рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Сравнения и их свойства

Сравнения и их свойства - раздел Компьютеры, Методы и средства защиты компьютерной информации   Мы Будем Рассматривать Целые Числа В Связи С Остатками От Дел...

 

Мы будем рассматривать целые числа в связи с остатками от деления их на целое положительное m, которое назовем модулем (слово “модуль” происходит от латинского слова modulus, что в переволе означает “мера”, “величина”).

Каждому целому числу отвечает определенный остаток от деления его на m; если двум целым a и b отвечает один и тот же остаток r, то они называются равноостаточными по модулю m или сравнимыми по модулю m.

Сравнимость чисел a и b по модулю m записывается так:

a º b (mod m)

Сравнимость чисел a и b по модулю m равносильна:

1. Возможности представить a в виде a = b + mt, где t – целое.

2. Делимости a – b на m.

Способ, которым мы записываем сравнения, напоминает нам уравнения, и в действительности, сравнения и алгебраические уравнения имеют много общих свойств. Простейшими из них являются три следующих свойства[2]:

1. a º a (mod m).

Доказательство. Это является следствием того, что

aa = m×0.

2. Если a º b (mod m), то b º a (mod m).

Доказательство. Это следует из того, что

ba = –(ab) = m(–k).

3. Если a º b (mod m) и b º c (mod m), то a º c (mod m).

Доказательство. Из условия следует, что

ab = mk, bc = ml,

поэтому

ac = (ab) + (bc) = m(k + l).

Из алгебры мы помним, что уравнения можно складывать, вычитать, умножать. Точно такие же правила справедливы для сравнений.

1. Если a º b (mod m), c º d (mod m), то a + c º b + d (mod m).

Доказательство. Из условия следует, что

a = b + mk, c = b + ml,

где k и l – целые числа. Сложим эти уравнения. В результате получаем

a + c = b + d + m(k + l),

а это означает, что

a + c º b + d (mod m).

2. Если a º b (mod m), c º d (mod m), то ac º bd (mod m).

3. Если a º b (mod m), c º d (mod m), то ac º bd (mod m).

4. Если a º b (mod m) и c – произвольное целое число, то ac º bc (mod m). Это свойство является частным случаем предыдущего при c = d.

Свойства 1 и 3 (сложение и умножение сравнений) обобщаются следующей теоремой.

Теорема. Если в выражении многочлена с целыми коэффициентами заменим , x1, ..., xk числами , y1, ..., yk сравнимыми с прежними по модулю m, то новое выражение S будет сравнимо с прежним по модулю m.

Доказательство. Действительно, из

,

x1 º y1 (mod m), ..., xk º yk (mod m)

находим (свойство 3)

,

,

откуда, суммируя, получим

.

Следствие. Если a º b (mod m), a1 º b1 (mod m), ..., an º bn (mod m), x º y (mod m), то axn + a1xn–1 + ... + an º byn + b1yn–1 + ... + bn (mod m).

Доказательство. Это утверждение есть частный случай предыдущей теоремы при k = 1.

Возникает естественный вопрос: в каком случае можно в сравнении ac º bc (mod m) сократить общий множитель c и получить при этом верное сравнение a º b (mod m)?

Именно здесь сравнения и отличаются от уравнений. Например, верно, что

22 º –2 (mod 8),

но сокращение на множитель 2 дало бы сравнение

11 º –1 (mod 8),

которое неверно.

В одном важном случае сокращение допустимо.

Теорема. Если ac º bc (mod m), то a º b (mod m) при условии, что числа m и c взаимно просты.

Рассмотрим еще несколько свойств сравнений.

5. Если a º b (mod m) и k – произвольное целое число, то ak º bk (mod mk).

Доказательство. Действительно, из a º b (mod m) следует

a = b + mt, ak = bk + mkt

и, следовательно, ak º bk (mod mk).

6. Обе части сравнения и модуль можно разделить на их общий делитель.

Доказательство. Действительно, пусть

a º b (mod m), a = a1d, b = b1d, m = m1d.

Имеем

a = b + mt, a1d = b1d + m1dt, a1 = b1 + m1t

и, следовательно, a1 º b1 (mod m1).

7. Если a º b (mod m1), ..., a º b (mod mk), то a º b (mod HOK(m1, ..., mk)), где HOK(...) – наименьшее общее кратное чисел, указанных в скобках.

8. Если сравнение имеет место по модулю m, то оно имеет мето и по модулю d, равному любому делителю числа m.

9. Если одна часть сравнения и модуль делятся на какое-либо число, то и другая часть сравнения должна делиться на то же число.

10. Если a º b (mod m), то D(a, m) = D(b, m).

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Методы и средства защиты компьютерной информации

Факультет электронной техники.. Кафедра Автоматизированные системы обработки информации и управления..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Сравнения и их свойства

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Актуальность защиты систем обработки информации
  В современном компьютерном сообществе атаки на информацию стали обыденной практикой. Злоумышленники используют как ошибки в написании и администрировании программ, так и методы соци

Угрозы безопасности компьютерных систем
  Под угрозой безопасности вычислительной системы понимаются воздействия на систему, которые прямо или косвенно могут нанести ущерб ее безопасности. Разработчики треб

Наиболее распространенные методы взлома компьютерных систем
  1.3.1. Комплексный поиск возможных методов взлома   Часто злоумышленники проникают в систему не напрямую, «сражаясь» с системами шифрован

Терминалы защищенной информационной системы
Терминалы – это точки входа пользователя в информационную сеть. В том случае, когда к ним имеют доступ несколько человек или вообще любой желающий, при их проектировании и эксплуат

Получение пароля на основе ошибок администратора и пользователей
  Перебор паролей по словарю являлся некоторое время одной из самых распространенных техник подбора паролей. В настоящее время, как хоть самый малый результат пропаганды информационно

Получение пароля на основе ошибок в реализации
  Следующей по частоте использования является методика получения паролей из самой системы. Однако, здесь уже нет возможности дать какие-либо общие рекомендации, поскольку все методы а

Социальная психология и иные способы получения паролей
  Иногда злоумышленники вступают и в прямой контакт с лицами, обладающими нужной им информацией, разыгрывая довольно убедительные сцены. «Жертва» обмана, поверившая в реальность расск

Задачи, решаемые криптографическими методами
  О важности информации в современном мире наиболее показательно свидетельствуют следующие факты. Во-первых, обладание определенным цифровым кодом может открыть доступ его владельцу к

Краткие сведения о криптоанализе
  Криптоанализ как наука выходит за рамки данного курса, однако знание некоторых его положений необходимо для глубокого понимания криптографии. Главным действующим лицом в кр

Мера стойкости шифра
  Шифром называется пара алгоритмов (E и D), реализующих каждое из указанных выше преобразований. Секретность второго из них делает данные недоступными

Необходимое условие абсолютной стойкости шифра
  Естественно, основной вопрос, который интересовал криптографов, это существуют ли на практике абсолютно стойкие шифры. Специалистам было интуитивно понятно, что они существуют, и пр

Принцип Кирхгофа построения шифров
  Исходя из сказанного выше, можно перечислить несколько качеств, которым должен удовлетворять шифр, претендующий на то, чтобы считаться хорошим. 1. Анализ зашифрованных данн

Шифры с секретным ключом
  Итак, наша задача заключается в том, чтобы снабдить участников обмена надежными алгоритмами шифрования. Первый вопрос, который мы себе зададим – это решаема ли задача в принципе, и

Базовая идея блочного шифра
  Отправной точкой в реализации рассматриваемого подхода является идея вырабатывать гамму для зашифрования сообщения … из самого сообщения! Однако сделать это непосредственно невозмож

Шифр простой замены
  Для того, чтобы блочная схема шифрования была устойчива к криптоанализу, она должна обладать свойствами перемешивания и рассеивания. Это означает, что каждый бит исходного текста до

Недостатки режима простой замены
  Использование блочного шифра в режиме простой замены имеет ряд недостатков, отражающихся на стойкости и удобстве использования шифра. Первый и самый серьезный недостаток простой зам

Гаммирование
  Предложенная в предыдущем разделе процедура шифрования по методу простой замены с использования датчика псевдослучайных чисел может быть слегка изменена, что освободит ее от ряда не

Гаммирование с обратной связью
  При синтезе алгоритма блочного шифрования мы уже сталкивались с идеей вырабатывать гамму для шифрования очередного блока данных с использованием одного или нескольких предыдущих бло

Имитозащита
  Как мы уже неоднократно демонстрировали в примерах, шифрование само по себе не может защитить передаваемые данные от внесения изменений. Это является отражением того факта, что секр

Вычисление степеней, возведение сравнений в степень
  Многие результаты теории сравнений связаны с остатками высоких степеней чисел, поэтому обсудим интересную задачу эффективного вычисления xn по заданным x и

Сравнения с одним неизвестным
  Числа, равноостаточные, или, что то же самое, сравнимые по модулю m, образуют класс чисел по модулю m. Из такого определения следует, что всем числам класса о

Наибольший общий делитель
  Если u и v – целые числа, не оба рвные нулю, то их наибольшим общим делителем D(u, v) называется наибольшее целое число, на которое делятся без ос

Простые числа
  Едва освовив четыре арифметических действия, люди стали интересоваться различными свойствами натуральных чисел. Почему некоторые числа делятся на меньшие без остатка, в то время как

Теоремы Эйлера и Ферма
  Теорема (Эйлера). При m > 1 и D(a,m) = 1 имеем aj(m) º 1 (mod m).

Однонаправленные функции
  Развитие криптографии в XX веке было стремительным, но неравномерным. Анализ истории ее развития как специфической области человеческой деятельности выделяет три основных периода.

Алгоритм RSA
  Первой и наиболее известной криптографической системой с открытым ключом была предложенная в 1978 году так называемая система RSA. Ее название происходит от первых букв фамилий авто

Практическое использование алгоритма RSA
  Для алгоритмов, основанных на открытых ключах, существует ряд математических проблем, которые не всегда учитываются при построении криптосистемы. К ним можно отнести выбор начальных

Открытое распределение ключей
  Пока преимущества методов шифрования с открытым ключом не были очевидны. Однако на их основе легко решать задачу выработки общего секретного ключа для сеанса связи любой пары пользо

Электронная подпись
  В чем состоит проблема аутентификации данных? В конце обычного письма или документа исполнитель или ответственное лицо обычно ставит свою подпись. Подобное действие обычно преследуе

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги