Линейные фильтры представляют собой семейство фильтров, имеющих очень простое математическое описание. Вместе с тем они позволяют добиться самых разнообразных эффектов. Будем считать, что задано исходное полутоновое изображение A, и обозначим интенсивности его пикселей A(x, y). Линейный фильтр определяется вещественнозначной функцией F, заданной на растре. Данная функция называется ядром фильтра, а сама фильтрация производится при помощи операции дискретной свертки[1] (взвешенного суммирования):
Результатом служит изображение B. В приведенной формуле не определены пределы суммирования. Обычно ядро фильтра отлично от нуля только в некоторой окрестности N точки (0, 0). За пределами этой окрестности F(i, j) или в точности равно нулю, или очень близко к нему, так что можно им пренебречь. Поэтому суммирование производится по (i, j) Є N, и значение каждого пикселя B(x, y) определяется пикселями изображения A, которые лежат в окне N, центрированном в точке (x, y) (обозначим это множество N(x, y)). Ядро фильтра, заданное на прямоугольной окрестности N, может рассматриваться как матрица m×n, где длины сторон являются нечетными числами. При задании ядра матрицей Mkl, ее следует центрировать:
Также нуждается в дополнительном прояснении ситуация, когда пиксель (x, y) находится в окрестности краев изображения. В этом случае A(x+i, y+j) может соответствовать пикселю A, лежащему за границами изображения A. Данную проблему можно разрешить несколькими способами:
§ не проводить фильтрацию для таких пикселей, обрезав изображение B по краям или закрасив их, к примеру, черным цветом;
§ не включать соответствующий пиксель в суммирование, распределив его вес F(i, j) равномерно среди других пикселей окрестности N(x, y);
§ доопределить значения пикселей за границами изображения при помощи экстраполяции;
§ доопределить значения пикселей за границами изображения, при помощи зеркального отражения.
Выбор конкретного способа нужно производить с учетом конкретного фильтра и особенностей конкретного приложения. Разобрав общее определение линейных фильтров, перейдем к примерам.