму кривой;
6. степень многочлена, представляющего кривую в аналитическом виде, на единицу меньше числа опорных точек.
Одним из главных свойств кубических кривых Безье является возможность составления из них сплайнов.
Понятие сплайна пришло из машиностроения, где сплайном называли гибкую линейку, закрепив которую в нужных местах, добивались плавной формы кривой, и затем чертили ее по этой линейке.
В математике под сплайном обычно понимают кусочно-заданную функцию, совпадающую с функциями более простой природы на каждом элементе разбиения своей области определения.
В случае с кривыми Безье сплайн обычно составляется из нескольких кубических кривых. Если точка Pn является стыковочной точкой, для соблюдения условия гладкости кривой в ней, необходимо, что бы выполнялось условие коллинеарности с соседними узловыми точками (рис. 4.9).
Рис. 4.9. Соблюдение условия гладкости на стыке кривых Безье
Однако даже такие достаточно развитые средства аппроксимации кривыми Безье не позволяют построить окружность, описываемую параметрически как:
так как sin и cos для достаточно хорошего приближения требуют многочленов высокой степени.