Развертка поверхности многогранников

 

Под разверткой многогранной поверхности подразумевают плоскую фигуру, составленную из граней этой поверхности, совмещенных с одной плоскостью.

Существуют два способа построения развертки призмы:

- способ нормального сечения;

- способ раскатки.

 

Рисунок 1 - Развертка призмы способом нормального сечения

 

Нормальным сечением называют сечение плоскостью, перпендикулярной ребрам призмы. Применение способа нормального сечения для построения развертки наклонной треугольной призмы ABCDEF показано на рисунке 1. Призма расположена относительно плоскостей проекций так, что ее боковые ребра являются горизонтальными прямыми. В этом случае они проецируются на плоскость проекций П₁ в натуральную величину, и горизонтально проецирующая плоскость Г (Г₁), перпендикулярная к боковым ребрам, определит нормальное сечение 1 2 3 призмы. Расположив это сечение параллельно П₂, построим его натуральный вид ,,и найдем натуральные величины ,и .

Так как боковые ребра призмы параллельны между собой, а стороны нормального сечения им перпендикулярны, то на развертке призмы боковые ребра будут также параллельны между собой, а стороны нормального сечения развернутся в одну прямую. Поэтому для построения развертки призмы надо отложить на произвольной прямой натуральные величины сторон нормального сечения: 1₀2₀ = 1₂2₂, 2₀3₀ = 2₂3₂ и 3₀1₀ = 3₂1₂, а затем через точки 1₀, 2₀, 3₀ и 1₀ проведем прямые, перпендикулярные к этой прямой. Если отложить на этих перпендикулярах в обе стороны от прямой 1₀1₀ отрезки боковых ребер, на которые их делит плоскость Г (Г₁) на плоскости проекций П₁, и соединить отрезками прямых концы отложенных отрезков, то получим развертку боковой поверхности призмы. Присоединяя к этой развертке оба основания призмы, получим ее полную развертку.

Если боковые ребра данной призмы имеют произвольное расположение относительно плоскостей проекций, то необходимо сначала преобразовать их в прямые уровня.

Рассмотрим построение развертки поверхности наклонной треугольной призмы способом раскатки (рисунок 2). Боковые ребра призмы параллельны плоскости П₂.

Сущность способа раскатки заключается в том, что каждую грань призмы поворачиваем вокруг бокового ребра до положения, параллельного плоскости проекций. Последовательно поворачивая грани призмы, получаем развертку всей боковой поверхности.

 

 

Рисунок 2 - Развертка призмы способом раскатки

Рисунок 3 - Развертка пирамиды с помощью раскатки

 

Развертка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников – граней пирамиды. Поэтому построение развертки пирамиды сводится к построению этих треугольников в натуральную величину.

На рисунке 3 показано построение развертки треугольной пирамиды. Определение натуральных величин боковых ребер пирамиды выполнено методом вращения их вокруг горизонтально проецирующей оси i, проходящей через вершину S. Все ребра повернуты до положения, параллельного плоскости проекций П₂. При этом на фронтальной плоскости проекций получим натуральную величину ребер S₂A₂, S₂B₂, S₂C₂. Для построения развертки из произвольной точки S₀ проводим прямую, на которой откладываем действительную длину ребра S₀A₀ = S₂A₂. Из точки S₀ делаем засечку радиусом, равным натуральной величине ребра SB = S₂B₂, а из точки А₀ – засечку радиусом, равным стороне основания пирамиды АВ = А₁В₁. В результате получаем точку B₀ и треугольник S₀A₀B₀, равный действительной величине грани SAB. Аналогично на стороне S₀B₀ строим треугольник S₀B₀C₀ и на стороне S₀С₀ – треугольник S₀C₀A₀.

Основание ABC пирамиды в горизонтальной проекции представлено в натуральную величину. Пристраивая треугольник основания A₀B₀C₀, равный треугольнику A₁B₁C₁, к развертке боковой поверхности, получаем полную развертку пирамиды.

На рабочем чертеже развертки необходимо показать длины всех ребер или указать координаты всех вершин пирамиды.