Корни системы уравнений
.
С помощью найденных контурных токов найдем токи ветвей, учитывая, что контурные токи:
Выразим истинные токи через контурные. Ток в ветви, принадлежащий двум или нескольким контурам, равен алгебраической сумме соответствующих контурных токов. Со знаком "+"берутся контурные токи, совпадающие с током этой ветви, со знаком "–" – несовпадающие с ним.
Значения токов совпали со значениями, рассчитанными первым способом.
3.Определим токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов.
Пусть нулевой узел 0 будет базовым, т.е. узлом с нулевым потенциалом (рис.3.3).
Определим токи ветвей через потенциалы узлов 1,2,3 и 4.
Рис.3.3.Определение токовво всех ветвях схемы методом узловых потенциалов
Определяем токи в ветвях через потенциалы узлов:
Запишем систему уравнений для узлов 1, 2, 3 и 4 по первому закону Кирхгофа:
,
,
Вместо токов ветвей подставим их выражения через узловые потенциалы и после приведения подобных членов получим систему уравнений:
,
,
,
.
– собственные проводимости соответственно узлов 1,2,3 и 4.
и т.д. – общие, или взаимные, проводимости между соответствующими узлами:
Запишем систему уравнений в матричном виде:
При этом решение выражается в матричном виде
Корни системы уравнений
Подставим данные значения и выше найденные формулы потенциалов и определим токи в ветвях:
Проверка:
Cоставим уравнение по второму закону Кирхгофа для внешнего контура данной схемы:
алгебраическая сумма падений напряжений в данном контуре равна
;
алгебраическая сумма Э.Д.С в данном контуре равна:
.
Это и есть подтверждением правильности решения.
4. Построение потенциальной диаграммы
Возьмем контур с двумя источниками ЭДС - контур1-2-3-4-5-6 (рис.3.4):
Рис.3.4.Расчет потенциалов точек схемы цепи
Примем за базисный узел 1, считая его потенциал равным нулю. Найдем потенциалы других узлов схемы относительно базисного узла:
По этим данным построим потенциальную диаграмму (рис.3.5):
Рис.3.5 Потенциальная диаграмма
5.Построение графика зависимости I1=f(R1).
Используя теорему об эквивалентном генераторе. построим график зависимости
.
Выделяем ветвь между узлами 1 и 2 схемы (рис.3.6).
Рис.3. 6. Схема для построения графиков зависимостей I1=f(R1)
и U1 = f(I1)
Используя метод эквивалентного генератора, определяем параметры эквивалентного генератора: Еэ – ЭДС и Rэ – внутреннее сопротивление эквивалентного генератора.
Для определения ЭДС эквивалентного генератора разрываем ветвь между узлами 1 и 2 схемы и определяем потенциалы узлов 1 и 2 с помощью рассмотренной в пункте 3 программы расчета потенциалов точек схемы цепи. Результат вычисления потенциалов точек 1,2,3,5 схемы цепи вы ведем на экран
Чтобы найти ток короткого замыкания эквивалентного генератора удалим в выделенной ветви сопротивление R1 (R1=0) и определим с помощью рассмотренных в пунктах 1,2, 3 программ ток в этой ветви. В результате получим:
Рассчитаем внутреннее сопротивление эквивалентного генератора:
Теперь, зная параметры эквивалентного генератора (активного двухполюсника), можно построить график зависимости I1=f(R1) (рис.3.7):
,
где R1 изменяется в пределах:
Рис.3.7. График зависимости I1=f(R1)
Построим график зависимости U1 = f(I1) (рис.3.8). Для этого найдем зависимость между этими величинами:
,
где I1 изменяется в пределах:
Рис.3.8. График зависимости U1 = f(I1).
Пример 3.2.Расчет линейной электрической цепи постоянного тока в матричной форме и с помощью блока решений Given.
Рассмотрим линейную электрическую цепь постоянного тока, исходная схема которой приведена на рис. 3.9. Параметры элементов схемы: E1=30 В, Е4=100 В, R1=2 Ом, R2=6Ом, R3=2,5 Ом, R4=10 Ом, R5=4Ом. Требуется рассчитать токи во всех ветвях цепи, используя аппарат среды MathCAD для решения системы линейных алгебраических уравнений.
Рис. 3.9.Исходная схема электрической цепи
Для решения этой задачи необходимо задать условно положительные на-правления токов. Затем указать направления обхода контуров. После того как был определен порядок системы уравнений, записывается система уравнений, составленная на основе законов Кирхгофа. Расчет цепи постоянного тока выполним двумя способами: в матричной форме и с помощью блока решений Given в среде MathCAD. При составлении системы уравнений следует придерживаться ряда принципов:
– направления искомых токов целесообразно выбирать одинаковым с
направлением ЭДС;
– уравнения Кирхгофа записывать в виде, близком к матричному (номера столбцов должны совпадать с номерами токов ветвей;
– индексы токов нарастают слева направо;
– при отсутствии элемента ставится ноль).
1.Решение задачи в матричной форме:
Как правило, расчет линейной электрической цепи сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, составленных по законам Кирхгофа. Известно из матричной алгебры, что вектор решения системы линейных алгебраических уравнений определяется по следующему выражению:
где A−1 –обращенная (инвертированная) матрица коэффициентов системы уравнений;
B – вектор свободных членов системы уравнений;
X – вектор решения (корни) системы уравнений.
Последующий переход к чисто матричной форме (матрицы А, состоящей из коэффициентов при переменных в полученной системе уравнений и матрицы В, состоящей из столбца свободных членов полученной системы уравнений) и его использование для решения системы линейных алгебраических уравнений очевиден и как показывает практика, выполняется безошибочно.
Порядок расчета: