Частные виды поверхностей вращения

 

Существует широкий класс поверхностей вращения, у которых образующей является прямая линия. Из них наиболее известны цилиндрическая и коническая. Цилиндрическая поверхность образуется при вращении прямой линии вокруг оси, параллельной ей. Расстояние от оси i до прямой l называется радиусом.

Если образующая не параллельна оси, то поверхность носит название конической. Точка пересечения оси и образующей называется вершиной. На рисунке 21 изображены данные поверхности.

Рисунок 21 - Цилиндрическая и коническая поверхности вращения

Частными случаями цилиндрических и конических поверхностей могут быть: прямой круговой цилиндр и прямой круговой конус (рисунки 22, 23).

 

Рисунок 22 - Прямой круговой цилиндр

 

Рисунок 23 - Прямой круговой конус

 

Рассмотрим поверхности, у которых образующей является окружность. Если ось вращения совпадает с одним из диаметров окружности, то такая поверхность носит названиесферы (рисунок 25).

Уравнения вида (t); (t); (t), где φ(t) - заданная функция переменной t (параметра), называют параметрическими уравнениями линии в пространстве, когда при каждом значении t из некоторого промежутка (конечного или бесконечного) они дают координаты точек данной линии.

Если же ось вращения не проходит через центр окружности, то образуется поверхность, называемая тором. Тор может быть открытым или закрытым. Открытый тор получается в том случае, когда расстояние от оси вращения до центра вращаемой окружности превышает ее радиус, и закрытым тор будет являться, если расстояние от оси до центра окружности меньше ее радиуса (рисунок 24).

 

 

Рисунок 24 - Изображения сферы и тора

 

Параметрические уравнения линии часто применяются в механике для описания траектории движущейся точки. При вращении окружности вокруг оси, проходящей через её центр, образуется сферическая поверхность. Если ось вращения смещена относительно центра окружности, получаем поверхность, называемую тором (рисунок 24). Вращая эллипс, параболу, гиперболу, получаем эллипсоид вращения, параболоид, гиперболоид.

 

Вопросы для самопроверки:

 

1. Чем отличается плоская линия от пространственной?

2. Как образуются коническая и цилиндрическая поверхности?

3. Как образуются гранные поверхности?

4. Какие поверхности называются винтовыми?

5. Какие линии характерны для поверхности вращения и какова их роль в построении изображений поверхности?

6. Какие линии могут быть получены в сечении прямого кругового: а) цилиндра; б) конуса; в) сферы?

7. Как задается на комплексном чертеже: а) призматическая поверхность; б) поверхность пирамиды?

 

Лекции 6. Пересечение геометрических фигур плоскостями

 

План лекции:

 

1. Построение сечения призмы плоскостью частного положения

2. Построение сечения пирамиды плоскостью частного положения

3. Построение сечения цилиндра

4. Построение сечения конуса

5. Построение сечения сферы

6. Построение сечения топографических поверхностей