Плоские кривые линии

Кривая – это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной. Термин «кривая» в разных разделах математики определяется по разному. В начертательной геометрии кривую рассматривают как:

- траекторию, описанную движущейся точкой,

- проекцию другой кривой,

- линию пересечения двух поверхностей.

Кривые подразделяются на алгебраические и трансцендентные в зависимости от того являются ли их уравнение алгебраическими или транцендентными в прямоугольной системе координат. Множество алгебраических кривых в свою очередь подразделяются на множество в зависимости от порядка кривой, определяемого степенью ее уравнения
Кривая называется плоской, если все ее точки принадлежат некоторой плоскости, в противном случае она называется пространственной.
Алгебраическую кривую линию, которая описывается в системе декартовых координат уравнением второй степени относительно текущих координат, называют кривой линией второго порядка.

Точка А, двигаясь по некоторой траектории, описывает в своем движении кривую линию. Касательная В к кривой передает направление движения точки А. Направление касательной в некоторой точке кривой называют направлением кривой в этой точке. Проведя в точке А₁ прямую А₁N,перпендикулярную А₁ В₁, получим нормаль к кривой в её точке А₁ (рисунок 1).

Рисунок 1 - Кривая плоская линия

На рисунке 1 представлена кривая А, имеющая одну касательную. На кривой могут быть точки, в которых имеются две касательных с углом между ними, не равным 180^о, такая кривая не является плавной. В этом случае точка называется точкой излома, угловой или выходящей (рисунок 2).

Рисунок 2 - Проведение касательных к кривой линии

Если угол α = 180^о, то кривые AВ и ВС соприкоснутся, и каждая из них в точке окажется плавной.

Если во всех точках повторяется такое же расположение нормали N и касательной D, как показано на рисунке 3, то кривая называется выпуклой и её точки - правильными.

Рассмотрим некоторые особые точки кривой линии, представленные на рисунке 4. Точка А - точка перегиба, точка В - точка возврата первого рода, точка С - точка возврата второго рода.

Рисунок 3 - Выпуклая кривая

а) б) в)

Рисунок 4 - Особые точки кривой линии

Кривизной плоской кривой линии К в некоторой её точке А называется предельное значение отношения угла φ к дуге А, А₂.

Рисунок 5 - Кривизна плоской линии

Очевидно, для окружности кривизна окружности во всех её точках равна обратной величине радиуса этой окружности, так как в любой её точке соприкасающаяся окружность имеет радиус, равный радиусу данной окружности. У эллипса центры кривизны находятся на большой и малой осях. Если построить центры кривизны данной кривой в ряде её точек, то через эти центры, в свою очередь, пройдет кривая (геометрическое место центров кривизны данной кривой), называемая эволютой (развернутой). Сама же кривая по отношению к эволюте называется эвольвентной (развертываемой).

Эллипсом называется замкнутая кривая, для которой сумма расстояний от любой точки до двух точек - фокусов эллипса - есть величина постоянная, равная оси эллипса (рисунок 6). Эллипс описывается следующим каноническим уравнением в системе координат: ,

где a и b - большая и малая полуоси эллипса: ; .

Рисунок 6 - Построение эллипса

Для построения эллипса проведем две центрические окружности, диаметры которых равны осям эллипса, и разделим их на 12 равных частей. Через точки деления на большие окружности проводим вертикальные линии, через соответствующие точки деления на малой окружности - горизонтальные линии. Пересечение этих линий даст точки эллипса 1, 2, 3, 4 ... . Полученные точки соединяем при помощи лекала.

Параболой называется кривая, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от заданной прямой (директрисы) и точки, называемой фокусом параболы (рисунок 7). Парабола описывается следующим каноническим уравнением:

где p - расстояние от фокуса F до директрисы B.

Пример построения параболы представлен на рисунке 8. Даны вершина параболы О, одна из точек параболы D и направление оси ОС. На отрезках ОС и CD строим прямоугольник, стороны которого ОB и BD делим на произвольно одинаковое число равных частей и нумеруем точки деления. Вершину D соединяем с точками деления стороны BD, а из точек деления отрезка OB проводим прямые, параллельные оси. Пересечение прямых, проходящих через точки с одинаковыми номерами, определяет ряд точек параболы.

Рисунок 7 - Парабола

Рисунок 8 - Последовательность построения параболы