Рассмотрим трехмерную декартовую систему координат, являющуюся правосторонней. Примем соглашение, в соответствии с которым будем считать положительными такие повороты, при которых (если смотреть с конца полуоси в направлении начала координат) поворот на 90° против часовой стрелки будет переводить одну полуось в другую. На основе этого соглашения строится следующая таблица, которую можно использовать как для правых, так и для левых систем координат:
| Если ось вращения | Положительным будет направление поворота |
| X | От y к z |
| Y | От z к x |
| Z | От x к y |
Рис. 6.6. Трехмерная система координат
Аналогично тому, как точка на плоскости описывается вектором (x,y), точка в трехмерном пространстве описывается вектором (x,y,z).
Как и в двухмерном случае, для возможности реализаций трехмерных преобразований с помощью матриц перейдем к однородным координатам:
[x,y,x,1] или [X,Y,Z,H]
[x*,y*,z*1] = [ ], где Н¹1, Н ¹0.
Обобщенная матрица преобразования 4´4 для трехмерных однородных координат имеет вид
Т=
Эта матрица может быть представлена в виде четырех отдельных частей:
.
· Матрица 3´3 осуществляет линейное[5] преобразование в виде изменения масштаба, сдвига и вращения.
· Матрица 1´3 производит перенос.
· Матрица 3´1- преобразования в перспективе.
· Скалярный элемент 1´1 выполняет общее изменение масштаба.
Рассмотрим воздействие матрицы 4´4 на однородный вектор [x,y,z,1]:
1. Трехмерный перенос – является простым расширением двумерного:
T(Dx,Dy,Dz)= ,
т. е. [x,y,z,1]*T(Dx,Dy,Dz)=[x+Dx,y+Dy,z+Dz,1].