Любое число xв десятичной системе счисления может быть представлено в виде:xàDm-1*10m-1+Dm-2*10m-2+...+D1*10+D0+D-1*10-1+D-2*10-2+..., где Dm-1,Dm-2,D1,D0, D-1, D-2 – цифры, составляющие число.
Пример.
125.478 = 1*100+2*10+5+4*10-1+7*10-2+8*10-3
Число различных цифр, образующих систему, называется ее основанием. Любое число может быть записано в системе счисления с основанием, отличным от 10, причем между целыми числами, записанными в различных системах с целыми положительными основаниями, существует взаимно однозначное соответствие. Следовательно, перевод целого числа из одной системы счисления в другую осуществляется точно, без погрешности. Ниже приведена таблица первых 16 целых чисел для систем с основаниями 10, 2, 8, 16, которые применяются в вычислительной технике.
10: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
2: 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
8: 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
16: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Перевод целого числа в другую систему счисления выполняется последовательным делением на ее основание. Наиболее удобно использовать для этого основание 8. Заменив в полученном значении каждую 8-ричную цифру ее двоичным представлением, получим то же самое целое число в двоичной системе.
Пример. 45910 = 7138 = 111 001 0112.
459|8
------------
40 |57|8
------------
59 56 7 à713
56 1
----
3
Обратный перевод показан ниже.
111 001 0112 à 7138 à 7*64+1*8+3=448+8+3=45910
Дробные части значений переводятся в двоичную систему счисления последовательным умножением на основание 2 и этот перевод в общем случае осуществляется с погрешностью, поскольку отнюдь не каждая десятичная дробь представляет собой сумму отрицательных степеней двойки. Ниже приведен пример перевода в двоичную систему числа 0.15. Как видно из него, в результате получена периодическая дробь, что при ограниченной разрядности компьютера обязательно даст погрешность преобразования.
0.15 0.00(1001)
------ 1/8+1/64+1/128+...à0.1250+0.0156+0.0078+...»0.1484
0.3
------ .
0.6
-----
1.2
-----
0.4
-----
0.8
-----
1.6
-----