Случаи взаимного пересечения поверхностей

 

При решении задач на взаимное пересечение поверхностей требуется, как правило, найти линию, общую для двух или более поверхностей. В случае пересечения гранных поверхностей - это ломаная линия, если пересекается поверхность вращения, то это плоские кривые. Поверхности вращения пересекаются по пространственной кривой.

Существуют следующие случаи взаимного пересечения поверхностей:

1. Частичное врезание - когда часть образующих или ребер одной поверхности пересекаются частью образующих или ребер другой. В этом случае линия взаимного пересечения представляет собой замкнутую пространственную кривую или ломаную.

2. Полное проницание - все образующие или грани одной поверхности пересекаются с другой. В этом случае линия пересечения распадается на две отдельные кривые или ломаные (рисунки 2, 3).

3. Одностороннее внутреннее соприкасание - пересекающиеся поверхности имеют в одной точке общую плоскость касания. Кривая линия пересечения в этом случае пересекается сама с собой в точке касания.

4. Двойное соприкасание - пересекающиеся поверхности имеют две общие касательные плоскости. При этих условиях в пересечении участвуют все образующие одной поверхности и все образующие второй. При взаимном пересечении двух поверхностей второго порядка кривая линия пересечения распадается на две плоские кривые, которые пересекаются в точке пересечения касательных плоскостей (теорема Монжа).

Для построения линии пересечения многоугольников используется два способа:

1. Строим точки, в которых ребра первой поверхности пересекают грани другой и ребра второй пересекают грани первой.

2. Строим отрезки прямых, по которым грани первой поверхности пересекают грани второй.

В первом случае решение задачи на построение линии пересечения многогранников сводится к решению задачи на пересечение прямой линии с плоскостью, а во втором - к решению задачи на пересечение двух плоскостей между собой.

Решая каждую конкретную задачу, можно пользоваться любыми из двух способов, комбинировать их между собой так, чтобы обеспечить наибольшую точность построения и быстрое решение задачи.

Наиболее предпочтительным способом решения задач на пересечение одной многогранной поверхности другою является первый способ, когда задача сводится к построению точек пересечения прямой с поверхностью, как представлено на рисунке 2.

 

Рисунок 2 - Пересечение гранных поверхностей

Для построения линии пересечения пирамиды SGFU с прямой призмой ABCDE находим точки 1-6 пересечения ребер пирамиды с гранями призмы ABCDЕ непосредственно на горизонтальной проекции без дополнительных построений, так как грани призмы являются плоскостями частного положения (горизонтально-проецирующими).

Фронтальные проекции точек 1-6 строим на соответствующих фронтальных проекциях ребер пирамиды.

Определяем точки пересечения ребер призмы ABCDE с гранями пирамиды SGFU. Для построения точек пересечения ребра А с гранями GSF и GSU пирамиды проводим через вершину пирамиды S и ребро А горизонтально-проецирующую плоскость Т, которая рассекает пирамиду по треугольнику KSL.

Находим на фронтальной проекции точки 7₂, 8₂ пересечения ребра А с контуром сечения пирамиды плоскостью Т. На горизонтальной проекции точки будут совпадать с точкой A₁, в которую проецируется ребро А.

Для построения точек пересечения граней FSU и GSU ребром призмы D проводим через вершину пирамиды S и ребро D горизонтально-проецирующую плоскость Q, которая рассекает пирамиду по треугольнику MSN. На фронтальной проекции в пересечении ребра D с контуром сечения получаем точки 9₂, 10₂, горизонтальные проекции которых совпадают с точкой D₁.

Построенные точки соединяем отрезками прямых и получаем линию пересечения многогранников. Видимыми являются только те стороны многоугольника пересечения, которые принадлежат видимым граням призмы и пирамиды.

Для построения линии пересечения конуса с цилиндром (рисунок 3) необходимо выбрать секущие плоскости так, чтобы они рассекали конус по окружностям, а цилиндр по образующим.

Линия пересечения этих поверхностей будет пространственной кривой.

Отметим проекции I₁ , I₂, 2₁, 2₂, 3₁, 3₂ опорных точек в пересечении очерковых образующих у оснований конуса вращения.

Проведем секущую плоскость Г₂, которая рассекает конус вращения по окружности радиуса R, а цилиндр вращения - по образующей АВ. В пересечении образующей A₁B₁ с окружностью конуса вращения на горизонтальной плоскости проекций определим проекции 4₁, 4искомых точек линии пересечения двух поверхностей. Вторую секущую плоскость и последующие проведем между плоскостью Г₂ и точкой 3₂ так, чтобы секущие плоскости не выходили за пределы точек 4₂ и 3₂. После проведения каждой секущей плоскости выполним построения, изложенные в данном пункте плана решения задачи. Так строят необходимое число промежуточных точек линии пересечения.

 

 

Рисунок 3 - Пересечение конуса с цилиндром

 

Соединим от руки построенные точки и выполним обводку линии пересечения при помощи лекал.