Пространственные кривые линии

 

Многие положения из рассмотренного по отношению к плоским кривым могут быть отнесены и к пространственным. Вместе с тем имеются различия. Так, если для плоской кривой можно провести только один перпендикуляр (нормаль) к касательной, то для пространственной кривой таких перпендикуляров в точке касания бесчисленное множество (понятие о нормальной плоскости). Для плоской кривой достаточно одной проекции, чтобы судить о характере ее точек, а для пространственной кривой необходимо две проекции кривой.

Плоская кривая лежит в одной плоскости, а для пространственной кривой можно говорить о плоскости, наиболее близко подходящей к кривой в рассматриваемой ее точке. Такая плоскость носит название соприкасающейся.

Так как соприкасающаяся плоскость содержит касательную к кривой, то соприкасающаяся и нормальная плоскости взаимно перпендикулярны.

При взаимном пересечении нормальной и соприкасающейся плоскостей получается одна из нормалей - главная нормаль. Нормаль, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью.

К соприкасающейся и нормальной плоскостям добавляется еще третья плоскость, перпендикулярная к ним. Она проходит через касательную и бинормаль. Это спрямляющаяся плоскость.

Этими тремя плоскостями, образующими трехгранник, пользуются как координатами при рассмотрении кривой в данной ее точке. Положение трехгранника зависит от положения точки на кривой.

По аналогии с центром кривизны плоской кривой как предельным положением точки пересечения двух нормалей получаем ось кривизны пространственной кривой как предельное положение прямой пересечения соседних, нормальных плоскостей. В этом предельном положении ось кривизны, параллельная бинормали, пересекаясь с главной нормалью, дает центр кривизны, откуда получаем радиус кривизны как расстояние от этого центра до рассматриваемой точки кривой.

Пространственные кривые также называются кривыми двоякой кривизны.

Если касательные к пространственной кривой линии во всех ее точках одинаково наклонены в какой-либо плоскости, то такие линии называются линиями одинакового уклона.

Цилиндрическая винтовая линия представляет собою пространственную кривую линию одинакового уклона (рисунок 15). Две величины – диаметр цилиндра D и размер шага H (H – шаг винтовой линии) – являются параметрами, определяющими цилиндрическую винтовую линию на боковой поверхности цилиндра.

Рисунок 15 - Построение винтовой линии

 

Для построения цилиндрической винтовой линии окружность основания цилиндра и шаг Н разделяем на одинаковое число частей, n = 12 (рисунок 15).

Так как ось цилиндра направлена перпендикулярно к горизонтальной плоскости проекции, то на этой плоскости проекция винтовой линии сливается с окружностью, представляющей собой горизонтальную проекцию цилиндра. На фронтальной проекции винтовая линия получается как траектория точки, совершающей два движения - равномерное по прямой линии и вместе с тем равномерное вращательное вокруг оси, параллельное этой прямой, т. е. фронтальная проекция - синусоида.

Винтовая линия бывает с правым (правая винтовая линия) и левым ходом (левая винтовая линия) (рисунок 15).

На рисунке 16 представлена развертка винта цилиндрической линии. В развернутом виде каждый виток представляет собой отрезок прямой, который описывается следующим уравнением:

y= КX

Крутизна подъема винтовой линии выражается формулой

tg=,

где α - угол подъема винтовой линии.

Длина одного оборота (витка) винтовой линии

При одном и том же D величина угла α зависит только от шага винтовой линии. Если же шаг остается неизменным для цилиндров разного диаметра, то угол подъема получается тем меньше, чем больше диаметр цилиндра.

Рисунок 16 - Построение развертки винтовой линии

 

Можно построить на поверхности цилиндра кривую линию, образованную так же, как и винтовая линия, но вращение образующего цилиндра оставить равномерным, а перемещение точки по образующей сделать переменным по какому-либо закону. Такие кривые иногда называют винтовыми линиями с переменным шагом.

Построение винтового выступа (рисунок 17), который широко применяется в винтовых транспортерах (шнеках), удаляющих отходы лесопиления из лесоцехов, отходы древесины от разделочных площадок нижних складов леспромхозов, аналогично указанному на рисунке 16. На чертеже показано построение точки А (А1, А3). Во избежание неточности в проведении синусоиды находят отрезок ℓ, определяющий перемещение точки 11 вдоль оси винта при повороте образующей из начального положения в положение C3 (на угол O3, С3, 13,). Берем пропорции X:h = O3С313 : 360°, из которых находим X, что и дает величину ℓ.

Рисунок 17 - Построение винтового выступа

 

Если точка перемещается равномерно по образующей прямого кругового конуса, а образующая совершает вращательное движение вокруг оси конуса с постоянной угловой скоростью, то траекторией точки является коническая винтовая линия (рисунок 18).

Перемещение точки по образующей пропорционально угловым перемещениям этой образующей. На рисунке 18 отмечено на поверхности конуса двенадцать положений образующей, и на них указаны соответствующие положения точки. Расстояние между точками смежных витков AоA12 = H, измеренное по образующей, называется шагом конической винтовой линии.

 

Рисунок 18 - Коническая винтовая линия

 

Фронтальная проекция конической винтовой линии представляет собой синусоиду с уменьшающейся высотой волны. Горизонтальная проекция представляет собой спираль Архимеда.

На развертке боковой поверхности конуса (рисунок 19) винтовая линия развернется также в спираль Архимеда, так как равномерному угловому перемещению радиуса на развертке поверхности конуса соответствует равномерное же перемещение точки по этому радиусу

.

 

Рисунок 19 Спираль Архимеда