Теоремы Эйлера и Ферма - раздел Компьютеры, МЕТОДЫ И СРЕДСТВА ЗАЩИТЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Теорема (Эйлера). При M > 1 И D...
Теорема (Эйлера). При m > 1 и D(a,m) = 1 имеем
aj(m) º 1 (mod m).
Теорема (малая теорема Ферма). Если p – простое число, то
ap º a (mod p).
Доказательство. Если a кратно p, то, очевидно, ap º 0 º a (mod p). Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда a mod p ¹ 0. Так как p – простое число, то отсюда следует, что a взаимно просто с p. Рассмотрим следующие числа:
0 mod p, a mod p, 2a mod p, ..., (p–1)a mod p. (4)
Все эти p чисел различны, так как если бы ax mod p = ay mod p, то в соответствии с определением сравнения, ax º ay (mod p) и, следовательно, на основании свойств сравнений, x º y (mod p), а это невозможно, так как коэффициенты при a есть числа 0, 1, ..., p–1.
Итак последовательность (4) содержит p различных неотрицательных целых чисел, меньших чем p. Первое число – нуль, а остальные суть целые числа 1, 2, ..., p–1, взятые в некотором порядке. Поэтому, на основании свойств сравнений, получим
что доказывает теорему, так как каждый множитель 1, 2, ..., p–1 взаимно прост с p и может быть сокращен.
Иногда эту теорему приводят в несколько другой формулировке.
Теорема. Если p – простое число, a – целое число, не делящееся на p, то
ap–1 º 1 (mod p).
Такая формулировка сразу следует из (5). В такой формулировке эта теорема является следствием теоремы Эйлера при m = p.
Обсудим применение сравнений в качестве метода определения того, является ли некоторое большое число простым или составным. Этот очень эффективный метод особенно хорош, когда речь идет о некотором числе, выбранном наугад. Он основан на малой теореме Ферма.
Пусть n – исследуемое число. Выберем небольшое число a взаимно простое с n. Удобно в качестве числа a брать некоторое небольшое простое число, не являющееся делителем числа n, например, 2, 3 или 5. Если бы n было простым числом, то для него было бы справедливо сравнение
an–1 º 1 (mod n),
в соответсвие с малой теоремой Ферма. Следовательно, если мы проверим это сравнение и убедимся, что оно не выполняется, то можно утверждать, что число n является составным. К сожалению данный метод метод не указывает на то, какие именно множители имеет данное число. Также к сожалению, данная теорема является необходимым, но не достаточным условием простоты числа, т.е. теорема, обратная малой тереме Ферма в общем случае не верна. Поэтому, если окажется, что последнее сравнение выполняется, то отсюда не следует простота числа. Необходимо исследовать это число с помощью каких-либо других методов.
Факультет электронной техники... Кафедра Автоматизированные системы обработки информации и управления...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Теоремы Эйлера и Ферма
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Актуальность защиты систем обработки информации
В современном компьютерном сообществе атаки на информацию стали обыденной практикой. Злоумышленники используют как ошибки в написании и администрировании программ, так и методы соци
Угрозы безопасности компьютерных систем
Под угрозой безопасности вычислительной системы понимаются воздействия на систему, которые прямо или косвенно могут нанести ущерб ее безопасности. Разработчики треб
Терминалы защищенной информационной системы
Терминалы – это точки входа пользователя в информационную сеть. В том случае, когда к ним имеют доступ несколько человек или вообще любой желающий, при их проектировании и эксплуат
Получение пароля на основе ошибок в реализации
Следующей по частоте использования является методика получения паролей из самой системы. Однако, здесь уже нет возможности дать какие-либо общие рекомендации, поскольку все методы а
Социальная психология и иные способы получения паролей
Иногда злоумышленники вступают и в прямой контакт с лицами, обладающими нужной им информацией, разыгрывая довольно убедительные сцены. «Жертва» обмана, поверившая в реальность расск
Задачи, решаемые криптографическими методами
О важности информации в современном мире наиболее показательно свидетельствуют следующие факты. Во-первых, обладание определенным цифровым кодом может открыть доступ его владельцу к
Краткие сведения о криптоанализе
Криптоанализ как наука выходит за рамки данного курса, однако знание некоторых его положений необходимо для глубокого понимания криптографии.
Главным действующим лицом в кр
Мера стойкости шифра
Шифром называется пара алгоритмов (E и D), реализующих каждое из указанных выше преобразований. Секретность второго из них делает данные недоступными
Необходимое условие абсолютной стойкости шифра
Естественно, основной вопрос, который интересовал криптографов, это существуют ли на практике абсолютно стойкие шифры. Специалистам было интуитивно понятно, что они существуют, и пр
Принцип Кирхгофа построения шифров
Исходя из сказанного выше, можно перечислить несколько качеств, которым должен удовлетворять шифр, претендующий на то, чтобы считаться хорошим.
1. Анализ зашифрованных данн
Шифры с секретным ключом
Итак, наша задача заключается в том, чтобы снабдить участников обмена надежными алгоритмами шифрования. Первый вопрос, который мы себе зададим – это решаема ли задача в принципе, и
Базовая идея блочного шифра
Отправной точкой в реализации рассматриваемого подхода является идея вырабатывать гамму для зашифрования сообщения … из самого сообщения! Однако сделать это непосредственно невозмож
Шифр простой замены
Для того, чтобы блочная схема шифрования была устойчива к криптоанализу, она должна обладать свойствами перемешивания и рассеивания. Это означает, что каждый бит исходного текста до
Недостатки режима простой замены
Использование блочного шифра в режиме простой замены имеет ряд недостатков, отражающихся на стойкости и удобстве использования шифра. Первый и самый серьезный недостаток простой зам
Гаммирование
Предложенная в предыдущем разделе процедура шифрования по методу простой замены с использования датчика псевдослучайных чисел может быть слегка изменена, что освободит ее от ряда не
Гаммирование с обратной связью
При синтезе алгоритма блочного шифрования мы уже сталкивались с идеей вырабатывать гамму для шифрования очередного блока данных с использованием одного или нескольких предыдущих бло
Имитозащита
Как мы уже неоднократно демонстрировали в примерах, шифрование само по себе не может защитить передаваемые данные от внесения изменений. Это является отражением того факта, что секр
Сравнения и их свойства
Мы будем рассматривать целые числа в связи с остатками от деления их на целое положительное m, которое назовем модулем (слово “модуль” происходит от латинско
Вычисление степеней, возведение сравнений в степень
Многие результаты теории сравнений связаны с остатками высоких степеней чисел, поэтому обсудим интересную задачу эффективного вычисления xn по заданным x и
Сравнения с одним неизвестным
Числа, равноостаточные, или, что то же самое, сравнимые по модулю m, образуют класс чисел по модулю m.
Из такого определения следует, что всем числам класса о
Наибольший общий делитель
Если u и v – целые числа, не оба рвные нулю, то их наибольшим общим делителем D(u, v) называется наибольшее целое число, на которое делятся без ос
Простые числа
Едва освовив четыре арифметических действия, люди стали интересоваться различными свойствами натуральных чисел. Почему некоторые числа делятся на меньшие без остатка, в то время как
Однонаправленные функции
Развитие криптографии в XX веке было стремительным, но неравномерным. Анализ истории ее развития как специфической области человеческой деятельности выделяет три основных периода.
Алгоритм RSA
Первой и наиболее известной криптографической системой с открытым ключом была предложенная в 1978 году так называемая система RSA. Ее название происходит от первых букв фамилий авто
Практическое использование алгоритма RSA
Для алгоритмов, основанных на открытых ключах, существует ряд математических проблем, которые не всегда учитываются при построении криптосистемы. К ним можно отнести выбор начальных
Открытое распределение ключей
Пока преимущества методов шифрования с открытым ключом не были очевидны. Однако на их основе легко решать задачу выработки общего секретного ключа для сеанса связи любой пары пользо
Электронная подпись
В чем состоит проблема аутентификации данных? В конце обычного письма или документа исполнитель или ответственное лицо обычно ставит свою подпись. Подобное действие обычно преследуе
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов